人教版高中数学复习：正弦函数、余弦函数的性质（二）

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）

【学习目标】1.掌握产sinx,y=cosx的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值2

掌握y=sinx,y=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数产心皿口工+夕）及y

=Acos（①x+夕）的单调区间.

n问题导学

知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域

观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.

正弦曲线:

,y=sinxyxGR

37T

u手-有

(1)

余弦曲线:

可得如下性质:

由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,值域都是「一1,

1L

对于正弦函数y=sinx,有:

77

当且仅当％=]+2析，时，取得最大值1；

TT

当且仅当x=-]+2配，AGZ时，取得最小值一1.

对于余弦函数y=cosx,xGR有：

当且仅当尤=2祈，AGZ时，取得最大值1；

当且仅当x=（2A+l）兀，左ez时，取得最小值一1.

知识点二正弦、余弦函数的单调性

IT27r

观察正弦函数y=sinx,2]的图象.

思考1正弦函数在[—多苧]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？

答案观察图象可知：

当xe[—全司时，曲线逐渐上升，是增函数，sin尤的值由一1增大到1；

当xe修TT引时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到一1.

推广到整个定义域可得

TTTT

当了£—]+24兀，(k£Z)时，正弦函数丁=5111%是增函数，函数值由一1增大到1；

JT3冗

当xG]+2M,丁+2E(左GZ)时，正弦函数丫=$也才是减函数，函数值由1减小到一1.

观察余弦函数y=cosx,xG[—■n,IT]的图象.

思考2余弦函数在[―TT,用上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？

答案观察图象可知：

当xd[—n,0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由一1增大到1；

当xG[0,用时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到一1.

推广到整个定义域可得

当xe[2/cn—n,2AIT],AeZ时，余弦函数＞=8$尤是增函数，函数值由一1增大到1；

当尤e[2A~n,(2k+l)n],左ez时，余弦函数〉=8$犬是减函数，函数值由1减小到一1.

思考3正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？

兀兀7T3兀

答案y=sinx的增区间为一]+2E:,1+2%兀，%£Z,减区间为工+2尿,5+2左兀,fcez.

y=cosx的增区间为[—n+2kn,2kn],减区间为[2kn,TI+2/CTI],k^Z.

梳理

解析式y=sinxy=cosx

y

y

_TT

TTXZ^

图象<\TT2Tf

-2TTOTL\i/_x--------2s«_^r/一

~T~~2

值域[-1,1][-1,1]

在[—JI+2ATC,2hr],Z£Z

「兀7［

在一］+2加，］+2左兀,%£Z上递增，

上递增，

单调性

兀3兀在[2/cn,n+2/cn],左£Z上

在D+2E,亍+2左兀,上递减

递减

兀当时，）max

当％=1+2祈，时，ymax=l；当X=X=2/CR,

最值=1;当％=兀+2攵兀，攵£Z

兀

—1+24兀，时，＞min=-1时，＞min=­l

2题型探究

类型一求正弦、余弦函数的单调区间

例1求函数y=2sin住一［的单调递增区间.

解y=2sin（j—%）=-2sin^r—,

人兀

令z=x--^9

贝Iy=-2sinz.

因为2是x的一次函数，所以要求y=—2sin?的单调递增区间，即求sinz的单调递减区间，

Jr37r

即2A7i+］WzW2%7i+z（%£Z）.

TT7T371

Z）,

37r7兀

即2E+q-WxW2E:+N「（女£Z）,

・・・函数尸2sin住一x）的单调递增区间为

2E+竽，2E+牛（％£Z）.

反思与感悟用整体替换法求函数y=Asin（ox+p）或y=Acos（ox+0）的单调区间时，如果式

子中x的系数为负数，先利用诱导公式将无的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，

需将最终结果写成区间形式.

跟踪训练1函数产sin（3x+^）,xd［一?用的单调递减区间为.

712兀7171

答案

不~~99f3_

jrrr37r

解析由］+2也・3%+5:^5_+2%兀(％£2),

得§+亍<讨+亍(keZ).

兀71

又正

y3

所以函数》=$也(3叶袭)，xe-1,1的单调递减区间为冶，-y,百|

类型二正、余弦函数单调性的应用

命题角度1利用正、余弦函数的单调性比较大小

例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.

(l)sin196。与cos156°；

⑵cos(一卷无)与cos(—3).

解(l)sin196°=sin(l80°+16°)=-sin16°,

cos156°=cos(180°-24°)=-cos24°=—sin66°.

,."0°<16o<66o<90°,且〉=5由苫在［0。，90。］上是增函数,

Asin160<sin66°,

从而一sin16°>—sin66°,即sin196°>cos156°.

(23、23।33

(2)cosl—■yjil=cos亍TI=COS(4兀+尹)=cos尹,

<17A_H_(A.TA_三

cost4兀J—cos4兀—COS(4TI十4J——cos

JT3

,.,0＜4＜亍1＜无，且丫=85彳在［0,TT］上是减函数,

反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一

单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.

跟踪训练2比较下列各组数的大小.

♦条)与疝蓊；

(l)sin

(2)cos870°与sin980°.

兀兀

sin^)=sin(l6lt+1)=sin?.

3,3,

：y=sinx在［一］,］］上是增函数,

(2)cos870°=cos(720°+150°)=cos150°,sin980°=sin(720°+260°)=sin260°=sin(90°+170°)

=cos170°.

,.,0°<150o<170o<180°,且产cosx在［0。,180。］上是减函数,

Acos150°>cos170°,即cos870°>sin980°.

命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围

例3已知。是正数，函数式x)=2sinox在区间［一?也上是增函数，求。的取值范围.

JT-TT

解由一］+2祈兀(%£Z),得

7i2kn—,兀।2人兀

—z—十1—十,

2coco2coco

•・•於)的单调递增区间是L券+等券+甯，旧.

根据题意，得［冶,券+华,券+甯收Z)，

兀,71

3

从而有彳JL>2I解得0<GW不

。>0,

3

故。的取值范围是(0,f］.

反思与感悟此类问题可先解出式X)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列

不等式组求出参数范围.

跟踪训练3已知0>0,函数/(x)=sin(0x+g在俘兀)上单调递减,则co的取值范围是()

15口31

A-2-4B..4

答案A

解析取。=土，/U)=sin(|x+£),

其减区间为|配+率|左兀+兀，左ez,

显然俘兀)三高E+率|也十兀，左ez,排除B,C.

取①=2,火x)=sin(2x+^,

r兀5

其减区间为E+g,E+g兀,kRZ,

Af、兀5

显然弓，兀左兀+g,E+g兀,kGZ,排除D.

类型三正、余弦函数的值域或最值

例4⑴求函数y=2cos(2x+8,x£(一/寿的值域；

⑵求使函数y=-sin2x+馅sinx+看取得最大值和最小值的自变量尤的集合，并求出函数的最

大值和最小值.

解(1)V—0<2x+^<^,

171

一］<COS(2X+Q)<1,

函数y=2cos(2x+?,%£(一看，前的值域为(一1,2).

(2)令/=sinx,则一1W/W1,

.•.y=—l2+y/3t+^=_(L坐y+2.

当r=乎时，ymax=2,

、巧TT9jr

此时sinx=，即％=2祈+1或x=2k7i+~(k^Z).

当f=-1时，ymin=!一小.

3兀

此时sinx=-1,即x=2fai+z(%£Z).

C兀

综上，使函数y=—sir?九+(§sinx+］取得最大值时自变量1的集合为｛小=2左兀+,或x—2kn

+空，k£Z),且最大值为2.

使函数y=—sin2x+小sinx+土取得最小值时自变量x的集合为｛Rx=2E:+得，k《Z｝,且最

小值为:一小.

反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函

数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.

常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：

⑴形如y=sin(s;+9)的三角函数，令t=cox+中,根据题中工的取值范围，求出/的取值范围，

再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin/的最值（值域）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c（〃WO）的三角函数，可先设sinx=t,将函数y=asir^x+bsinx+

c（〃WO）化为关于t的二次函数y=ai2+bt+c（a^0\根据二次函数的单调性求值域（最值）.

⑶对于形如y="sinx（或y=4cosx）的函数的最值还要注意对a的讨论.

跟踪训练4已知函数以%）=2〃sinx+/?的定义域为[一?yj,函数的最大值为1,最小值为

-5,求〃和b的值.

解—鼻WxW与,—2sin九W1.

[2a+b=l,[a=12—6小,

若。＞0,贝H厂।解得《广

[—yl3a+b=—5,[/?=—23+12\3.

（2a-\~b=-5,[a=一12+6,\/3,

若〃VO,贝H厂।解得《二

[~yJ3a+b=l,必=19—12班.

3当堂训练

1.函数危）=sin（j+§的一个单调递减区间是（）

B.[—TC,0]

解析由畀x+仁|兀,

B.sin3>sin2

D.sin2>cos1

答案D

角星析sin2=cos6——2）=cos（2?

且0<2一3〈1〈兀,.*.cos^2—^）>cos1,

即sin2>cos1.故选D.

3.函数y=cosG+§,0,的值域是（）

答案B

解析••・OWxW会.吟上+数家

x+zWcos7

.故选B.

4.求函数y=3-2sin5的最值及取到最值时的自变量x的集合.

解-1Wsin1,

]]71

・••当sing=-1，干=2%兀一》kRZ,

即％=4e一兀，kRZ,为漱=5,

此时自变量X的集合为｛%|X=4E—兀，2£Z｝；

1171

当sin中=1，那=2E+],止Z,

即1=42兀+兀，时，＞min=l,

此时自变量x的集合为｛x|x=4E+兀，攵£Z｝.

IT

5.求函数y=2sin（4—2x）,x£（0,兀）的单调递增区间.

解函数y=2sin仅-2x）=-2sin（2x—专），

・・・函数y=2sin（^—2；的单调递增区间为y=2sin（2x一习的单调递减区间.由2T

W：+2左兀，z£Z,

TT57r

得E+]WxWE+不，kRZ.

Vx^（0,兀），:・由％=0,得

函数y=2sin《一2x）,%G（0,兀）的单调递增区间为$y.

规律与方法।

1.求函数y=Asin（ox+9）（A＞0,。＞0）的单调区间的方法

,717E

把①x+9看成一整体，由2析一]Ws:+9W2攵兀+//£Z）解出x的范围，所得区间即为增

jrSir

区间，由2防T+/WOX+9W2防c+5'（%ez）解出尤的范围，所得区间即为减区间.若。<0,先利

用诱导公式把。转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.

2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值

的大小比较，再利用单调性作出判断.

3.求三角函数值域或最值的常用方法

将y表示成以sinx（或cos尤）为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的

单调性等来确定y的范围.

课时作业

一、选择题

1.函数y=l—2cos会的最小值，最大值分别是（）

A.i1,3B.—1,1

C.0,3D.0,1

答案A

解析Vcos1,1],，一2cos女£[一2,2],

*—1-2cos2工£[—L3],・・ymin——1>Ymax-3.

JT1T

2.下列函数中，周期为兀，且在[不或上为减函数的是（）

A.y=sin（2x+冷

D.y=cos(x+^

答案A

3.下列关系式中正确的是()

A.sinll0<cos100<sin168°

B.sin1680<sinll0<cos10°

C.sinll0<sin168°<cos10°

D.sin1680<cos100<sin11°

答案C

角星析Vsin168°=sin(180o-12°)=sin12°,

cos10°=sin(90o-10°)=sin80°.

・•・由正弦函数的单调性，得sinll°<sin12°<sin80°,

即sinll0<sin168°<cos10°.

4.函数y=|sinx|的一个单调递增区间是（）

A.（2»兀）B.（兀，2兀）C.（m咨）D.（0,7i）

答案C

解析作出函数y=|sinx|的图象，如图，观察图象知C正确，故选C.

y

1

—,TTOIT27Tx

5.函数y=3cos2x—4cosx+l,%£存学的最小值是（）

A.—1B.与C.OD.一；

答案D

解析令看COS%,号,争］,1］,

21

y=3t1—4t+1=3（/_,）2-］.

・・?=3«―|）2一寺在［£［一］由上单调递减,

,当方=3时，ymin=3X（1）2—4X1+1=—

6.若函数段）=sin5（①>0）在区间［o,外上单调递增，在区间层，外上单调递减，则g的值

可为（）

人3「2

A，2Bq

C.2D,3

答案A

解析由题意知，即7=专,专=*

._3

・•co-2。

二、填空题

7.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为.

答案sin3<sinl<sin2

IT

解析*.*1<2<2<3<71,

sin（兀-2）=sin2,sin（兀-3）=sin3.

y=sinx在（0,电上递增，且0〈兀-3Vl<兀-2专

/.sin（7i—3）<sinl<sin（兀—2）,

即sin3<sinl<sin2.

8.函数y=2sin（2x+争（一日WxW前的值域是.

答案[0,2]

解析・.,一[qW，，0W2x+袅冬,

oo33

jr

.,.OWsinQx+RWl,Z.yG[0,2].

9.函数y=/吊自一元）（n£[0,n]）的单调递增区间为.

・・匚「c-i•兀兀v5兀

・工£[0,T[],•・一5W%—&W?-.

要求函数的单调递增区间，

兀一5兀

则产X-萨不，

即,Wx，".y=g(s琮-x)(xG[0,m)的单调递增区间为牛，无.

10.函数y=sin尤的定义域为[a,b],值域为一1,；,则b-a的最大值与最小值之和为

答案2兀

解析由图可知，

b-a的最大值为詈一手=当，

b—a的最小值为争一手=咨.

所以最大值与最小值之和为4学7r+号27r=2兀

三、解答题

11.求下列函数的单调增区间.

%

(l)y=l—sin］；(2)y=10gi

2

解⑴由2%兀卷W2E+|TI,kGZ,

得4E+兀WxW4fai+3兀，keZ.

Y

sin］的单调增区间为［4kTi+Tt,4kli+3TI］(%£Z).

(2)要求函数y=loglsin仔一分的单调增区间，

2

即求使y=sin(1一号＞0且单调递减的区间.

7TX71

.•・24兀+］忘2——§<24兀+兀，kGZ,

整理得4E+苧Wx〈4fai+与，kGZ.

.,.函数y=logisin住一学的单调增区间为

2

4左兀+苧,44兀+^),%£Z.

12.求下列函数的最大值和最小值.

(1)J［x)=sin(^2x—,工£0,经；

,「兀57rl

(2)/(^)——2cos2ox+2sinx+3,4,不.

r兀

解⑴当％e［0,5」时,

2x-1e-1,U，由函数图象知，

y(x)=sin(2x—^)esin(一^,sin方=-J,1.

兀