2025年高考数学复习之解答题：概率（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题(解答题)：概率(10题)

—.解答题(共10小题)

1.(2024•新县校级模拟)袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.

(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4

分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.

2.(2024•莆田模拟)盒中有标记数字1,2,3,4,5的小球各2个，随机一次取出3个小球.

(1)求取出的3个小球上的数字的中位数为3的概率；

(2)记取出的3个小球上的数字的中位数为X,求X的分布列与数学期望.

3.(2024•邵阳三模)为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据

所获得的分数获得相应的奖品.工作人员给每位答题人提供了48两类题目.规定每位答题人共需回

答3道题目.现有两种方案供答题人任意选择：

甲方案：只答A类题目；

乙方案：第一次答4类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，

则下一次答8类题目.

已知A类题目每次答对得4。分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分.若小李每道A

23

类题目能答对的概率均为9每道8类题目能答对的概率均为g,且每道题能否答对与回答顺序无关.

(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；

(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？

4.(2024•保定三模)为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据

统计如图所示.

(1)求。的值以及这批产品的优质率(注：产品质量指标达到130及以上为优质品)；

(2)若按照分层的方法从质量指标值在［110,130)的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2

件，求至少有一件的指标值在［120,130)的概率；

(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件

数为X,求X的分布列与数学期望.

5.(2024•福建模拟)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”

竞赛活动.竞赛共有A和2两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1

道2类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题

抽后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道8类试题的概率均为1.

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.

6.(2024•白云区校级模拟)多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴

胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积

极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽

小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任

取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，

若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6,而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.

(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；

(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.

7.(2023秋・T8联考月考)为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策

措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国

各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工

进行调查，得到如下表的数据：

了解程度性别合计

男性女性

比较了解6060

不太了解2040

合计

(1)补充表格，并根据小概率值a=0.025的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？

(2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X表

示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.

附表及公式：

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

2

2_n^ad—bc)

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

8.(2024•浙江模拟)为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”

中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为80%,跳绳的概率为20%,在下雪天他跑步

的概率为20%,跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%,若前一天下雪，

则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳

20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为P”.

(1)求尸1、P2、P3的值，并求P”；

(2)设小王寒假第"天通过运动消耗的能量为X,求X的数学期望.

9.(2024•江西模拟)甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的

21

发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为一，若乙发球，则本回合甲赢的概率为一，每回合比赛的结

33

果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.

(1)求第4个回合甲发球的概率；

(2)设前4个回合中，甲发球的次数为X,求X的分布列及期望.

10.(2024•宜宾三模)某地为调查年龄在35-50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35-50岁段人群中

随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：

女性男性

每周运动超过2小时6080

每周运动不超过2小时4020

(1)根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35-50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？

(2)用样本估计总体，从该地年龄在35-50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超

过2小时的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

参考公式：烂=g+b)器标2⑺+4"=a+b+c+d.

P（蜉〉如）0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：概率（10题）

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

1.（2024•新县校级模拟）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.

（1）若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为X,求X的分布列和数学期望；

（2）若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4

分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；超几何分布；求解条件概率；离散型随机变量及其分布

列.

【专题】运动思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】（1）分布列见解析；E（X）=1；

【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；

（2）设事件A="最后得分为8分”；事件8="恰取到一个红球”，求出尸（A）,PCAB）,再根据条

件概率的概率公式计算可得答案.

【解答】解：（1）由题意得X的可能取值为：0,1,2,

P（X=0）=等=白，P（x=l）=^=*P（x=2）=警3

=田

c8c8C8

所以x的分布列为：

X012

pA43

14714

数学期望E(X)=0x^-+lXy+2x^=

1;

（2）设事件A="最后得分为8分”；事件8="恰取到一个红球”，

由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球,

所以PQ4）=度学运=葛，「（曲=皆=急

L8C8

3

所以P（B|4）==受=.

28

【点评】本题考查条件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题.

2.（2024•莆田模拟）盒中有标记数字1,2,3,4,5的小球各2个，随机一次取出3个小球.

（1）求取出的3个小球上的数字的中位数为3的概率；

（2）记取出的3个小球上的数字的中位数为X,求X的分布列与数学期望.

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

……1

【答案】（1）-；

（2）X的分布列为：

X12345

p14141

151531515

E(X)=3.

【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解;

（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,利用古典概型的概率公式求出相应的概

率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解即可.

盘戏盘+C在盘+盘）1

【解答】解：（1）取出的3个小球上的数字的中位数为3的概率为

3

（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,

且时—等L和

P(X=2)

。对。4+餐（C：+C）

P(X=3)

P(X=4)

71

_cic8_i

P(X=5)一村一田

L10

故X的分布列为:

X12345

P14141

151531515

14141

所以E(X)—lx+2xyg+3x可+4x+5x=3.

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

3.(2024•邵阳三模)为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行“消防安全”答题活动，答题人根据

所获得的分数获得相应的奖品.工作人员给每位答题人提供了A,B两类题目.规定每位答题人共需回

答3道题目.现有两种方案供答题人任意选择：

甲方案：只答A类题目；

乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，

则下一次答8类题目.

已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，B类题目每次答对得30分，答错得0分.若小李每道A

23

类题目能答对的概率均为9每道B类题目能答对的概率均为g,且每道题能否答对与回答顺序无关.

(1)若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；

(2)若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算.

44

【答案】(1)—:

(2)乙方案.

【分析】(1)由独立事件的乘法公式求解即可；

(2)由二项分布求出小李采用甲方案答题的期望E(Y),若小李采用乙方案答题，则设他的得分为Z,

求出Z的可能取值及其对应的概率，由数学期望公式求出E(Z),由E(V)<E(Z)即可得出答案.

【解答】解：(1)若“小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分”记为事件E,

则小李至少答对2道A类题目，

所以P(E)=或(|)2(|)1+以|)3(|)。=接

(2)若小李采用甲方案答题，设他的得分为匕则他答对的题数为X,

92A

且X〜8(3,所以E(X)=3x(=5，

则E(y)=40E(X)=40X]=48,

若小李采用乙方案答题，则设他的得分为z,Z的可能取值为0,30,40,70,80,120,

322123333234s

P(Z=0)=qXqXq=-ryp-,P(Z=30)=qXqXq+qXqXq=-ryp-,

P(Z=40)=看x彦x看=-rypyP(Z=70)=pX^Xp+^XpX^=

nrc八、22312……、2228

产(Z=80)=qxqxq=1尸(Z=120)=-=x-=x-==1,

124K1?261?R12K4

所以E(Z)=0xi+30x［”+40x1”+70x［+80x［？<+120x1口=—西一=50.16,

因为E(y)<E(Z),

所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题.

【点评】本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于中档题.

4.(2024•保定三模)为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据

统计如图所示.

(1)求。的值以及这批产品的优质率(注：产品质量指标达到130及以上为优质品)；

(2)若按照分层的方法从质量指标值在［110,130)的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2

件，求至少有一件的指标值在［120,130)的概率；

(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件

数为X,求X的分布列与数学期望.

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【答案】⑴0.02；优质率为25%；

5

(2)—；

7

(3)分布列见解析，E(X)=1.

【分析】(1)由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果；

(2)由分层抽样可得质量指标在［110,120)有4件，质量指标在［120,130)有3件，结合古典概型

求其概率即可；

1

(3)由题意知，4件产品中优质产品的件数服从二项分布，即X〜8(4,一)，进而运用公式求解即可.

4

【解答】解：(1)由频率分布直方图的性质得(0.005+0.04+0.03+。+0.005)X10=l,解得。=0.02,

产品质量指标超过130的频率为(0.002+0.005)X10=0.25,

所以这批产品的优质率为25%.

(2)因为质量指标在［110,120)和［120,130)的频率分别为0.4和0.3,

所以质量指标在［110,130)产品中抽取7件，则质量指标在［120,130)有3件，

从这7件中任取2件，设至少有一件质量指标在［120,130)的事件为A,

所以至少一件质量指标在［120,130)的概率为尸(A)=l-4=i

a7

(3)因为抽到产品为优质产品的频率为0.25,所以每件产品为优质产品的概率为士

4

1

4件产品中优质产品的件数X〜8(4,

4

P(x=k)=,k=G,1,2,3,4,

「翼=0)=图扔(金4=会，

P—怜审丁蝶喑

「。=2)=扇%(*蒸=磊

P(X=3)=盘(扔、3怒=白

P(X=旬=心(34=忐，

X的分布列为：

X01234

P81272731

2566412864256

E(X)=4X4=1.

【点评】本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题.

5.(2024•福建模拟)为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”

竞赛活动.竞赛共有A和8两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1

道2类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答(每道题

抽后不放回).已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道8类试题的概率均为1.

(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】综合题；对应思想；分析法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由题意，先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中

即可求解；

(2)根据相互独立事件的概率，即可求解.

【解答】解：(1)易知X的所有可能取值为0,10,20,30,

此时P(X=0)=W=用，P(X=10)=-^=T20=4U，

c10c10

P(X=20)=竽=粽=奈P(X=30)=S=^=J

L10L10

则X的分布为：

X0102030

P17217

120404024

i79i7

故E(X)=0x-J2Q+10X而+20X而+30x海=21；

(2)记“该同学仅答对1道题”为事件

此时P(M)=1x(,)2+喘x废/q=累

19

所以这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为一.

90

【点评】本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力.

6.(2024•白云区校级模拟)多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴

胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积

极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽

小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任

取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，

若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6,而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.

(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；

(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据超几何分布求出P(X=4),P(X=3),P(X=2)的概率，列出分布列，求出数学

期望即可；

(2)设A表示穿红色衣物，则彳表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则亘表示穿套装，求出

PQ4),P(A),P(B\A),P伊⑼,结合条件概率和P(B)=P(BM)P(A)+P(B|I)P(©计算即可求解.

【解答】解：(1)设抽到红球的个数为X,则X的取值可能为4,3,2,

P(X=4)=a=存

P(X=3)=M=2

C6

22

P(X=2)=^rr=I9，

所以x的分布列为:

X432

P182

15155

故E(X)=4X正'+3xY2+2x2=2；

(2)设A表示穿红色衣物，贝以表示穿蓝色衣物，8表示穿连衣裙，贝店表示穿套装，

因为穿红色衣物的概率为。缶)=P(X=4)+P(X=3)=总+白=|,

则穿蓝色衣物的概率为P(I)=P(X=2)=|,

穿红色连衣裙的概率为P(B|4)=0,6=|,穿蓝色连衣裙的概率为P(8|1)=0.5=

则当天穿连衣裙的概率为P(B)=P(BM)P(4)+P(B|4)P(2)=jxj+|x|=i|,

14

所以小李同学当天穿连衣裙的概率为二.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查条件概率及全概率公式，属中档题.

7.(2023秋・T8联考月考)为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策

措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国

各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工

进行调查，得到如下表的数据：

了解程度性别合计

男性女性

比较了解6060

不太了解2040

合计

(1)补充表格，并根据小概率值a=0.025的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？

(2)用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X表

示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.

附表及公式：

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

2_n(ad—bc)2

%—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)完善列联表，计算出卡方，即可判断；

(2)首先求出抽得女性、男性的人数，依题意可得X的可能取值为0、2、4、6,求出所对应的概率,

即可得到分布列与数学期望.

【解答】解：(1)依题意补充表格如下：

了解程度性别合计

男性女性

比较了解6060120

不太了解204060

合计80100180

零假设为刑：了解程度与性别无关.

2

根据列联表中的数据，经计算得到X2=18党喘麒筮)=|=4,5<5.024,

根据小概率值a=0.025的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立，

因此可以认为Ho成立，即了解程度与性别无关.

(2)用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性12X器=8人，男性有12x|§=4人.

...X的可能取值为0、2、4、6.

则P(X=0)=率=袅P(X=2)=*乎或=券

L12C12

Q「6601

「重=4)=h=空，P(X=6)=^=空-

G12G12

；.X的分布列为：

X0246

p81681

33333333

E(X)=0x+2x+4x+6x

【点评】本题考查了列联表与独立性检验、古典概率计算公式、随机变量的分布列与期望，考查了推理

能力与计算能力，属于中档题.

8.(2024•浙江模拟)为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”

中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为80%,跳绳的概率为20%,在下雪天他跑步

的概率为20%,跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%,若前一天下雪，

则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳

20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为Pn.

(1)求尸1、P2、P3的值，并求P”；

(2)设小王寒假第几天通过运动消耗的能量为X,求X的数学期望.

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

111

【答案】(1)P1=1,P2=0.4,尸3=0.52,匕=*+于(一看尸-1；

1

(2)E(X)=250+30x(一铲T.

1Q

【分析】⑴由题可直接求得尸1,P2,尸3,并能推得匕=0.42„_1+0,6(1-2?1-1)=—，？1-1+5,进

111

一步可得血-刍是以5为首项，T为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式即可求解；

(2)由题X的取值为X=200,300,且可得P(X=300)=0.6P〃+0.2,然后利用期望的性质及公式即

可求解.

【解答】解：(1)依题意，P1=1,尸2=IX0.4=04,^3=0,4X0.4+0.6X0,6=0.52,

1Q

依题意七=0APn^+0.6(1-Pz)=-jPn-i+|,

整理得4-J=J,(Pn-l_I)，

所以｛&-3是以Pi—3=义为首项，—寺为公比的等比数列，

即»1(_*，

所以为-|)ni；

(2)由题X的取值为X=200,300,

则尸(X=300)=0.8Pn+0.2(1-Pn)=0.6办+0.2,

P(X=200)=1-P(X=300)=0.8-0.6P«,

所以E(X)=300尸(X=300)+200P(X=200)

=300(0.6P”+0.2)+200(0.8-0.6P”)

1

=220+60P„=250+30x(一铲工

【点评】本题考查了离散型随机变量的期望及条件概率的相关计算，属于中档题.

9.(2024•江西模拟)甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的

发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为二若乙发球，则本回合甲赢的概率为±每回合比赛的结

33

果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.

(1)求第4个回合甲发球的概率；

(2)设前4个回合中，甲发球的次数为X,求X的分布列及期望.

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；离散型随机变量及其分布列.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

14

【答案】(1)—;

27

(2)分布列为：

X134

P4788

27272727

E(X)=分74

【分析】(1)分类讨论结合独立事件乘法公式计算即可；

(2)分情况讨论列出分布列并计算期望即可.

【解答】解：(1)由题可知，第2回合甲发球的概率为；，乙发球的概率为士

33

22115

所以第3回合甲发球的概率为-X-4--X-=-,

33339

21124

乙发球的概率为：；x-+-x-=-,

33339

524114

可得第4个回合甲发球的概率为-x-+-x-=—,

939327

14

故第4个回合甲发球的概率为一；

27

(2)由题意可知：X可以取1,2,3,4,

当X=1时，21=»＞毋=务，

当X=2时，前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：

2124

第一种情况，甲第1,2回合发球，乙第3,4回合发球，其概率为:；x二x二=不,

33327

1111

第二种情况，甲第1,3回合发球，乙第2,4回合发球，其概率为：；xx：；二

33327

1212

第三种情况，甲第1,4回合发球，乙第2,3回合发球，其概率为-x-x-=一,

33327

故前4个回合甲发球两次的概率为P2=奈+5+5=务，

当X=4时，"=(各3=捺，

O

当X=3时，P3=l-P1-P2-P4=^,

故X的分布列为：

X1234

P4788

27272727

478874

E(X)=lx27+2x27+3x27+4x27=27-

【点评】本题考查随机变量的概率和分布列，期望的求解，属于中档题.

10.(2024•宜宾三模)某地为调查年龄在35-50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35-50岁段人群中

随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下:

女性男性

每周运动超过2小时6080

每周运动不超过2小时4020

(1)根据以上信息,能否有99%把握认为该地年龄在35-50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？

(2)用样本估计总体，从该地年龄在35-50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超

过2小时的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

2

nCad—bc}..

参考公式：K2—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'na+b+c+d-

P(长2＞心)0.100.050.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算.

【答案】(1)有；

(2)X的分布列为：

X0123

P34344118927

1000100010001000

9

10,

【分析】(1)根据独立性检验公式，即可求解；

(2)先判断X服从二项分布，X=0,1,2,3,依次求出概率，再结合期望公式，即可求解

27

【解答】解：由

(1)K2=(a+b)(c+哈d)("a+?c")上(b+冷d)=20龈100x10党0x140号x60-9.524>6.635.

故有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关.

(2)抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为X,

则X〜8(3,磊)，X=0,1,2,3,

P(X=0)=扁＞=瑞，p(x=1)=幅)•扁＞=赢,P(X=2)=废襦＞扁=捣,

P(X=3)=漏尸=磊,

所以随机变量X的分布列为:

X0123

P34344118927

1000100010001000

QQ

故E(X)=3XYQ=Jg.

【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列、期望的求解，考查转化能力，属于中档题.

考点卡片

1.古典概型及其概率计算公式

【知识点的认识】

1.定义：如果一个试验具有下列特征：

(1)有限性：每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个；

(2)等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的.

则称这种随机试验的概率模型为古典概型.

*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就

可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.

2.古典概率的计算公式

如果一次试验中可能出现的结果有“个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率

1

都是一；

n

如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=^=人中所慧鬻氏数.

n基本事件息数

【解题方法点拨】

1.注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件数.

因此要注意清楚以下三个方面：

(1)本试验是否具有等可能性；

(2)本试验的基本事件有多少个；

(3)事件A是什么.

2.解题实现步骤：

(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

(3)分别求出基本事件的个数n