2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷❖

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个总体中有N个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是;,

4

则N=()

A.10B.20C.40D.不确定

2.已知复数2=7^(其中，为虚数单位)，则Z的虚部是()

2+2

44.77.

A.-B.-iC.——D.——i

5555

3.一组数据28,39,12,23,17,43,50,34的上四分位数为()

A.17B.20C.39D.41

4.如图，在△ABC中，。是线段2。上的一点，且满足36。=。。，则立=()

A.+|就B.|混+C.+:前D.|寿+

5.在△4BC中，内角HB,C所对的边分别为a,b,c,sillB=-.c=3,若△AB。有两解，则6

3

的取值范围为()

A.(\/3,3)B.(x/3,3]C.(v%+oo)D.[3,+oo)

6.如图，水平放置的四边形O/2C的斜二测画法的直观图为直角梯形O'AB'C',已知O'A'=2，

O'C=B'C'=则原四边形O48C的面积为()

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A.3^/2B.3C.D.|

22

7.随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游

客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均

数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A.43.6万人B.44.5万人C.45万人D.49.1万人

8.如图，某电子元件由4B,C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A,

B,C三种部件不能正常工作的概率分别为:，；，：，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能

543

正常工作的概率是（）

B・1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数zi,Z2,则下列说法正确的是（）

A.Zi•Zi=ElB.同•匐=⑸•⑻

C.zl=\zr\2D.⑶+Z2/+\Zi-=2氏+2假2『

7T

10.已知函数/⑵=2tan（2c—H），则下列说法正确的是（）

O

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7T

A./(2)的最小正周期为万

B.73)图象的对称中心为号+(0),kEZ

C./⑶的单调递增区间为(1—7Tk7T5汗、1「

逐,丁+引'j

7T

D.为了得到g(±)=2tana;的图象，可将/(2)的图象向左平移a个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍

O

11.如图，已知正方体4BCD—4场。1。1的棱长为4,M是4。的中点，N是。G的中点，贝1J()

A.若尸是侧面CCiDiD内一动点，则满足MP〃平面4Q1B的点P的轨迹长为?瓜

B.平面44〃归内不存在点H,使得平面AXCXB

C.三棱锥W-4aB的体积为16

D.若。是GB上一点，则4iQ+NQ的最小值为2而^^

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

7T3

12.已知aG(01),若cos(a+—)=—,则cosa=__________.

45

13.在正四棱锥P—ABC。中，4B=4,P3与平面ABCD所成角的余弦值为则四棱锥P—ABCD

3

外接球的体积为.

14.在△AB。中，/84。=90°，。是8C上一点，/。是的平分线，且2BD=3CD，=—，

5

则△ABC的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知向量才=(2,0),7=(与通)，且才—2万).

(1)求苫的值及正,了的夹角；

(2)若(方+k了)〃(4卜才+了)，求》的值.

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16.(本小题15分)

已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽

样的方法抽取24人参加安全知识竞赛.

(1)求这3个班分别抽取的人数；

(2)已知从1班抽取的人中有2名女生，若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长，求至少有1名女生作

为组长的概率；

(3)知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答5道题的得分分别为69,71,72,73,75,乙同

学回答5道题的得分分别为70,71,71,73,75,请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？

17.(本小题15分)

如图，在矩形A8CO中，AB=2,4D=4,E是4D的中点，将△4BE沿3E折起使点”到点尸的位置,

产是尸C的中点.

(1)证明：DF〃平面PBE;

⑵若CE上PB，证明：平面平面BCDE；

(3)在(2)的条件下，求二面角P—BC—E的余弦值.

18.(本小题17分)

请在①向量力=(cos。,2b—V^c)，7?=(cosA,V3a),且

求〃必;②sidg+sh?。—sin24=V^sinBsin。这两个条件中任选一个，填入横线上并解答.

在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

(1)求角/的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，a=2,求△力面积的取值范围.

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19.(本小题17分)

如图是函数/(乃=Asin(5：+8)(a>0,3>0,0<\(p\<§图象的一部分.

(1)求函数/(2)的解析式；

(2)求函数/Q)的单调区间；

Q7rl77r

⑶记方程/⑶=—：在［一卷,卷上的根从小到大依次为血，%%…，x/neN*),若

772=+电+/3+,••+/几，试求n与m的值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查抽签法的抽样比，属于较易题.

根据抽签法的等可能性，得出比例可得选项.

【解答】解：由题意得34解得N=4。，故选C

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】

蝌3-2i（3—21）（2—，）6-3«-42+2,4-77477

解…耳7=所以虚部为一:，故选C.

（2+，）（2—初4一1~5555

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查百分位数，属于基础题.

利用8x75%=6得到应取第6个数据与第7个数据的平均值.

【解答】

解：从小到大排列：12,17,23,28,34,39,43,50,8x75%=6,

由百分位数的定义知，应取第6个数据与第7个数据的平均值，

所以上四分位数为3艺94娶-4呼3=41.

故选D

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题.

根据平面向量的线性表示与运算性质，进行计算即可.

【解答】解：：•••330=0。，

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：,A5=AS+^=AS+=AS+：(就-砌=+:前，

故选8.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查利用正弦定理判定三角形解的个数，属于基础题.

利用csinB<b<c即可求解.

【解答】

解：若△46。有两解，则csin_B〈b〈c,

即3x通<b<3，所以遮<b<3.

3

故选4

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查斜二测画法，属于基础题.

将直观图还原为四边形04BC,然后得到四边形048。的面积为：x(1x2\/2+2x2松)=3方即可.

【解答】

解：如图，将直观图还原为四边形O4BC,则四边形O4BC由两个直角三角形构成，

因为O'A=2，O'C=B'C=1>故0'8'=禽，0B=2y2-BC=1,OA=2,

所以四边形04BC的面积为:x(1x2\/2+2x2^2)=3y/2,

【解析】【分析】

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本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.

先利用(0.010+0.024+m+0,036)x10=1,得到m=0.030,然后计算

(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10即可.

【解答】

解：由于(0.010+0.024+nz+0.036)x10=1,解得0.030,

所以该市今年日接待游客量的平均数约为

(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10=43.6,

故选4

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题

【解答】

【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.

设上半部分正常工作为事件"，下半部分正常工作为事件N,

—9—11——

然后得到P画=P(N)=—,然后利用该电子元件能正常工作的概率P=1-P(而)P(R)即可.

531)

【解答】解：设上半部分正常工作为事件下半部分正常工作为事件N,

11R一9

由题意知，F(M)=(l--)x(1--)=-,P(M)=

P(N)=(1--x-)x(1-,PIN}=―,

'''54，'3，30k'30

一_21164

所以该电子元件能正常工作的概率P=1-=l--x—=-,

53U75

故选C.

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题主要考查复数的模及其几何意义、共甄复数等，属于中档题.

设为=。+杭，Z2=c+di(a,b,c,deR),然后利用复数的模、共辗复数等一一判断即可.

【解答】

解：设zi=a+b，，Z2=c+di(a,b,c,dER),

对于选项4=a—bi,-z[=(abi)■(a-bi)=a2—62?2=a2+b2,\zi\2=a2+b2>

所以zi•衍=|zj,故N正确；

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2

对于选项8,z「Z2=(a+历)(c+而)=(ac-bd)+(ad+bc)1,\Z1-z2\=(ac-bdf+(ad+be)

=，a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,区].|匐=\/a2+b2•，。2+.2

=，Q2c2+b2d2+Q2d2+b2c2,所以区•Z2\=\z-[\-⑻，故B正确;

对于选项C,Z：=（Q+C）2=Q2—1+2Q桢，㈤2=Q?+-2,所以2法区『，故。错误;

对于选项。，由选项N可知，卜i+Z2『+|zi—Z2『

=（Z1+22）②+Z2）+（Z1-22）仿一Z2）

=（次+Z2乂药+药）+⑵-0）伉-罚

=Z1为+Z（Z2+Z2互+Z2Z2+21西—Z（Z2~?2西+乞2为=2[Z]「+2]22匕故。正确，

故选

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本题主要考查正切型函数的性质，属于中档题.

利用正切型函数的性质一一判断即可.

【解答】

E7r7r

解：对于选项/,7=丘|=]，故N正确；

对于选项8,令2式一鼻=粤,kEZ,解得工="+，，kEZ,

3246

所以/（2）图象的对称中心为（"+[0）,keZ,故3错误；

46

对于选项C,k7v-^-<2x-^<k7v+^,kez,解得也―£<工（母：+空

kez,

232212212

7T/C7T57F

所以/（乃的单调递增区间为1251"+12^kEZ,故C正确;

7T7T

对于选项D,将/⑶的图象向左平移不个单位长度得到y=2tan（2①+学的图象,

OU

7T

再将横坐标变为原来的2倍可得y=2tanQ+a）的图象，故。错误.

O

故选AC.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

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本题主要考查线面平行、垂直，面面平行的判定以及多面体的做短距离问题，属于中档题.

取的中点E,CD的中点产，易得平面石〃平面可得点P的轨迹为跖,可判断/；连接481

交48于点〃，则加8〃。耳，结合平面4a8,可判断&利用棱锥的体积公式可判断C；将

△小。正与△BQ。展开至同一平面，则4Q+NQ的最小值即为4N,结合余弦定理可判断D

【解答】

解：如图，

对于选项4取DDi的中点E,CD的中点/，连接ME,MF,EF,

则“石〃ADi，而ADi〃BCi，所以“E〃BCi，

又NEC平面4GB,Bau平面4a8,所以ME〃平面4GB,

同理MF〃平面4GB,MECMF=M,ME,"FU平面，

得平面EEM〃平面4GB,

所以点尸的轨迹为即，EF=2A/2»即点尸的轨迹长为2，^，故/正确；

对于选项8,连接481交于点"由于M,〃分别为/£>,481的中点，所以〃。口「

又因为。平面4GB,所以AfHLL平面4Q1B,故2错误；

又MH=：DBi=2^3,所以三棱锥Af—41aB的体积为工x工x4蓼x4调x0x2通=16,

故C正确；

对于选项。，将△4GB与△BG。展开至同一平面，如图，

第10页，共18页

则AXQ+NQ的最小值即为AiN,

由余弦定理知，4N={A&+CW—241cLCiNcos105。，

而cos105°=cos(60°+45°)='4氓,

D

所以AiN=^32+4—2x4\/2x2x6-'，即AXN=2/7+2血，故正确，

故选4。。.

12.【答案】包7

10

【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的余弦公式，属于基础题.

先利用cos(a+J)=|,a+；e(U),得到sin(a+1)=，，然后利用

4o44/43

cosa=cosr[/(a+—)——"i]=cos(/a+—"\)cos—7T+s.m(.a+—7T.)si,n—7Tgpn]*.

【解答】解：因为ae(0”所以a+打6号)，

又因为cos(a+1)=偌，所以0+彳6(疝5)，所以sin(a+=，，

所以cosa=cos[(a+[)—：]=cos(a+cos:+sin(a+[)sin:=

13.【答案】367r

【解析】【分析】本题主要考查球的切、接问题，属于中档题.

如图，连接/C,3。交于点01，连接P01，设四棱锥P—43。。外接球球心为0,半径为凡然后得到

岳=8+|4—AR解得尺=3即可.

【解答】解：如图，连接4C,8。交于点01，连接POi，

设四棱锥P—ABCD外接球球心为。，半径为R，则。在POi上,

第H页，共18页

由题知OiB=2，^，NP801为P3与平面ASC3所成角，即cos/PBQ=匕，

3

所以PB=2述，？。1=4,。01=|4-冏，因此店=8+性—A，，解得尺=3,

所以四棱锥P—48。。外接球的体积为*岳=367r.

O

14.【答案】3

【解析】【分析】本题主要考查利用正弦定理解三角形、三角形面积公式，属于中档题.

由正弦定理得强=黑=1设43=32，AC=2x，然后禾!1用5盘8。=5.8。+5想。。，即可.

JT.C>（_yly/

【解答】解：因为ND是乙BA。的平分线，所以乙N4OB+乙40。=180°，

RnAD

所以sin皿八sin/C3sin/3=sin/C,由正弦定理得而百而;而小,

CD4。，所以出

sinACADsinZAWACCD2

设AB=3x>AC=2x>由题知，SAABC=S/\ABD+S^ACD,

即工°八1c6^/2\/21八6%/2V2反汨1

•3N•2/=一•3①----------1---2x----------,角牛何力=1，

2252252

所以△ABC的面积为3.

15.【答案】解：（1）因为—2了）.所以—27）=0,即才2—2寸•了=0,

所以4—2（2/+0）=0,解得工=1,

则了=（1,通），所以cos〈才，=

7T7T

因为<N,T>e[o,7r],所以<N,7〉=可，即定,7的夹角为市

OO

（2）由（1）可得/+k~b=（2+k,V^k）,4k/+~b=（8k+1,通），

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因为(记+kb)//(4k~CL+b)，所以(2+k).■(8k+1)，

解得k=:或k=一；.

【解析】本题主要考查向量平行(共线)关系的坐标表示、利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量

数量积的坐标表示与向量的垂直关系等，属于中档题.

(1)利用7nm-2了)得到4-2(22+0)=0,解得2=1,

元2=:得到力，7T

然后利用cos<a>,T>=-了的夹角为市

10*11^1272O

(2)由(1)可得/+k了=(2+k,，4kN+了=(8k+1,回),

然后利用(/+k7)//(4k才+~b)得到(2+k)•通=V^k•(8k+1)即可.

2411

16.【答案】解：(1)因为样本容量和这3个班总人数的比为=!所以抽样比为石，

36+48+6066

所以从1班、2班、3班抽取的人数分别为36x：=6,48x1=8,60x=10.

000

即1班、2班、3班抽取的人数分别为6,8,10.

⑵由⑴知，从1班抽取了6人，设2名女生为a,b,剩余4名男生为c,d,e,f,

则从6人中选取2人的基本事件为

(a,6),(a,c),(a,d),(a,e),(a"),(b,c),(6,d),(6,e),(b,/),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,/).

(e,f),共15种,

其中至少有1名女生的共9种，

Q3

所以至少有1名女生作为组长的概率为4I

155

(3)甲同学成绩的平均数为69+71+?+73+75=了?,

5

22

方差为(69-72)2+(7172)2+⑺72y+(7372)+(75-72)_彳

乙同学成绩的平均数为70+71+?+73+75=72,

5

方差为(70-72)2+(71_72)2+(71-72)2+(73-72)2+(75-72)2_16

'5=E'

由于4>孚，所以乙同学成绩更稳定.

5

【解析】本题主要考查分层随机抽样、古典概型及其计算、方差，属于中档题.

(1)先得到抽样比为然后得到从1班、2班、3班抽取的人数分别为36x工=6,48x1=8,60x1=10.

6666

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（2）由（1）知，从1班抽取了6人，设2名女生为eb,剩余4名男生为c,d,e,f,然后利用古典概型即

可；

（3）分别计算出甲同学成绩的方差为4,乙同学成绩的方差为坐，然后比较即可.

0

17.【答案】解：（1）如图，延长CZ）交于点连接

因为四边形/BCD是矩形，E是/。的中点，所以AEMDSABMC,

所以忧=MD黑=《,所以£,。分别是MC的中点,

~MC2

又尸是尸C的中点，所以DF//PM,

因为平面尸BE,PMu平面P3E,所以。F〃平面PBE.

(2)证明：在平面8CDE中，BE=2瓜CE=25，BC=4,

所以3后2+。石2=3。2,所以BE_LCE，

又因为CELLPB,PBCBE=B,PB,BEU平面PBE,所以CE_L平面尸

又因为CEC平面所以平面平面BCD石.

⑶如图，取中点“，过，作HQLBC于点。，连接/W,PQ,

因为PB=PE,所以PH_LBE,由⑵可知，平面PBELL平面8CDE,

又因为平面PBEn平面=PHU平面PBE,

所以PHL平面2CDE,且强，BCU平面BCDE,所以PHUXQ,PH1BC，

因为PHCiHQ=H,PH,HQu平面尸〃。，所以平面刊①，

又因为PQU平面P80,所以RCLPQ,所以/PQH为二面角P—BC—E的平面角,

由题意可知HQ=1,PH=V2<PQ=g，所以COSNPQH=喋=3=^,

PQv33

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即二面角P—BC—E的余弦值为遗

3

【解析】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的判定、二面角等，属于中档题.

(1)如图，延长BE,CD交于点连接尸”，然后证明。F〃尸即可；

(2)先证明平面PBE,然后利用CEU平面BCDE即可；

⑶如图，取3E中点77,过女作HQrBC于点0,连接尸X,PQ,

然后得到/PQH为二面角P—BO—E的平面角，然后计算cos/PQH=，g即可.

18.【答案】解：(1)若选①，由于求〃记，

所以V^acos。=(2b-\/3c)cosA,

由正弦定理得sinAcosC=(2sinB—A/3sinC)cosA,

即\/3(cosCsinA+sinCcosA)=2sinBcos4

即sin(A+C)=2sinBcos4,

即VssinB=2sinBcosA，

因为Be(0/),

所以sin,

所以cosA=，

2

因为4e(0,7r),

所以4=/；

6

若选②，因为sin2B+sin2C-sin24=J^sinBsin。，

由正弦定理得庐+。2—Q2=，^C，

由余弦定理得cos4='+、—乙=遮，

26c2

因为4e(0,7r),

第15页，共18页

7T

所以4=K；

6

bca2

(2)因为0=2,由正弦定理得sin_BsinCsinA1

2

所以b=4sin，c=4sin。，

所以AABC的面积S=|bcsinA=4sinBsinC

=4sinBsin(B+:7T)=4sinB(-^-sinB+-]cosB)

=2sinBcosB+2A/3sin2B

=sin2B+\/3(1—cos2B)

=2sin(2B—£)+禽，

3

因为△ABC为锐角三角形,

7T7T

0<A<|0<-<-

62

7Tc7T

所以<0<B<-即《0<B<-

0<C<|c5江—7T

0<T-B<2

7T7T

所以可<B<2；

o

,7T八-7T27r

所以万<2B——<---，

ooo

所以sin(2B_3)C(gl],

o/

所以/XABC面积的取值范围为(273,2+\/3].

【解析】本题考查正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形、利用正弦定理解三角形、三角形面积公式、

三角恒等变换的综合应用、求正弦型函数的值域或最值、逆用两角和与差的正弦公式，属于中档题.

(1)选①，利用向量共线得坐标表示，得出8acosC=(2b-ec)cos4,再利用正弦定理和两角和与差的

正弦公式化简，求出COS4=Y2,即可求出结果；

2

选②，利用正弦定理化简已知式子为庐+。2_(12=孤儿，再利用余弦定理，即可求出结果；

(2)由正弦定理得出b=4sinB，c=4sin。，表示出△48。的面积

S=16csinA=4sinBsinC==2sin(2B-^)+\/3＞求出角2的取值范围，结合正弦函数的最值的求解,

/O

即可求出结果.

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19.【答案】解：(1)由图可得4=f(c)=a、

〃\/UldA