高考数学理科二轮总复习：角函数与解三角形

a

专题四

三角函数、解三角形与平面向量

第1讲三角函数与解三角形

H高考真题体验-----------------

1.（2015•江苏）已知tana=-2,tan（a+夕）=亍则tan/的值为.

答案3

.tana+tanS—2+tanB1一日

斛析：tana=-2,tan（a+^）=1_tanatan^=1+2tan（g=7,解侍tan/=3.

2.（2016•江苏）定义在区间［0,3川上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是

答案7

解析在区间［0,3兀］上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如图所示,

y

v=«in9r

由图象可得两图象有7个交点.

3.（2016•江苏）在锐角三角形3BC中,若sin3=2sinBsinC,则tanAtanBtan3的最小值是

答案8

解析在△ABC中，A+B+C=TI,

sinA=sin[兀一(3+C)]=sin(B+Q,

由已知sinA=2sinBsinC,

sin(B+Q=2sinBsinC.

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

A,B,。全为锐角，两边同时除以cosBcosC,

得tan8+tanC=2tanBtanC.

tanB+tanCtanB+tanC

又tanA——tan(3।C)——"；"^77^=7D77^7•

1—tan5tanCtanBtanC—1

tanA(tanBtanC—l)=tan5+tanC.

则tanAtanBtanC—tanA=tanB+tanC,

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+

2tanBtanC22y2tanAtan比anC,

/.yjtanAtanBtanC22\(2,

/.tanAtanBtanC28.

当且仅当tanA=2tanBtanC,

tanB+tanC

即7^7~~7；~~r=2tanBtanC,

tanBtanC~1

2tan比anC

即—2tanBtanC,

tanBtanC~1

即tanBtanC=2时，等号成立.

4.(2017.江苏)若1211(0—$=，，则tana=.

7

答案5

1-5-

71711--

1—tana16

5.(2015•江苏)在△ABC中，已知A5=2,AC=3,5=60。.

(1)求的长；

⑵求sin2C的值.

解(1)由余弦定理知，BC2^AB2+AC'-2ABACCOSA=4+9-2X2X3X1=7,所以BC=

币.

⑵由正弦定理知，黑=黑，

「A?•,2sin60°恒

所以sinC=~^smA=--=^~,

因为A8<3C,所以。为锐角，

则cosC=dl-sin2c=N］一'|=^^.

因此sin2c=2sinCeos

471

6.(2016•江苏)在△ABC中，AC=6,cosB=^,C=^.

⑴求AB的长；

(2)cos,一袭)的值.

4

解⑴由cos8=5，

得sinB=yj1—COS2B=^-.

TT

又C=W，AC=6,

由正弦定理，得盖=当？

sin7

即专=]643=5也.

52

,34\[2

(2)由(1)得sin3=5,cosB=w，sinC=cosC=勺，

7、历

则sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC=^Q-,

(2

cosA=—cos(B+Q=—(cosBcosC-sinBsin。=一].

cos(A-f)=cosAcosf+sinAsinf=^1^

则

r考情考向分析----------------------------------j

三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称

轴、对称中心)、三角函数式的恒等变换等仍是命题热点.

解答题将三角函数融入三角形之中，这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运

用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是利用三角形的内

角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解.

n

热点一三角函数的图象与性质

例1(1)若函数/U)=Asin(ox+0A>0,131cg的图象如图所示，这个函数的解析式为

答案加）=小sin（2x+M）

解析由题意知，周期T=2管一］=兀，°=半=2,

、

设7（x）=Asin（2x+9）,点（,J71,0）为五点作图中的第三点，所以2*可jr+夕=兀，即夕=可JT，

设危）=Asin（2x+5）,因为点（0,在原函数的图象上，故Asin1=|,所以A=<§,

综上可知，/（x）=q5sin（2x+g.

（2）已知函数於）=2sin（s+9）（G>①苫<9<,的图象如图所示，直线尸票尸牛是其两条

对称轴.

①求函数於）的解析式并写出函数的单调增区间;

②若加）=,,且枭<平，求既+，的值.

解①由题意，,=专一普=3，・・・T=兀,

ZooZ

又co>0,故①=2,•'•fix）=2sin（2x+甲）,

2sin伶+，=2,

由

IT

解得夕=2左兀一w（止Z）,

由2kli—］W2x—（W2%兀+］（左£2）知，

兀371

kji—RWxW%兀+金Z）,

TT37r

•••函数段）的单调增区间为［E—土配+利（止Z）.

②方法一依题意，得2sin(2a—

即sin^2a—

,,713兀,八-兀兀

cos(2a—?sin户£|+3=需

•幕+”=嗜

方法二依题意，得sin(2a—/)='!，

即sin2«—cos2a①

..713兀.717t

・W<Q<~§~，«.O<2oc—^<2，

①+②，得2sin2a

aJ=2sin^2^j+aJ—=2sin2a=~

方法三由sin(^2«—^)=|,得

.。。桀

sin2(x—cos2a=5,

1Q7

两边平方，得1—sin4a=w，sin4a=不.

..713兀.兀,3兀

・，・・]<4a,

cos4a=-^/1-Sin24a=谭，

.1—cos4«49

・・sin92。=-------=77；.

-7K3兀・♦c/A/2

乂72。<彳，..sin2a=,

.\y^+a)=2sin[2&+a)—E=2sin2a=^~^.

思维升华(1)已知函数y=Asin(s;+9)(A>0,①>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法,

由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定①；确定夕常根据“五点法”中

的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变

量工而言的，如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

跟踪演练1⑴已知函数於)=Acos(s+9)的图象如图所示，危)=一点则/(0)=.

宏安—2

u木3

解析由图象可得最小正周期为华，于是八0)=/停

注意到手与冷关于患对称，

所以/用=—府)=|，

2

所以10)=5

(2)设函数y(x)=2cos2x+sin2x+a(a^R).

①求函数1x)的最小正周期和单调增区间；

JT

②当xd[0,抻寸，段)的最大值为2,求。的值，并求出>=川)(尤GR)的对称轴方程.

则人x)的最小正周期T=y=7i,

且当2析一5w2x+^W2%7i+^T：£Z),

即左兀一争〈工或左兀+1(左£2)时，«x)单调递增.

37r7T

所以[左兀一至，航十卫|(左£2)为70)的单调增区间.

②当%)0,<时今2x+*辛普.

当2%+a=今即冗=、时,si

4Zo

所以危）max=V^+l+〃=2今4=1一也.

由2X+与=E+3（%£Z）,得工=8+融£2）,

4，Zo

故尸危）的对称轴方程为x=y+|（^GZ）.

热点二三角变换求值

例2⑴若a,夕是锐角，且sina—sin£=­3，cos«—cos则tan（Q—/?）=

宏案一览

口本3

解析sina—sin£=一1cosa—cos夕=/,

两式平方相加，得2—2cosacos4一2sinotsin0=g,

13

即2—2cos（a—/J）=2»・・・cos（a一夕）=不

171

,:a,4是锐角，且sina—sin』=-]<（）,：.0<a<B.

71八

—2<a-6<o.

____________rj

sin（a—=—yj1—cos2（a—=­4.

sin（a一夕）范

.•.tan（a一夕）=

cos（a一份3-

（2）（2017•江苏南通二模）已知sin（a+"=*,

①cosa的值;

②sin（2a—予的值.

解①方法一因为兀），

所以a+^e（乎,用，

所以cosa=cos^+4)-4

a+1cos^+sin匹

cos|4

=7®6也巾__3

—10x2+10入2—亍

方法二由sin(a+y=

I。，仔

兀71

sinacos4+cosocsin]=,

即sina+cosa=g.①

又siiAx+cos2a=1.②

3、4

由①②解得cosa=—m或cos。=亍

3

因为71,所以cosa=一亍

②因为3

7ij,cosa

所以sina

24

所以2a=2sin(zcos。=2义5义

sin25,

l>T=一套

cos2。=2cos2(x1--2X

所以sin^2«—^J=sin2otcoscos2asin

一I25)X2125；X2-50-

思维升华(1)三角变换的关键在于对两南和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三

南恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒

等变换公式的联系，正确使用公式，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张

冠李戴的情况.

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.

跟踪演练2⑴设a为锐角，若cos[a+**则sin(2a+金)的值为.

较案卫应

口本50

解析因为a为锐角，cos[a+聿)==

所以sin(a+g=|.

所以sin(2a+g=2sin(a+^jcos(a+§=|^,

(2)(2017•江苏泰州中学质检)已知0<1<去在<兀，且sin(a+.)=^,tan

①求cosa的值；

②证明：sin小看.

a

12ctan2

①角星将tan与=5代入tana=-----------,

1—tan,

(sina4

得tana<cosa3'

^sin^+cos2^^!.

又sin(oc+夕)=]3，,,cos(ocp}~~13,

4

由①可得sina=m，sin^=sin[(a+yS)—a]

53<m4635

-T3X5-l-13户5—布

热点三正、余弦定理及综合运用

例3(1)在AABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,若△ABC为锐角三角形，且满

足b2-a2=ac,则七一缶的取值范围是_______.

tanAianD

答案

解析由b2=a2+ac=a2+c2—2accosB,

得c2=tzc(l+2cosB),

由正弦定理得(sinQ2=sinAsinC(1+2cosB),

所以sinC=sinA(l+2cosB)

=>sin(A+8)=sinA(1+2cosB)

=>sinAcosB+cosAsinB=sinA+2sinAcosB

今sinAcos3=cosAsinB—sinA,

sinB

即cosB=

tanA1,

所以c°sB六=而sin淳B一<1=玄c一1A1

sinB_

111tanA—___1_

所以tanAtantanAsinB-sinB'

因为AA5c为锐角三角形，所以

贝(]2tz2+«c>c2,

所以2+黑介，则一W<2.

UxjW/Cl

因为宗°，所以0<12,

而cos”鉴T)e(0,号,

所以焉鸣,所以康一焉平)

(2)(2017•江苏南京二模)在△A8C中，。为边8c上一点，AD=6,BD=3,DC=2.

ADLBC,求NBAC的大小；

TT

②若NABC=W，求△AOC的面积.

解①如图所示，设N8A£>=a,/DAC=p.

AA

3DC

因为AZ)_L5C,AD=6,BD=3,OC=2,

所以tana=T，tan£=g,

所以tanZBAC=tan(a+p)

1.1

tana+tan42十3

1—tanatanP_1j_'

1-2X3

IT

又/B4CG(0,7i),所以/5AC=z.

②如图所示，设/BA£)=a.

TV

在△AB。中，ZABC=4，AD=6,80=3.

,丁,、…田,口ADBD

由正弦定理得---=~—,

,7isma

sm4

解得sina:坐.

因为AD>8D,所以a为锐角，从而cosa=W—sin2a=¥^.

因此sinZ.ADC=sin^a=sinacos^+cosasin^

_V2A/2V141+^7

一2(4十4)—4-

SAADC-2义ADXDC-sinAADC

=^X6X2X1-^^=|(l+^7).

思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三

角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”,即“统一角、统

一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.

跟踪演练3(1)在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,，已知a2~c2=2b,

且sinAcosC=3cosAsinC,则b的值为.

答案4

角翠析,/sinAcosC=3cosAsinC,

,a2+Z?2—c2&2+(?-a2

由正、余弦定理可知，aX----谢---=3cX-----正--,

化简并整理得2(/—C2)=尻

又由已知可得46=房，解得6=4或6=0(舍).

(2)在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足彼°'''=2cosC.

①求角C的大小；

②若△ABC的面积为2小，且a+b=6,求c的值.

片+廿一廿廿+.一〃2262

解①由余弦定理知，acosB+bcosA=aX-=一十8义仁代—==^=c,

acosB+bcosA.1

•e•=1••cos。=不

cf2

TT

又C£(0,7l),C=y

②•・&A5C=5加inC=2小，ab=S.

又a+b=6,c2=a2+b2—2abcosC=(a-\~b)2—3ab=12,

：・c=24.

in

1.在正三角形ABC的边A8,AC上分别取。，E两点，使沿线段。E折叠三角形时，顶点A

正好落在边BC上，在这种情况下，若要使A。最小，贝UAD：A8=.

答案2事一3

解析设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A,P两点关于折线。E对称，

又设/区4尸=氏；./。用=&NBDP=29.

再设AB=a,AD=x,:.DP=x,

在△ABP中，NAPB=180°—NABP—NBAP=120°—仇

j〒口、…用"BPAB

由正弦理知，~7DAD=•/ADD，

sinZBAPsinZAPB

,BccP=-----“--s-i-n--0-----

sin(12O°-0),

在△P5Z)中,—~/TYDn=~/nno'

sinZDBFsinZBDP

.x-sin20,十-sin8xsin28

•，BP=sin600)从血sin(12()o—e)=sin60。，

.“sin夕sin60°___________yfia______

sin26>-sin(120°—<9)2sin(2<9+60°)+V3,

V0°^6>^60°,,,.60°^26>+60o^180o,

・••当2。+60。=90。，即8=15。时，sin(2<9+60°)=l,

此时x取得最小值，^^=(2小一3)〃，即AD最小，

J.AD:AB=2小一3.

2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知§=呼，A+3c=兀

⑴求cosC的值；

⑵求sinB的值；

⑶若6=3小，求△ABC的面积.

解(1)VA+B+C=7i,A+3C=TI,：.B=2C.

由正弦定理得£=煞，

••・辛=殁瞪，化简得3。=坐

(2)VC^(0,7i),sinC=>\/l—cos2C=1—3=^-

sin3=sin2C=2sinCeosC=2X坐乂乎=邛

(3)VB=2C,

cosB=cos2C=2COS2C-1=2Xj—1=—

VA+B+C=7i,

/.sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC

=2^2^3^6=：^6

_3X3+13；X3~9,

IV专题强化练

A组专题通关

兀

1.已矢口tana=-2,且］＜。＜兀，贝!Jsina+cosQ=.

答案坐

兀

解析因为tana=-2,且/＜好兀，sin2(z+cos2oc=l,

故sin。=3,cosa1

2__L=，=或

所以sina+cosa

小小小5,

2.(2017•江苏南京学情检测)若函数段)=sinQzx+g

3>0)的最小正周期为兀，则的值是.

答案2

解析VT=77=7L,.*.CO=2,

co

.V(1)=sin^2x|+g=siny=1.

3.在△ABC中，已知BC=2,AC=5B=y,那么△ABC的面积是.

答案坐

解析在△ABC中，由正弦定理，得

AC_BC巾—2

sinB-sinA)且一sinA'

2

解得sinA=当［cosA=^^.

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

_V21<_1\2^7V3_V21

_7I2)十72-14-

：.SAABC^^AC-BC-smC=3X2X巾X喑=坐

4.函数尸sin(2x—§的图象上的点尸件，向左平移s(s>0)个单位长度得到点P.若点P

位于函数丁=5由2x的图象上，则S的最小值为.

答案f

解析点a},“在函数、=$皿3—g的图象上，

则t—sinf2Xj—=sinT=r.

\4Jyo2

r兀

又由题意得y=sin2(x+s)—1=sin2x,

故尸/+E,kRZ,所以s的最小值为%.

oo

5.在△ABC中，若C=3B,贝哈的取值范围为.

答案(1,3)

解析由正弦定理可知，

c_sin3BsinBcos2B+cosBsin2B

bsinBsinB

cos2B+2cos2B=4cos2B—1.

又A+3+C=180。，C=3B,

0°<B<45°,¥<cosB<1,

.•.1<4COS2B-1<3,故1哈3

即的取值范围是(1,3).

4

6.已知。为锐角，sin(6>+15°)=p则cos(2。一15。)=

17P

解析由二倍角公式可得cos(2^+30°)=l-2sin2(<9+15。)=1—2X一芯，

4

又。为锐角，sin(6>+15°)=5<2,

.,.6>+15°<60°,即6V45。，

.,.26>+30°<120°,

sin(20+3O°)=yj—叁2=||,

由两角差的余弦公式可得

cos(26>-150)=cos(26>+30°-45°)

=cos(2<9+30°)cos45°+sin(2<9+30°)sin45°

―252十252-50,

7.(2017•江苏镇江一^莫)已知向量m=(cosa,—1)，n=(2fsina),其中a£(0,习，且m_L〃.

⑴求cos2a的值；

(2)若sin(a—0=曙，且蚱(0,宫，求角£的值.

解方法一⑴由m±n9得

2cossina=0,sina=2cosa,

代入cos2a+sin2a=1,得5cos2a=1.

「u*m.i亚.2小

Xoct10,2则cosa=5,sina—5,

则cosla—2COS2OC—1=2X—1——5.

(2)由a£(0,电,(£(0,2),得

因为sin(a一夕)=[^,所以cos(a一夕)=今俱.

则sinP=sin[a—(a—)8)]=sinacos(a—^)—cosasin(a-.)

2-j53Vlb^V10A/2

510-510-2,

因为££(0,，所以片

方法二(1)由/n_L〃，得2cosa-sina=0,tana=2,

cos?。一sin2a1—tan2a1-43

故cos2a=cos2a—sin2a=

cos2ot+sin2oc1+tan2oc1+45-

(2)由(1)知，2cosa—sina=0,

工，蚱&

且cos2(z+sin2a=1,oc^l0

所以

sinQ=2^,COSG,~~5

蚱(_71Tl\

由ae(0,方,0,g,付a_pe1_5,2).

因为sin(a—4)=*^,所以cos(a一夕)=3

则sinp=sin[a—(a—)B)]=sinacos(a—£)-cosasin(a-;£)

2小3回艮回也

-510510-2-

因为0,另,所以£=,

4

8.(2017•江苏苏北三市三模)如图，在△ABC中，已知点。在边A8上，AD=3DB,cosA=§,

cosNAC8=得，8c=13.

(1)求cosB的值;

⑵求CD的长.

4

解(1)在△ABC中，cosA=5,A£(0,兀),

所以sinACOS2A=AF-W=!

同理可得sinZACB--^.

所以cosB=COS[R—(A+ZACB)]=—cos(A+ZACB)

=sinAsinZACB—cosAcosZACB

=312_45=16

-5XT3_5X13-65,

⑵在△ABC中，由正弦定理，得

BC,1312

~rsinZACB=-7X—=20.

AB=~sinA313

5

又AD=3DB,所以BD=^AB=5.

在△BCD中，由余弦定理，得

CD=yjBU+BC2—2BDBCcosB

=^52+132-2X5X13x1|=9V2.

B组能力提高

31

9.已知a为锐角，cosa=m，tan(a—S)=-g,贝han£的值为

答案3

、34

解析由。为锐角，cosa=m，得sina=m，

.4..1

・・tana=g.・tan(a夕)=Q,

tana—tan(a一4)

tan£=tan[“一(a—£)]=

1+tanatan(a-p)

2

10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c.已知cosA=g,sinB=\5cosC,且

a=巾,则△ABC的面积为

答案坐

2

解析因为0<A<兀，cosA=1,

(_______*

所以sinA=yj1—cos2A=•

又小cosC=sinB=sin(A+C)

小2

sinAcosC+cosAsinC=cosC+^sinC,

A/S1

结合sin2C+cos2C=1,得sin。=去，cos

贝Isin8=，5cos。=坐

由〃=必及正弦定理焉=c得c=3.

SillZ1

故SZ\ABC=14csin■

11.函数y=2sin(w—jJ(04W9)的最大值」

答案2+小

An-LL、？c—*--八日—>、)7C7LX7L

解析因为0WxW9,所以一不一

因此当詈w时,

函数y=2sin管一取得最大值，即ymax=2X1=2.

当言苫=一]时，函数y=2sin管一§取得最小值，即ymin=2sin(一，)=一小,

12.已知函数》:)=3sin10x一款0>0)和g(x)=3cos(2x+o)的图象的对称中心完全相同，若

7T

xe[o,小，则犬功的取值范围是

「3

答案一5,3

解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故0=2,

那么当xG0,5时，一太2无一太取

L，」ooo

所以一吴5桁(2尤_/卜1,故八尤)e-1,3

13.如图，函数加)=Asin(ox+°)(其中A>0,。>0,|夕|词与坐标轴的三个交点P,Q,R满

足尸(2,0),ZPQR=l，M为QR的中点，PM=2小,则A的值为

答案呼

解析由题意设Q(a,O),R(0,-a)(a>0),

由两点间距离公式，得

PM=/2一寸+册=2小,

解得〃1=8,。2=—4(舍去),

TJr

由此得5=8—2=6,即T=12,故①=4.

TT

由尸(2,0)得夕=—不代入Q%)=Asin@r+9),得

/(x)=Asin|

=-8,得4=喏.

从而7(0)=Asin|

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