2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷+答案解析_第1页
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文档简介

2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷❖

一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个总体中有N个个体,用抽签法从中抽取一个容量为10的样本,若每个个体被抽到的可能性是;,

4

则N=()

A.10B.20C.40D.不确定

2.已知复数2=7^(其中,为虚数单位),则Z的虚部是()

2+2

44.77.

A.-B.-iC.——D.——i

5555

3.一组数据28,39,12,23,17,43,50,34的上四分位数为()

A.17B.20C.39D.41

4.如图,在△ABC中,。是线段2。上的一点,且满足36。=。。,则立=()

A.+|就B.|混+C.+:前D.|寿+

5.在△4BC中,内角HB,C所对的边分别为a,b,c,sillB=-.c=3,若△AB。有两解,则6

3

的取值范围为()

A.(\/3,3)B.(x/3,3]C.(v%+oo)D.[3,+oo)

6.如图,水平放置的四边形O/2C的斜二测画法的直观图为直角梯形O'AB'C',已知O'A'=2,

O'C=B'C'=则原四边形O48C的面积为()

第1页,共18页

A.3^/2B.3C.D.|

22

7.随着暑假将近,某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验,收集并整理去年暑假60天期间日接待游

客量数据,绘制了如图所示的频率分布直方图,根据频率分布直方图,估计该市今年日接待游客量的平均

数为(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)()

A.43.6万人B.44.5万人C.45万人D.49.1万人

8.如图,某电子元件由4B,C三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,A,

B,C三种部件不能正常工作的概率分别为:,;,:,各个部件是否正常工作相互独立,则该电子元件能

543

正常工作的概率是()

B・1

二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.已知复数zi,Z2,则下列说法正确的是()

A.Zi•Zi=ElB.同•匐=⑸•⑻

C.zl=\zr\2D.⑶+Z2/+\Zi-=2氏+2假2『

7T

10.已知函数/⑵=2tan(2c—H),则下列说法正确的是()

O

第2页,共18页

7T

A./(2)的最小正周期为万

B.73)图象的对称中心为号+(0),kEZ

C./⑶的单调递增区间为(1—7Tk7T5汗、1「

逐,丁+引'j

7T

D.为了得到g(±)=2tana;的图象,可将/(2)的图象向左平移a个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍

O

11.如图,已知正方体4BCD—4场。1。1的棱长为4,M是4。的中点,N是。G的中点,贝1J()

A.若尸是侧面CCiDiD内一动点,则满足MP〃平面4Q1B的点P的轨迹长为?瓜

B.平面44〃归内不存在点H,使得平面AXCXB

C.三棱锥W-4aB的体积为16

D.若。是GB上一点,则4iQ+NQ的最小值为2而^^

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

7T3

12.已知aG(01),若cos(a+—)=—,则cosa=__________.

45

13.在正四棱锥P—ABC。中,4B=4,P3与平面ABCD所成角的余弦值为则四棱锥P—ABCD

3

外接球的体积为.

14.在△AB。中,/84。=90°,。是8C上一点,/。是的平分线,且2BD=3CD,=—,

5

则△ABC的面积为.

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知向量才=(2,0),7=(与通),且才—2万).

(1)求苫的值及正,了的夹角;

(2)若(方+k了)〃(4卜才+了),求》的值.

第3页,共18页

16.(本小题15分)

已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人,现从这3个班用按比例分配的分层随机抽

样的方法抽取24人参加安全知识竞赛.

(1)求这3个班分别抽取的人数;

(2)已知从1班抽取的人中有2名女生,若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长,求至少有1名女生作

为组长的概率;

(3)知识竞赛结束后,依据答题规则进行统计,甲同学回答5道题的得分分别为69,71,72,73,75,乙同

学回答5道题的得分分别为70,71,71,73,75,请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定?

17.(本小题15分)

如图,在矩形A8CO中,AB=2,4D=4,E是4D的中点,将△4BE沿3E折起使点”到点尸的位置,

产是尸C的中点.

(1)证明:DF〃平面PBE;

⑵若CE上PB,证明:平面平面BCDE;

(3)在(2)的条件下,求二面角P—BC—E的余弦值.

18.(本小题17分)

请在①向量力=(cos。,2b—V^c),7?=(cosA,V3a),且

求〃必;②sidg+sh?。—sin24=V^sinBsin。这两个条件中任选一个,填入横线上并解答.

在△ABC中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

(1)求角/的大小;

(2)若△ABC为锐角三角形,a=2,求△力面积的取值范围.

第4页,共18页

19.(本小题17分)

如图是函数/(乃=Asin(5:+8)(a>0,3>0,0<\(p\<§图象的一部分.

(1)求函数/(2)的解析式;

(2)求函数/Q)的单调区间;

Q7rl77r

⑶记方程/⑶=—:在[一卷,卷上的根从小到大依次为血,%%…,x/neN*),若

772=+电+/3+,••+/几,试求n与m的值.

第5页,共18页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查抽签法的抽样比,属于较易题.

根据抽签法的等可能性,得出比例可得选项.

【解答】解:由题意得34解得N=4。,故选C

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】

蝌3-2i(3—21)(2—,)6-3«-42+2,4-77477

解…耳7=所以虚部为一:,故选C.

(2+,)(2—初4一1~5555

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查百分位数,属于基础题.

利用8x75%=6得到应取第6个数据与第7个数据的平均值.

【解答】

解:从小到大排列:12,17,23,28,34,39,43,50,8x75%=6,

由百分位数的定义知,应取第6个数据与第7个数据的平均值,

所以上四分位数为3艺94娶-4呼3=41.

故选D

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的线性表示与运算问题,是基础题.

根据平面向量的线性表示与运算性质,进行计算即可.

【解答】解::•••330=0。,

第6页,共18页

:,A5=AS+^=AS+=AS+:(就-砌=+:前,

故选8.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查利用正弦定理判定三角形解的个数,属于基础题.

利用csinB<b<c即可求解.

【解答】

解:若△46。有两解,则csin_B〈b〈c,

即3x通<b<3,所以遮<b<3.

3

故选4

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查斜二测画法,属于基础题.

将直观图还原为四边形04BC,然后得到四边形048。的面积为:x(1x2\/2+2x2松)=3方即可.

【解答】

解:如图,将直观图还原为四边形O4BC,则四边形O4BC由两个直角三角形构成,

因为O'A=2,O'C=B'C=1>故0'8'=禽,0B=2y2-BC=1,OA=2,

所以四边形04BC的面积为:x(1x2\/2+2x2^2)=3y/2,

【解析】【分析】

第7页,共18页

本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.

先利用(0.010+0.024+m+0,036)x10=1,得到m=0.030,然后计算

(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10即可.

【解答】

解:由于(0.010+0.024+nz+0.036)x10=1,解得0.030,

所以该市今年日接待游客量的平均数约为

(25x0.010+35x0.024+45x0.036+55x0.030)x10=43.6,

故选4

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题

【解答】

【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,属于中档题.

设上半部分正常工作为事件",下半部分正常工作为事件N,

—9—11——

然后得到P画=P(N)=—,然后利用该电子元件能正常工作的概率P=1-P(而)P(R)即可.

531)

【解答】解:设上半部分正常工作为事件下半部分正常工作为事件N,

11R一9

由题意知,F(M)=(l--)x(1--)=-,P(M)=

P(N)=(1--x-)x(1-,PIN}=―,

'''54,'3,30k'30

一_21164

所以该电子元件能正常工作的概率P=1-=l--x—=-,

53U75

故选C.

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题主要考查复数的模及其几何意义、共甄复数等,属于中档题.

设为=。+杭,Z2=c+di(a,b,c,deR),然后利用复数的模、共辗复数等一一判断即可.

【解答】

解:设zi=a+b,,Z2=c+di(a,b,c,dER),

对于选项4=a—bi,-z[=(abi)■(a-bi)=a2—62?2=a2+b2,\zi\2=a2+b2>

所以zi•衍=|zj,故N正确;

第8页,共18页

2

对于选项8,z「Z2=(a+历)(c+而)=(ac-bd)+(ad+bc)1,\Z1-z2\=(ac-bdf+(ad+be)

=,a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,区].|匐=\/a2+b2•,。2+.2

=,Q2c2+b2d2+Q2d2+b2c2,所以区•Z2\=\z-[\-⑻,故B正确;

对于选项C,Z:=(Q+C)2=Q2—1+2Q桢,㈤2=Q?+-2,所以2法区『,故。错误;

对于选项。,由选项N可知,卜i+Z2『+|zi—Z2『

=(Z1+22)②+Z2)+(Z1-22)仿一Z2)

=(次+Z2乂药+药)+⑵-0)伉-罚

=Z1为+Z(Z2+Z2互+Z2Z2+21西—Z(Z2~?2西+乞2为=2[Z]「+2]22匕故。正确,

故选

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本题主要考查正切型函数的性质,属于中档题.

利用正切型函数的性质一一判断即可.

【解答】

E7r7r

解:对于选项/,7=丘|=],故N正确;

对于选项8,令2式一鼻=粤,kEZ,解得工="+,,kEZ,

3246

所以/(2)图象的对称中心为("+[0),keZ,故3错误;

46

对于选项C,k7v-^-<2x-^<k7v+^,kez,解得也―£<工(母:+空

kez,

232212212

7T/C7T57F

所以/(乃的单调递增区间为1251"+12^kEZ,故C正确;

7T7T

对于选项D,将/⑶的图象向左平移不个单位长度得到y=2tan(2①+学的图象,

OU

7T

再将横坐标变为原来的2倍可得y=2tanQ+a)的图象,故。错误.

O

故选AC.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

第9页,共18页

本题主要考查线面平行、垂直,面面平行的判定以及多面体的做短距离问题,属于中档题.

取的中点E,CD的中点产,易得平面石〃平面可得点P的轨迹为跖,可判断/;连接481

交48于点〃,则加8〃。耳,结合平面4a8,可判断&利用棱锥的体积公式可判断C;将

△小。正与△BQ。展开至同一平面,则4Q+NQ的最小值即为4N,结合余弦定理可判断D

【解答】

解:如图,

对于选项4取DDi的中点E,CD的中点/,连接ME,MF,EF,

则“石〃ADi,而ADi〃BCi,所以“E〃BCi,

又NEC平面4GB,Bau平面4a8,所以ME〃平面4GB,

同理MF〃平面4GB,MECMF=M,ME,"FU平面,

得平面EEM〃平面4GB,

所以点尸的轨迹为即,EF=2A/2»即点尸的轨迹长为2,^,故/正确;

对于选项8,连接481交于点"由于M,〃分别为/£>,481的中点,所以〃。口「

又因为。平面4GB,所以AfHLL平面4Q1B,故2错误;

又MH=:DBi=2^3,所以三棱锥Af—41aB的体积为工x工x4蓼x4调x0x2通=16,

故C正确;

对于选项。,将△4GB与△BG。展开至同一平面,如图,

第10页,共18页

则AXQ+NQ的最小值即为AiN,

由余弦定理知,4N={A&+CW—241cLCiNcos105。,

而cos105°=cos(60°+45°)='4氓,

D

所以AiN=^32+4—2x4\/2x2x6-',即AXN=2/7+2血,故正确,

故选4。。.

12.【答案】包7

10

【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的余弦公式,属于基础题.

先利用cos(a+J)=|,a+;e(U),得到sin(a+1)=,,然后利用

4o44/43

cosa=cosr[/(a+—)——"i]=cos(/a+—"\)cos—7T+s.m(.a+—7T.)si,n—7Tgpn]*.

【解答】解:因为ae(0”所以a+打6号),

又因为cos(a+1)=偌,所以0+彳6(疝5),所以sin(a+=,,

所以cosa=cos[(a+[)—:]=cos(a+cos:+sin(a+[)sin:=

13.【答案】367r

【解析】【分析】本题主要考查球的切、接问题,属于中档题.

如图,连接/C,3。交于点01,连接P01,设四棱锥P—43。。外接球球心为0,半径为凡然后得到

岳=8+|4—AR解得尺=3即可.

【解答】解:如图,连接4C,8。交于点01,连接POi,

设四棱锥P—ABCD外接球球心为。,半径为R,则。在POi上,

第H页,共18页

由题知OiB=2,^,NP801为P3与平面ASC3所成角,即cos/PBQ=匕,

3

所以PB=2述,?。1=4,。01=|4-冏,因此店=8+性—A,,解得尺=3,

所以四棱锥P—48。。外接球的体积为*岳=367r.

O

14.【答案】3

【解析】【分析】本题主要考查利用正弦定理解三角形、三角形面积公式,属于中档题.

由正弦定理得强=黑=1设43=32,AC=2x,然后禾!1用5盘8。=5.8。+5想。。,即可.

JT.C>(_yly/

【解答】解:因为ND是乙BA。的平分线,所以乙N4OB+乙40。=180°,

RnAD

所以sin皿八sin/C3sin/3=sin/C,由正弦定理得而百而;而小,

CD4。,所以出

sinACADsinZAWACCD2

设AB=3x>AC=2x>由题知,SAABC=S/\ABD+S^ACD,

即工°八1c6^/2\/21八6%/2V2反汨1

•3N•2/=一•3①----------1---2x----------,角牛何力=1,

2252252

所以△ABC的面积为3.

15.【答案】解:(1)因为—2了).所以—27)=0,即才2—2寸•了=0,

所以4—2(2/+0)=0,解得工=1,

则了=(1,通),所以cos〈才,=

7T7T

因为<N,T>e[o,7r],所以<N,7〉=可,即定,7的夹角为市

OO

(2)由(1)可得/+k~b=(2+k,V^k),4k/+~b=(8k+1,通),

第12页,共18页

因为(记+kb)//(4k~CL+b),所以(2+k).■(8k+1),

解得k=:或k=一;.

【解析】本题主要考查向量平行(共线)关系的坐标表示、利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量

数量积的坐标表示与向量的垂直关系等,属于中档题.

(1)利用7nm-2了)得到4-2(22+0)=0,解得2=1,

元2=:得到力,7T

然后利用cos<a>,T>=-了的夹角为市

10*11^1272O

(2)由(1)可得/+k了=(2+k,,4kN+了=(8k+1,回),

然后利用(/+k7)//(4k才+~b)得到(2+k)•通=V^k•(8k+1)即可.

2411

16.【答案】解:(1)因为样本容量和这3个班总人数的比为=!所以抽样比为石,

36+48+6066

所以从1班、2班、3班抽取的人数分别为36x:=6,48x1=8,60x=10.

000

即1班、2班、3班抽取的人数分别为6,8,10.

⑵由⑴知,从1班抽取了6人,设2名女生为a,b,剩余4名男生为c,d,e,f,

则从6人中选取2人的基本事件为

(a,6),(a,c),(a,d),(a,e),(a"),(b,c),(6,d),(6,e),(b,/),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,/).

(e,f),共15种,

其中至少有1名女生的共9种,

Q3

所以至少有1名女生作为组长的概率为4I

155

(3)甲同学成绩的平均数为69+71+?+73+75=了?,

5

22

方差为(69-72)2+(7172)2+⑺72y+(7372)+(75-72)_彳

乙同学成绩的平均数为70+71+?+73+75=72,

5

方差为(70-72)2+(71_72)2+(71-72)2+(73-72)2+(75-72)2_16

'5=E'

由于4>孚,所以乙同学成绩更稳定.

5

【解析】本题主要考查分层随机抽样、古典概型及其计算、方差,属于中档题.

(1)先得到抽样比为然后得到从1班、2班、3班抽取的人数分别为36x工=6,48x1=8,60x1=10.

6666

第13页,共18页

(2)由(1)知,从1班抽取了6人,设2名女生为eb,剩余4名男生为c,d,e,f,然后利用古典概型即

可;

(3)分别计算出甲同学成绩的方差为4,乙同学成绩的方差为坐,然后比较即可.

0

17.【答案】解:(1)如图,延长CZ)交于点连接

因为四边形/BCD是矩形,E是/。的中点,所以AEMDSABMC,

所以忧=MD黑=《,所以£,。分别是MC的中点,

~MC2

又尸是尸C的中点,所以DF//PM,

因为平面尸BE,PMu平面P3E,所以。F〃平面PBE.

(2)证明:在平面8CDE中,BE=2瓜CE=25,BC=4,

所以3后2+。石2=3。2,所以BE_LCE,

又因为CELLPB,PBCBE=B,PB,BEU平面PBE,所以CE_L平面尸

又因为CEC平面所以平面平面BCD石.

⑶如图,取中点“,过,作HQLBC于点。,连接/W,PQ,

因为PB=PE,所以PH_LBE,由⑵可知,平面PBELL平面8CDE,

又因为平面PBEn平面=PHU平面PBE,

所以PHL平面2CDE,且强,BCU平面BCDE,所以PHUXQ,PH1BC,

因为PHCiHQ=H,PH,HQu平面尸〃。,所以平面刊①,

又因为PQU平面P80,所以RCLPQ,所以/PQH为二面角P—BC—E的平面角,

由题意可知HQ=1,PH=V2<PQ=g,所以COSNPQH=喋=3=^,

PQv33

第14页,共18页

即二面角P—BC—E的余弦值为遗

3

【解析】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的判定、二面角等,属于中档题.

(1)如图,延长BE,CD交于点连接尸”,然后证明。F〃尸即可;

(2)先证明平面PBE,然后利用CEU平面BCDE即可;

⑶如图,取3E中点77,过女作HQrBC于点0,连接尸X,PQ,

然后得到/PQH为二面角P—BO—E的平面角,然后计算cos/PQH=,g即可.

18.【答案】解:(1)若选①,由于求〃记,

所以V^acos。=(2b-\/3c)cosA,

由正弦定理得sinAcosC=(2sinB—A/3sinC)cosA,

即\/3(cosCsinA+sinCcosA)=2sinBcos4

即sin(A+C)=2sinBcos4,

即VssinB=2sinBcosA,

因为Be(0/),

所以sin,

所以cosA=,

2

因为4e(0,7r),

所以4=/;

6

若选②,因为sin2B+sin2C-sin24=J^sinBsin。,

由正弦定理得庐+。2—Q2=,^C,

由余弦定理得cos4='+、—乙=遮,

26c2

因为4e(0,7r),

第15页,共18页

7T

所以4=K;

6

bca2

(2)因为0=2,由正弦定理得sin_BsinCsinA1

2

所以b=4sin,c=4sin。,

所以AABC的面积S=|bcsinA=4sinBsinC

=4sinBsin(B+:7T)=4sinB(-^-sinB+-]cosB)

=2sinBcosB+2A/3sin2B

=sin2B+\/3(1—cos2B)

=2sin(2B—£)+禽,

3

因为△ABC为锐角三角形,

7T7T

0<A<|0<-<-

62

7Tc7T

所以<0<B<-即《0<B<-

0<C<|c5江—7T

0<T-B<2

7T7T

所以可<B<2;

o

,7T八-7T27r

所以万<2B——<---,

ooo

所以sin(2B_3)C(gl],

o/

所以/XABC面积的取值范围为(273,2+\/3].

【解析】本题考查正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形、利用正弦定理解三角形、三角形面积公式、

三角恒等变换的综合应用、求正弦型函数的值域或最值、逆用两角和与差的正弦公式,属于中档题.

(1)选①,利用向量共线得坐标表示,得出8acosC=(2b-ec)cos4,再利用正弦定理和两角和与差的

正弦公式化简,求出COS4=Y2,即可求出结果;

2

选②,利用正弦定理化简已知式子为庐+。2_(12=孤儿,再利用余弦定理,即可求出结果;

(2)由正弦定理得出b=4sinB,c=4sin。,表示出△48。的面积

S=16csinA=4sinBsinC==2sin(2B-^)+\/3>求出角2的取值范围,结合正弦函数的最值的求解,

/O

即可求出结果.

第16页,共18页

19.【答案】解:(1)由图可得4=f(c)=a、

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