广东省揭阳市两校2025届高三年级上册8月联考数学试题（含答案）

广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合力={0,1,2,3},B={%eN\x2-5x+4>0],则AnB=()

A.{1}B.{1,2}C.[0,1}D.{1,2,3}

2."%2<%"是1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数f(x)=+3a，X<1的值域为R,那么实数a的取值范围是()

A.(-00,-1]B.[-1,2)C.(0,2)D.(-2,1]

4.如图，已知4(1,0),8(0,1),点C在函数y=a%的图象上，点。在函数y=Zoga%的图象上，若四边形

4BCD为正方形，贝b=()

3

A.|B.2C.3D.4

5.已知sin0+sin(0+,)=1,则sin(0+]=()

A.|B.?C.|D.苧

6.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间

进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用

水.回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使

用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至

少需要过滤的次数为()(参考数据：仞2=0.3010.)

A.10B.12C.14D.16

7.设Fi，F2分别是椭圆E：提+。=1(。>6>0)的左、右焦点，过尸2的直线交椭圆于4B两点，且丽•

丽=0,屈=4耐，则椭圆E的离心率为()

A.|B.年C岑D.?

n

8.已知数列｛&J满足的=1,前n项和为由,an+1-an=2(n6N*),则S2024等于()

101210121012

A.22°24_1B.3x2-1C.3x2-2D.3x2-3

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列大小关系正确的是().

A.1.92<219B.229<2.92

21n22"

<wTTD.log4<log7

N一■1Z—1712

10.已知函数/'(x)=czsinx—cos2x,则()

A.f(x)的最小正周期为兀

B.函数f(x)的图象不可能关于点(兀,0)对称

C.当a=-2时，函数/⑺在(葭)上单调递增

D.若函数/(X)在(0,9上存在零点，则实数a的取值范围是(-1,+8)

11.已知函数/(%)=lg(y/x2+1+x)+ex—e~x+l(e«2.7...),若不等式/(sin。+cos。)<2—

/(sin20-t)对任意8£R恒成立，则实数t的可能取值为()

A.1B.72C.3D.4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.定义运算]=ad—6c则不等式J7<0对任意X6R恒成立，则实数a的取值范围

是.

13.已知过原点。的直线与y=/。%万交于4B两点(4点在B点左侧)，过4作％轴的垂线与函数y=4工交于C

点，过B点作x轴的垂线与函数y=2*交于。点，当CD平行于x轴时，点4的横坐标为.

14.已知/O)是定义在R上的单调函数，f[f(x)-2X]=3对xeR恒成立，则f(3)的值为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在AABC中，角4昆C的对边分别是a,b,c,已知c=5,2bcosC=2a—c.

(1)求角B的大小；

(2)若AABC的面积10门，设。是BC的中点，求吃的值.

sSL”7T乙

16.(本小题12分)

如图，在四棱台ABCD-AiBiGDi中，底面4BCD是菱形，AB=2AAr=2A1B1=2,AABC=60°,AA11

(2)棱BC上是否存在一点E,使得二面角E-ADi-D的余弦值为界若存在，求线段CE的长；若不存在，请

说明理由.

17.(本小题12分)

设函数f(x)=袅(。K0,x>0),满足：①f(l)=②对任意久>0,/(%)=恒成立.

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)设矩形48CD的一边4B在工轴上，顶点C,。在函数/(x)的图象上.设矩形2BCD的面积为S,求证：0<

S<1.

18.(本小题12分)

已知函数f(x)=署+k是奇函数.(e是自然对数的底)

(1)求实数k的值；

(2)若%>0时，关于久的不等式/(2%)<771/(%)恒成立，求实数7H的取值范围；

(3)设g。)=《禁，对任意实数a,仇c€(0,用，若以a,b,c为长度的线段可以构成三角形时，均有以

g(a),g(b),g(c)为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.

19.(本小题12分)

已知函数/'(x)=ax2—Inx—x.

(I)讨论f(©的单调性;

(II)若不等式/(%)20恒成立，求Q的取值范围；

(HI)当a=0时，试判断函数F(%)=2sin%-/(%)-2%的零点个数，并给出证明.

参考答案

l.C

2.5

3.B

4.B

5.B

6.C

7.8

8.D

9.ABD

10.BCD

11.CD

12.（-4,0]

13.2

14.9

15.解：（1）2bcosC=2a-c,结合余弦定理cosC=&+：J,

可得2b•°T'=2a—c,整理得小+c2—ft2=ac,

2ab

a2+c2—b21

所以cosB=

2ac2

又Be（0,兀）,所以B=（

(2)因为△ABC的面积IOC,

1

兀

即5

所以9aB•BC•sinB=10<3,-XXX-1o

2BCsi3

解得BC=8.

在△力BC中，据余弦定理可得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB

=52+82-2x5x8xcos|=49,

故AC=7.

又。是BC的中点,故=S44co，

所以1扣B•4D•sin^BAD=^1AC-AD-sinzCXO,

>>sinz.BAD_AC__7

改sin/CAD-丽一丁

16.1?：(1)证明：连接ac,QCi，

因为4BCD为棱台，所以4&,Q,C四点共面，

又因为四边形2BCD为菱形，所以BD12C,

因为A4i_L平面ABC。，BDu平面ABCD,所以1BD,

又因为C"=AS.AAltACu平面4CQ41，所以801平面力

因为Ct71u平面ACCiA，所以BD1CCt.

(2)取8c中点Q,连接2Q,

因为底面2BCD是菱形，且N4BC=60。，所以AABC是正三角形，所以4Q1BC,即4Q1AD,

由于441_1_平面48。。，以4为原点，分别以4Q,40,441为无轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标

则4(0,0,0),4(0,0,1),^(0,1,1),Q(/3,0,0)

假设点E存在，设点E的坐标为(、总,尢0),其中—1W2W1,

可得荏=(0,儿0)，M=(0,1,1)

设平面gE的法向量元=(x,y,z),则g'竺二+为=°,

In-AD1=y+z=0

取久=心可得y=所以元=(尢一V~5,V5).

又由平面ADD1的法向量为而=(6,0,0),

所以|cos(湎同=解得;1=±苧

E#+6

由于二面角E—A%—。为锐角，则点E在线段QC上，

所以4=苧，即CE=1—苧，

故BC上存在点E,当CE=1-亨时，二面角"皿-。的余弦值为去

1

-即2a+1

17.解：⑴由①得："1)=捻-2=

a

由②得：/聂—(%>0)怛成立,

%2

2

即Z?+/=bx+1恒成立，

所以b=1,所以Q=1,

所以/(%)=备，

(2)证明：因为「。)=%等，

(l+xz)

当0<x<1时，f'(x)>0,

当x>1时，f(x)<0,

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

不妨设4(t,0),t6(0,1),

由/(吗=/(3知以：,0)，

则M切=：一3|4。|=点，

1t2

S=\AB\-\AD\=(^-t)-^=-l+^,

因为t6(0,1),所以［2€(0,1),/+16(1,2),

_-7

所以泾五G(L2),

则-1+3e(0,1),

所以0<S<1.

18.解：(1)因为/(x)是奇函数，且定义域为R,所以/'(0)=0,

7zi0

即磊+卜=°，解得々=一1.经检验，此时/(%)是奇函数

所以k=—l.

(2)由(1)知/(%)=普—1=刀，

px_-i

由X>0时，/(2x)<mf(x)恒成立，得声意Wm-西P

因为研一1>0,所以巾2以¥，

■入，、0+1)2e2x+2ex+l.2ex.2

设Mx)==e2x+l'=1+两=1+三，

因为〃+袅2,当且仅当x=°时，等号成立，又久>0,所以靖+白>2,

故九(久)==1+鼻<1+1=2，

所以血>2.

(3)由题意得:g(x)f(%)+i=E+I

不妨设0<a〈b4c47i,

以a,b,c为长度的线段可以构成三角形，即a+b>c,且

以g(a),g(b),g(c)为长度的线段也能构成三角形，则e。+二>'恒成立,得>1恒成立,

.__________a+b—2cc

因为e。—。+eb~c>2Vea~c-eb~c=2e―2—>2e-2,仅当a=b时前一个等号成立，

c1

所以2e~2>1,即c<-21n-=21n2,于是九的最大值为21n2.

19.解：(I)因为/(%)=a/-in%—%,%e(0,+8),

所以尸(无)=2ax—；—1=2*1,

当Q<0时，2axz—%—1<0恒成立，所以/'(%)<0；

当a>0时，令2a——%—1=0,解得％=1±塞四(舍负)，

令「。)>0,得久>匕尹恒;令<0,得o<久尹匣.

4a4a

综上所述：当aWO时，/(%)在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，/(久)在(0,止等)上单调递减，在(1+蒙面,+8)上单调递增.

(11)/(%)>0恒成立，得a/>jnx+%在(0,+8)上恒成立，

所以a2：+整在(0,+8)上恒成立.

令g(x)=；+,(乂>o),

则或久)=4+匕|学

4+1—21nx—x+1—21nx

令h(x)=-21nx—x+1(%>0).

易知九(%)=-21nx-％+1在(0,+8)上单调递减.

又九(1)=0,

所以当久G(0,1)时，/i(x)>0,“(%)>0.

当％e(l,+8)时，/i(x)<o,g'{x)<0.

所以g(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以9(%)在久=1处取得极大值，也是最大值，即g(%)max=g(l)=1，

所以即a的取值范围为［1,+8).

(III)当a=0时，F(x)=2sinx+In%+x—2x=Inx—%+2sinx,x>0.

-1

则F'(%)=--1+2cosx.

令G(%)=P(%)=--1+2cosx,%>0,

-1

贝UG'(%)=——2sinx•

当％6(0,7T)时，G'(%)V0,所以F'(%)在(0,7T)上单调递减.

又尸⑴=2cosl>0.F'(^)=|-1<0.

所以F'(x)在(0,兀