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文档简介
2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷❖
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个总体中有N个个体,用抽签法从中抽取一个容量为10的样本,若每个个体被抽到的可能性是;,
4
则N=()
A.10B.20C.40D.不确定
2.已知复数2=7^(其中,为虚数单位),则Z的虚部是()
2+2
44.77.
A.-B.-iC.——D.——i
5555
3.一组数据28,39,12,23,17,43,50,34的上四分位数为()
A.17B.20C.39D.41
4.如图,在△ABC中,。是线段2。上的一点,且满足36。=。。,则立=()
A.+|就B.|混+C.+:前D.|寿+
5.在△4BC中,内角HB,C所对的边分别为a,b,c,sillB=-.c=3,若△AB。有两解,则6
3
的取值范围为()
A.(\/3,3)B.(x/3,3]C.(v%+oo)D.[3,+oo)
6.如图,水平放置的四边形O/2C的斜二测画法的直观图为直角梯形O'AB'C',已知O'A'=2,
O'C=B'C'=则原四边形O48C的面积为()
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A.3^/2B.3C.D.|
22
7.随着暑假将近,某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验,收集并整理去年暑假60天期间日接待游
客量数据,绘制了如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图,估计该市今年日接待游客量的平均
数为(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)()
A.43.6万人B.44.5万人C.45万人D.49.1万人
8.如图,某电子元件由4B,C三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,A,
B,C三种部件不能正常工作的概率分别为:,;,:,各个部件是否正常工作相互独立,则该电子元件能
543
正常工作的概率是()
B・1
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,
部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知复数zi,Z2,则下列说法正确的是()
A.Zi•Zi=ElB.同•匐=⑸•⑻
C.zl=\zr\2D.⑶+Z2/+\Zi-=2氏+2假2『
7T
10.已知函数/⑵=2tan(2c—H),则下列说法正确的是()
O
第2页,共18页
7T
A./(2)的最小正周期为万
B.73)图象的对称中心为号+(0),kEZ
C./⑶的单调递增区间为(1—7Tk7T5汗、1「
逐,丁+引'j
7T
D.为了得到g(±)=2tana;的图象,可将/(2)的图象向左平移a个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍
O
11.如图,已知正方体4BCD—4场。1。1的棱长为4,M是4。的中点,N是。G的中点,贝1J()
A.若尸是侧面CCiDiD内一动点,则满足MP〃平面4Q1B的点P的轨迹长为?瓜
B.平面44〃归内不存在点H,使得平面AXCXB
C.三棱锥W-4aB的体积为16
D.若。是GB上一点,则4iQ+NQ的最小值为2而^^
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
7T3
12.已知aG(01),若cos(a+—)=—,则cosa=__________.
45
13.在正四棱锥P—ABC。中,4B=4,P3与平面ABCD所成角的余弦值为则四棱锥P—ABCD
3
外接球的体积为.
14.在△AB。中,/84。=90°,。是8C上一点,/。是的平分线,且2BD=3CD,=—,
5
则△ABC的面积为.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量才=(2,0),7=(与通),且才—2万).
(1)求苫的值及正,了的夹角;
(2)若(方+k了)〃(4卜才+了),求》的值.
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16.(本小题15分)
已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人,现从这3个班用按比例分配的分层随机抽
样的方法抽取24人参加安全知识竞赛.
(1)求这3个班分别抽取的人数;
(2)已知从1班抽取的人中有2名女生,若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长,求至少有1名女生作
为组长的概率;
(3)知识竞赛结束后,依据答题规则进行统计,甲同学回答5道题的得分分别为69,71,72,73,75,乙同
学回答5道题的得分分别为70,71,71,73,75,请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定?
17.(本小题15分)
如图,在矩形A8CO中,AB=2,4D=4,E是4D的中点,将△4BE沿3E折起使点”到点尸的位置,
产是尸C的中点.
(1)证明:DF〃平面PBE;
⑵若CE上PB,证明:平面平面BCDE;
(3)在(2)的条件下,求二面角P—BC—E的余弦值.
18.(本小题17分)
请在①向量力=(cos。,2b—V^c),7?=(cosA,V3a),且
求〃必;②sidg+sh?。—sin24=V^sinBsin。这两个条件中任选一个,填入横线上并解答.
在△ABC中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角/的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,a=2,求△力面积的取值范围.
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19.(本小题17分)
如图是函数/(乃=Asin(5:+8)(a>0,3>0,0<\(p\<§图象的一部分.
(1)求函数/(2)的解析式;
(2)求函数/Q)的单调区间;
Q7rl77r
⑶记方程/⑶=—:在[一卷,卷上的根从小到大依次为血,%%…,x/neN*),若
772=+电+/3+,••+/几,试求n与m的值.
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】本题考查抽签法的抽样比,属于较易题.
根据抽签法的等可能性,得出比例可得选项.
【解答】解:由题意得34解得N=4。,故选C
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】
蝌3-2i(3—21)(2—,)6-3«-42+2,4-77477
解…耳7=所以虚部为一:,故选C.
(2+,)(2—初4一1~5555
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查百分位数,属于基础题.
利用8x75%=6得到应取第6个数据与第7个数据的平均值.
【解答】
解:从小到大排列:12,17,23,28,34,39,43,50,8x75%=6,
由百分位数的定义知,应取第6个数据与第7个数据的平均值,
所以上四分位数为3艺94娶-4呼3=41.
故选D
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题,是基础题.
根据平面向量的线性表示与运算性质,进行计算即可.
【解答】解::•••330=0。,
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:,A5=AS+^=AS+=AS+:(就-砌=+:前,
故选8.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用正弦定理判定三角形解的个数,属于基础题.
利用csinB<b<c即可求解.
【解答】
解:若△46。有两解,则csin_B〈b〈c,
即3x通<b<3,所以遮<b<3.
3
故选4
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查斜二测画法,属于基础题.
将直观图还原为四边形04BC,然后得到四边形048。的面积为:x(1x2\/2+2x2松)=3方即可.
【解答】
解:如图,将直观图还原为四边形O4BC,则四边形O4BC由两个直角三角形构成,
因为O'A=2,O'C=B'C=1>故0'8'=禽,0B=2y2-BC=1,OA=2,
所以四边形04BC的面积为:x(1x2\/2+2x2^2)=3y/2,
【解析】【分析】
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本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.
先利用(0.010+0.024+m+0,036)x10=1,得到m=0.030,然后计算
(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10即可.
【解答】
解:由于(0.010+0.024+nz+0.036)x10=1,解得0.030,
所以该市今年日接待游客量的平均数约为
(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10=43.6,
故选4
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题
【解答】
【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,属于中档题.
设上半部分正常工作为事件",下半部分正常工作为事件N,
—9—11——
然后得到P画=P(N)=—,然后利用该电子元件能正常工作的概率P=1-P(而)P(R)即可.
531)
【解答】解:设上半部分正常工作为事件下半部分正常工作为事件N,
11R一9
由题意知,F(M)=(l--)x(1--)=-,P(M)=
P(N)=(1--x-)x(1-,PIN}=―,
'''54,'3,30k'30
一_21164
所以该电子元件能正常工作的概率P=1-=l--x—=-,
53U75
故选C.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查复数的模及其几何意义、共甄复数等,属于中档题.
设为=。+杭,Z2=c+di(a,b,c,deR),然后利用复数的模、共辗复数等一一判断即可.
【解答】
解:设zi=a+b,,Z2=c+di(a,b,c,dER),
对于选项4=a—bi,-z[=(abi)■(a-bi)=a2—62?2=a2+b2,\zi\2=a2+b2>
所以zi•衍=|zj,故N正确;
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2
对于选项8,z「Z2=(a+历)(c+而)=(ac-bd)+(ad+bc)1,\Z1-z2\=(ac-bdf+(ad+be)
=,a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,区].|匐=\/a2+b2•,。2+.2
=,Q2c2+b2d2+Q2d2+b2c2,所以区•Z2\=\z-[\-⑻,故B正确;
对于选项C,Z:=(Q+C)2=Q2—1+2Q桢,㈤2=Q?+-2,所以2法区『,故。错误;
对于选项。,由选项N可知,卜i+Z2『+|zi—Z2『
=(Z1+22)②+Z2)+(Z1-22)仿一Z2)
=(次+Z2乂药+药)+⑵-0)伉-罚
=Z1为+Z(Z2+Z2互+Z2Z2+21西—Z(Z2~?2西+乞2为=2[Z]「+2]22匕故。正确,
故选
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查正切型函数的性质,属于中档题.
利用正切型函数的性质一一判断即可.
【解答】
E7r7r
解:对于选项/,7=丘|=],故N正确;
对于选项8,令2式一鼻=粤,kEZ,解得工="+,,kEZ,
3246
所以/(2)图象的对称中心为("+[0),keZ,故3错误;
46
对于选项C,k7v-^-<2x-^<k7v+^,kez,解得也―£<工(母:+空
kez,
232212212
7T/C7T57F
所以/(乃的单调递增区间为1251"+12^kEZ,故C正确;
7T7T
对于选项D,将/⑶的图象向左平移不个单位长度得到y=2tan(2①+学的图象,
OU
7T
再将横坐标变为原来的2倍可得y=2tanQ+a)的图象,故。错误.
O
故选AC.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
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本题主要考查线面平行、垂直,面面平行的判定以及多面体的做短距离问题,属于中档题.
取的中点E,CD的中点产,易得平面石〃平面可得点P的轨迹为跖,可判断/;连接481
交48于点〃,则加8〃。耳,结合平面4a8,可判断&利用棱锥的体积公式可判断C;将
△小。正与△BQ。展开至同一平面,则4Q+NQ的最小值即为4N,结合余弦定理可判断D
【解答】
解:如图,
对于选项4取DDi的中点E,CD的中点/,连接ME,MF,EF,
则“石〃ADi,而ADi〃BCi,所以“E〃BCi,
又NEC平面4GB,Bau平面4a8,所以ME〃平面4GB,
同理MF〃平面4GB,MECMF=M,ME,"FU平面,
得平面EEM〃平面4GB,
所以点尸的轨迹为即,EF=2A/2»即点尸的轨迹长为2,^,故/正确;
对于选项8,连接481交于点"由于M,〃分别为/£>,481的中点,所以〃。口「
又因为。平面4GB,所以AfHLL平面4Q1B,故2错误;
又MH=:DBi=2^3,所以三棱锥Af—41aB的体积为工x工x4蓼x4调x0x2通=16,
故C正确;
对于选项。,将△4GB与△BG。展开至同一平面,如图,
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则AXQ+NQ的最小值即为AiN,
由余弦定理知,4N={A&+CW—241cLCiNcos105。,
而cos105°=cos(60°+45°)='4氓,
D
所以AiN=^32+4—2x4\/2x2x6-',即AXN=2/7+2血,故正确,
故选4。。.
12.【答案】包7
10
【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的余弦公式,属于基础题.
先利用cos(a+J)=|,a+;e(U),得到sin(a+1)=,,然后利用
4o44/43
cosa=cosr[/(a+—)——"i]=cos(/a+—"\)cos—7T+s.m(.a+—7T.)si,n—7Tgpn]*.
【解答】解:因为ae(0”所以a+打6号),
又因为cos(a+1)=偌,所以0+彳6(疝5),所以sin(a+=,,
所以cosa=cos[(a+[)—:]=cos(a+cos:+sin(a+[)sin:=
13.【答案】367r
【解析】【分析】本题主要考查球的切、接问题,属于中档题.
如图,连接/C,3。交于点01,连接P01,设四棱锥P—43。。外接球球心为0,半径为凡然后得到
岳=8+|4—AR解得尺=3即可.
【解答】解:如图,连接4C,8。交于点01,连接POi,
设四棱锥P—ABCD外接球球心为。,半径为R,则。在POi上,
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由题知OiB=2,^,NP801为P3与平面ASC3所成角,即cos/PBQ=匕,
3
所以PB=2述,?。1=4,。01=|4-冏,因此店=8+性—A,,解得尺=3,
所以四棱锥P—48。。外接球的体积为*岳=367r.
O
14.【答案】3
【解析】【分析】本题主要考查利用正弦定理解三角形、三角形面积公式,属于中档题.
由正弦定理得强=黑=1设43=32,AC=2x,然后禾!1用5盘8。=5.8。+5想。。,即可.
JT.C>(_yly/
【解答】解:因为ND是乙BA。的平分线,所以乙N4OB+乙40。=180°,
RnAD
所以sin皿八sin/C3sin/3=sin/C,由正弦定理得而百而;而小,
CD4。,所以出
sinACADsinZAWACCD2
设AB=3x>AC=2x>由题知,SAABC=S/\ABD+S^ACD,
即工°八1c6^/2\/21八6%/2V2反汨1
•3N•2/=一•3①----------1---2x----------,角牛何力=1,
2252252
所以△ABC的面积为3.
15.【答案】解:(1)因为—2了).所以—27)=0,即才2—2寸•了=0,
所以4—2(2/+0)=0,解得工=1,
则了=(1,通),所以cos〈才,=
7T7T
因为<N,T>e[o,7r],所以<N,7〉=可,即定,7的夹角为市
OO
(2)由(1)可得/+k~b=(2+k,V^k),4k/+~b=(8k+1,通),
第12页,共18页
因为(记+kb)//(4k~CL+b),所以(2+k).■(8k+1),
解得k=:或k=一;.
【解析】本题主要考查向量平行(共线)关系的坐标表示、利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量
数量积的坐标表示与向量的垂直关系等,属于中档题.
(1)利用7nm-2了)得到4-2(22+0)=0,解得2=1,
元2=:得到力,7T
然后利用cos<a>,T>=-了的夹角为市
10*11^1272O
(2)由(1)可得/+k了=(2+k,,4kN+了=(8k+1,回),
然后利用(/+k7)//(4k才+~b)得到(2+k)•通=V^k•(8k+1)即可.
2411
16.【答案】解:(1)因为样本容量和这3个班总人数的比为=!所以抽样比为石,
36+48+6066
所以从1班、2班、3班抽取的人数分别为36x:=6,48x1=8,60x=10.
000
即1班、2班、3班抽取的人数分别为6,8,10.
⑵由⑴知,从1班抽取了6人,设2名女生为a,b,剩余4名男生为c,d,e,f,
则从6人中选取2人的基本事件为
(a,6),(a,c),(a,d),(a,e),(a"),(b,c),(6,d),(6,e),(b,/),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,/).
(e,f),共15种,
其中至少有1名女生的共9种,
Q3
所以至少有1名女生作为组长的概率为4I
155
(3)甲同学成绩的平均数为69+71+?+73+75=了?,
5
22
方差为(69-72)2+(7172)2+⑺72y+(7372)+(75-72)_彳
乙同学成绩的平均数为70+71+?+73+75=72,
5
方差为(70-72)2+(71_72)2+(71-72)2+(73-72)2+(75-72)2_16
'5=E'
由于4>孚,所以乙同学成绩更稳定.
5
【解析】本题主要考查分层随机抽样、古典概型及其计算、方差,属于中档题.
(1)先得到抽样比为然后得到从1班、2班、3班抽取的人数分别为36x工=6,48x1=8,60x1=10.
6666
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(2)由(1)知,从1班抽取了6人,设2名女生为eb,剩余4名男生为c,d,e,f,然后利用古典概型即
可;
(3)分别计算出甲同学成绩的方差为4,乙同学成绩的方差为坐,然后比较即可.
0
17.【答案】解:(1)如图,延长CZ)交于点连接
因为四边形/BCD是矩形,E是/。的中点,所以AEMDSABMC,
所以忧=MD黑=《,所以£,。分别是MC的中点,
~MC2
又尸是尸C的中点,所以DF//PM,
因为平面尸BE,PMu平面P3E,所以。F〃平面PBE.
(2)证明:在平面8CDE中,BE=2瓜CE=25,BC=4,
所以3后2+。石2=3。2,所以BE_LCE,
又因为CELLPB,PBCBE=B,PB,BEU平面PBE,所以CE_L平面尸
又因为CEC平面所以平面平面BCD石.
⑶如图,取中点“,过,作HQLBC于点。,连接/W,PQ,
因为PB=PE,所以PH_LBE,由⑵可知,平面PBELL平面8CDE,
又因为平面PBEn平面=PHU平面PBE,
所以PHL平面2CDE,且强,BCU平面BCDE,所以PHUXQ,PH1BC,
因为PHCiHQ=H,PH,HQu平面尸〃。,所以平面刊①,
又因为PQU平面P80,所以RCLPQ,所以/PQH为二面角P—BC—E的平面角,
由题意可知HQ=1,PH=V2<PQ=g,所以COSNPQH=喋=3=^,
PQv33
第14页,共18页
即二面角P—BC—E的余弦值为遗
3
【解析】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的判定、二面角等,属于中档题.
(1)如图,延长BE,CD交于点连接尸”,然后证明。F〃尸即可;
(2)先证明平面PBE,然后利用CEU平面BCDE即可;
⑶如图,取3E中点77,过女作HQrBC于点0,连接尸X,PQ,
然后得到/PQH为二面角P—BO—E的平面角,然后计算cos/PQH=,g即可.
18.【答案】解:(1)若选①,由于求〃记,
所以V^acos。=(2b-\/3c)cosA,
由正弦定理得sinAcosC=(2sinB—A/3sinC)cosA,
即\/3(cosCsinA+sinCcosA)=2sinBcos4
即sin(A+C)=2sinBcos4,
即VssinB=2sinBcosA,
因为Be(0/),
所以sin,
所以cosA=,
2
因为4e(0,7r),
所以4=/;
6
若选②,因为sin2B+sin2C-sin24=J^sinBsin。,
由正弦定理得庐+。2—Q2=,^C,
由余弦定理得cos4='+、—乙=遮,
26c2
因为4e(0,7r),
第15页,共18页
7T
所以4=K;
6
bca2
(2)因为0=2,由正弦定理得sin_BsinCsinA1
2
所以b=4sin,c=4sin。,
所以AABC的面积S=|bcsinA=4sinBsinC
=4sinBsin(B+:7T)=4sinB(-^-sinB+-]cosB)
=2sinBcosB+2A/3sin2B
=sin2B+\/3(1—cos2B)
=2sin(2B—£)+禽,
3
因为△ABC为锐角三角形,
7T7T
0<A<|0<-<-
62
7Tc7T
所以<0<B<-即《0<B<-
0<C<|c5江—7T
0<T-B<2
7T7T
所以可<B<2;
o
,7T八-7T27r
所以万<2B——<---,
ooo
所以sin(2B_3)C(gl],
o/
所以/XABC面积的取值范围为(273,2+\/3].
【解析】本题考查正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形、利用正弦定理解三角形、三角形面积公式、
三角恒等变换的综合应用、求正弦型函数的值域或最值、逆用两角和与差的正弦公式,属于中档题.
(1)选①,利用向量共线得坐标表示,得出8acosC=(2b-ec)cos4,再利用正弦定理和两角和与差的
正弦公式化简,求出COS4=Y2,即可求出结果;
2
选②,利用正弦定理化简已知式子为庐+。2_(12=孤儿,再利用余弦定理,即可求出结果;
(2)由正弦定理得出b=4sinB,c=4sin。,表示出△48。的面积
S=16csinA=4sinBsinC==2sin(2B-^)+\/3>求出角2的取值范围,结合正弦函数的最值的求解,
/O
即可求出结果.
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19.【答案】解:(1)由图可得4=f(c)=a、
〃\/UldA
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