2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：一元二次函数（方程不等式）（学生版+解析）

第04讲一元二次函数（方程，不等式）

目录

第一部分：基础知识..............................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................3

第三部分：高频考点一遍过.......................................................3

高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）...........................3

高频考点二：一元二次不等式解法（含参）.....................................4

高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系...................6

高频考点四：一元二次不等式恒成立问题.......................................7

角度1：VxeH上恒成立（优选A法）......................................7

角度2：上成立（优选A法）.........................................7

角度3：^上恒成立（优选分离变量法）................................8

角度4：玉上成立（优选分离变量法）..................................8

角度5：已知参数求工取值范围（优选变更主元法）....................8

高频考点五：分式不等式....................................错误!未定义书签。

高频考点六：一元二次不等式的应用..........................................10

第四部分：典型易错题型.........................................................12

备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。..............................12

备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。........................12

第五部分：新定义题（解答题）..................................................12

第一部分：基础知识

1、二次函数

（1）形式：形如/"（》）=⑪2+乐+以。/0）的函数叫做二次函数.

（2）特点：

①函数/（%）=ax~+bx+c（a丰0）的图象与x轴交点的横坐标是方程ax?+bx+c=0（a丰0）的实根.

②当a>0且/<0（/W0）时，恒有/（x）>0（/（x）20）；当a<0且/<0（/W0）时，恒有/（x）<0

（/（x）<0）.

2、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

3.(x-玉)(x—/)〉0或(x-玉)(x-%)<0型不等式的解集

解集

不等式

再<x2-x2>x2

[x\x<x^x>x2}

(x-4z)(x-Z7)>0{x\x^x1}{x\x<x^x>xr}

(x-tz)(x-Z?)<0{x\xx<x<x2}0{x\x2<x<xx]

4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式A=/—4acA>0A=0A<0

上

二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象**JI

有两相等实数根

一元二次方程有两相异实数根%,

b没有实数根

ax2+bx+c=Q(a>0)的根x(x<x)X-i—------

2l21-2a

一元二次不等式

f.b、

{x\x<x^x>x2}{x|尤w--}R

ax2+bx+c>Q(a>0)的解集2a

一元二次不等式

{x\%1<X<X2}00

ax2+/?%+<?<0(<2>0)的解集

、分式不等式解法

(1)>0<=>f(x)s(x)>0

gw

(2)以工<0o/(x)g(x)<0

gw

f(x)g(x)>0

(3)

g(x)[g(x)本0

但《。=严)gM°

(4)

g(x)〔g(x)丰0

6、单绝对值不等式

(1)\ax+b\>c=>ax+b>c^ax+b<-c

(2)\ax+b\<c^>-c<ax+b<c

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•全国•统考高考真题)已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=k-—无一6»。},则McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.(2023・全国•(新课标：[卷))设函数〃%)=2小田在区间(0,1)上单调递减，则〃的取值范围是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：一元二次(分式)不等式解法(不含参)

典型例题

例题1.(2024上•江西南昌•高一校联考期末)不等式52工-2-5'-3<0的解集是()

A.(十,logs3)B.(log53,+ao)C.(-l,log53)D.(0,log53)

例题2.(2024上•安徽芜湖•高一统考期末)设函数/(%)=改2+法+3,关于x的一元二次不等式/'(x)〉。的

解集为(-3,1).

(1)求不等式X?+次+6>0的解集；

(2)^Vxe[-l,3],/(x)>«u2,求实数机的取值范围.

例题3.（2024上•湖南长沙•高一校考期末）解下列关于x的不等式:

（1）-X2+2X+3>0;

2x-3

⑵>1.

x+1

练透核心考点

1.（2024上•广东江门•高一统考期末）一元二次不等式-尤2+2%+3<0的解集为.

2.（2024上•湖南岳阳•高一校考期末）已知不等式必+依+匕<。的解集为{无卜1（尤<2},设不等式

ax2+Z?x+3>0的解集为集合A.

⑴求集合A；

⑵设全集为R,集合8=卜,2-〃a+2<。},若xeA是成立的必要条件，求实数"的取值范围.

3.（2024上•四川绵阳•高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合

A={%|（%+2）（5-x）W0},5={X2〃+1<x<3a+5}.

（1）若a=-2,求Aug；

⑵若〃xeA〃是的必要不充分条件，求实数〃的取值范围.

高频考点二：一元二次不等式解法（含参）

典型例题

例题L（2024上•四川南充,高一统考期末）已知函数/（彳卜％2-〃优+1.

⑴若关于x的不等式/"）+力-1W。的解集为[-1,2],求实数〃的值;

⑵求关于x的不等式/（x）-x+m-1>0（〃?CR）的解集.

例题2.(2024上•重庆•高一校联考期末)己知函数〃力=加-(0+6卜+6.

⑴当a=1时,求函数/(元)的零点；

(2)当a<0时，求不等式/'(x”。的解集.

例题3.(2024上•甘肃庆阳•高一校考期末)已知函数/'(耳=一/一2*,其中aeR,awO.

(1)若/(一1)=0,求实数。的值；

⑵求不等式/'(力>0的解集.

练透核心考点

1.(2024上•江苏南京•高一南京师大附中校考期末)设。为实数，则关于x的不等式(^-2)(2*-4)<0的

解集不可能是()

A.［川B.(-»,2)u^|,+»J

C.(2,+co)D.12,—j

2.(2024上•四川宜宾•高一统考期末)已知集合4=卜|含4。1,集合3=卜"-m)(彳-机一2)W0,meR}.

(1)当/"=—2时，求AuB；

⑵若AB=B,求实数机的取值范围.

3.(2024上•福建宁德•高一统考期末)已知/(x)=/+(3一a)x-3a(aeR).

⑴若〃x)"(2—x),求。的值；

⑵求关于X的不等式/（X）<o的解集.

高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系

典型例题

例题1.（多选）（2024上,湖南娄底高一统考期末）已知关于x的不等式（2。+3加）/一（6一3川口-1>0（。>0,

b>0）的解集为则下列结论正确的是（）

A.2a+b=lB.a》的最大值为工

8

1?11

C.—+：的最小值为4D.一+-的最小值为3+20

abab

例题2.（2024上•江西萍乡•高一统考期末）已知关于彳的一元二次不等式,加2一2%+1<0的解集为（。力）,

则3a+b的最小值为.

例题3.（2023上•江苏南京•高一期末）已知不等式Y+依+。<0的解集为门卜1<》<2},设不等式

ax2+bx+3>0的解集为集合A.

⑴求集合A;

（2）设全集为R,集合8=卜卜2_〃a+2<0},若xeA是xeB成立的必要条件，求实数机的取值范围.

练透核心考点

1.（多选）（2024上•山东临沂・高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{尤|x4-2

或X21},贝I」（）

A.。>0且c<0B.4〃+2Z?+c=0

C.不等式bx+c〉0的解集为{小>2}D.不等式cd-6x+a<0的解集为卜,<x<那

2.（2024上・湖南•高一校联考期末）已知/（力=加-2ox-3（aeR）.

（1）若不等式ax2-2ax-3<0的解集是M-1<x<3},求实数a的值；

⑵若不等式/（x）<xT对一切实数x恒成立，求实数。的取值范围.

3.（2023上•福建三明■高一校联考期中）己知二次函数>=办2+法-。+2.

⑴若关于x的不等式以2+云-°+2>0的解集是{刈-1<工<2},求实数。，匕的值；

（2）若。>0,6=2,解关于x的不等式/+fer-a+2>0.

高频考点四：一元二次不等式恒成立问题

角度1：SeH上恒成立（优选A法）

典型例题

例题1.（2023上•云南昆明•高一官渡五中校考期中）若不等式2履2+履-?<0的解集为R,则实数上的取

O

值范围是（）

A._[0,-H»）B.（-3,0）

C.（-3,0]D.（-oo,0]

例题2.（2023上•重庆沙坪坝•高三重庆市第七中学校校考阶段练习）不等式62一2彳+1>0（awR）恒成

立的一个充分不必要条件是（）

A.a>2B.a>lC.a>lD.0<a<—

2

角度2：二eR上成立（优选△法）

典型例题

例题1.（2023上•广东珠海•高一校联考期中）命题P：3x0eR,（加-3）片-啊,+2<0为真命题，则实数

m的取值范围为.

角度3：上恒成立（优选分离变量法）

典型例题

例题L（2023上•辽宁铁岭•高三校联考期中）已知Vxe[l,2],Vye[2,3],y2-xy-mx2＜0,则实数机的

取值范围是（）

A.[4,+oo）B.[0,+co）C.[6,+w）D.[8,+co）

角度4：*e。上成立（优选分离变量法）

典型例题

例题L（2023上•浙江•高二校联考期中）若关于尤的不等式/-（加+1）%+940在[1,4]上有解，则实数拼

的最小值为（）

A.9B.5C.6D.—

4

角度5:已知参数即。，求x取值范围（优选变更主元法）

典型例题

例题1.（2024上•福建福州•高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）已知函数/（Dn/f+Zor-aZ+L

（1）当°=2时，求的解集；

⑵是否存在实数x,使得不等式标炉+2巾-.2+120对满足々€[-2,2]的所有〃恒成立？若存在，求出工的值;

若不存在，请说明理由.

练透核心考点

L（2023上•湖南张家界•高一慈利县第一中学校考期中）（1）若关于x的不等式无2+皿+m+3＜。在（3,-1）

上有解，求实数机的取值范围；

（2）若Vxe[-2,1],不等式皿Y-x+l）＜2恒成立，求实数机的取值范围.

2.(2024上•福建南平•高一统考期末)设函数/(x)=aY+(6-l)x+2.

⑴若a=1,6=-2,求不等式〃无)>0的解集；

⑵若关于x的不等式/(x)2法的解集为R,求实数。的取值范围.

3.(2024上•安徽芜湖•高一统考期末)设函数〃司=◎2+麻+3,关于x的一元二次不等式/'(x)>0的解

集为(-3,1).

(1)求不等式f+ax+b>0的解集；

(2)^Vxe[-l,3],/(x)>/nr2,求实数机的取值范围.

4.(2024上•四川内江•高一统考期末)已知二次函数”元)的最小值为-9,且-1是其一个零点，VxeR都

有〃2r)=〃2+x).

①求〃尤)的解析式；

⑵求了(尤)在区间[-1,词上的最小值；

⑶若关于x的不等式V-9在区间(1,3)上有解，求实数m的取值范围.

⑴当机=一2时，求AuB；

⑵若是xeA的充分条件，求实数加的取值范围.

2.（2024上•湖南长沙•高一湖南师大附中校考期末）设全集U=R，集合&=卜卜-心2}的，品0

(1)求Ac3；

（2）已知集合C={x|10-。<%<2。+1},若（6B）cC=0,求。的取值范围.

高频考点六：一元二次不等式的应用

典型例题

例题1.（2023上•贵州贵阳,高一校考阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条

流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值，（单位：元）之间有如下的关系：y=-2x2+220x.

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产

（填写区间范围）辆摩托车？

例题2.（2024上•全国•高一专题练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，”（“<16且

neN*）年内的总维修保养费用为C（"）=而+40”（左eR）万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.

设到第且〃eN*）年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为乙（〃）

万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.

⑴求实数上的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；

⑵到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润+年数）最大？并求出最大值.

练透核心考点

1.（2024下•西藏•高一开学考试）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星

网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入。（fl>0）万元，现把研发部人员分成两

类：技术人员和研发人员，其中技术人员有无名（尤eN+且454尤〈75）,调整后研发人员的年人均投入增

加4x%,技术人员的年人均投入为万元.

（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少

人？

（2）是否存在实数也同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总

投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出根的值；若不存在，说明理由.

2.（2023上•陕西宝鸡•高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习）如图，在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周

种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的

一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？

卉草坤

化肝.K-帝

第四部分：典型易错题型

备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。

1.(2023上•湖南永州•高一校考阶段练习)一元二次不等式一/+》+2>0的解集是()

A.{x[x<T或%>2}B.(x]x<—2或x〉l}

C.1x|-l<x<21D.|x|-2<x<l}

备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。

2.(2。23上・吉林・高一吉化第一高级中学校校考阶段练习)不等式三22的解集为

第五部分：新定义题(解答题)

1.(2024上•福建莆田•高一莆田一中校考期末)小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等"BJ对于

任意实数a,b,都有6=炮(10。+10人)，通过研究发现新运算满足交换律：a(8)b=b㊈a.小颖提出了两个

猜想：Vx,y,ZGR,j)®z=%®(y®z)；②(x(8)y)+z=(x+z)(8)(y+z).

⑴请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；(注：两个猜想

都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分)

⑵设a>0且s=log"(x-2a)(x-4a),当0<相<〃<2。时，若函数/(x)=(s+l)区(s+3)-l-lgl01在

区间[m,n]上的值域为[lognn,loga/7?],求a的取值范围.

第04讲一元二次函数（方程，不等式）

目录

第一部分：基础知识.............................................................13

第二部分：高考真题回顾.........................................................15

第三部分：高频考点一遍过......................................................16

高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）..........................16

高频考点二：一元二次不等式解法（含参）....................................19

高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系..................22

高频考点四：一元二次不等式恒成立问题......................................27

角度1：VxeH上恒成立（优选A法）.....................................27

角度2：上€尺上成立（优选A法）........................................28

角度3：Vxe。上恒成立（优选分离变量法）...............................28

角度4：玉e°上成立（优选分离变量法）.................................29

角度5：已知参数aeD,求x取值范围（优选变更主元法）...................29

高频考点五：分式不等式....................................................35

高频考点六：一元二次不等式的应用..........................................37

第四部分：典型易错题型........................................错误!未定义书签。

备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。..............错误!未定义书签。

备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。........................40

第五部分：新定义题（解答题）..................................................40

第一部分：基础知识

1、二次函数

（1）形式：形如/'（x）=ox?+/；x+c（aw0）的函数叫做二次函数.

（2）特点：

①函数/（x）=ax1+bx+c（a丰0）的图象与左轴交点的横坐标是方程ax?+bx+c=0（a主0）的实根.

②当a>0且/<0（/W0）时，恒有/（x）>0（/（x）20）；当a<0且/<0（/W0）时，恒有/（x）<0

（/（x）<0）.

2、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

3.（x—再）（x—%）>°或（%—%）（%—%）<°型不等式的解集

解集

不等式

x

玉<々-2%]>x2

{x\x<x^x>x}

(%-«)(%-/?)>02{x|Xwxj{%[%<%2或%>再}

(x-tz)(x-Z?)<0{x\xr<x<x2}0{x\X2<X<Xy}

4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式A=/—4acA>0A=0A<0

二次函数

/(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象«JX44

有两相等实数根

一元二次方程有两相异实数根

b没有实数根

ax2+/zx+c=0(a>0)的根

X2（xl<x2）%7=一五

一元二次不等式

f.b、

[x\x<x^x>x2}{%|xw——}R

ax2+bx+c>0（a>0）的解集2a

一元二次不等式

{x\xl<x<x2}00

ax2+Z?x+c<0（（2>0）的解集

、分式不等式解法

(1)^^〉0o/(x)g(x)〉0

gw

(2)<0<=>f(x)2(x)<0

gw

/(x)g(x)20

(3)

g(x)[g(x)w。

但《。=严)gM°

(4)

g(x)〔g(x)丰0

6、单绝对值不等式

(1)\ax+b\>c=>ax+b>c^ax+b<-c

(2)\ax+b\<c^>-c<ax+b<c

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•统考高考真题）已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=k-—无一6»。},则McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合A/中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为倒={4~-6叫=（-双-2]33，+8），而"={-2,—1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为〃={—2,—1,0,1,2},将一2,-1,0,1,2代入不等式/一天一620,只有一2使不等式成立，所以

McN={-2}.

故选：C.

2.（2023•全国•（新课标I卷））设函数/（XH2MA"）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-℃,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2工在R上单调递增，而函数/。）=2工（1）在区间（0,1）上单调递减，

2

则有函数＞=武%-。）=。-q）2一±在区间（0,1）上单调递减，因此21,解得。22,

242

所以。的取值范围是[2,+co）.

故选：D

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）

典型例题

例题1.（2024上・江西南昌・高一校联考期末）不等式52，-2・5,-3<0的解集是（）

A.（^»,log53）B.（log53,+co）C.（-l,log53）D.（0,log53）

【答案】A

【分析】设/=5工>0,解一元二次不等式即可，利用指数函数单调性即可解.

【详解】设T>0,则不等式可化为产-2好3<0,

解得—1<二<3,

所以-1<5、'<3,解得x<log53.

故选：A

例题2.（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）设函数〃力=泼+乐+3,关于x的一元二次不等式〃x）>0的

解集为

（1）求不等式f+曲；+6>0的解集；

2

（2）^Vxe[-l,3],/（^）>?nr,求实数机的取值范围.

【答案】（1）{，尤<一1或%>2}

4

【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.

（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.

【详解】（1）因为一元二次不等式〃力>0的解集为（-3,1）,

-3+1=--

所以-3和1是方程加+乐+3=0的两个实根，贝4\“,

2

解得。=-1/=一2.因此所求不等式即为：X-X-2>0,解集为或X>2}.

（2）/（%）2小2可化为：（加+1）尤24-2x+3,当元=0时显然成立;

j对Vx«T3]恒成立,

当龙时，m+l<-2—+3

x

令才=工£（-8,_1]U；'+8卜则根+1W—2，+3/，

X

当即x=3时（-2"3A「J,

L14

所以小+1K——,即加工——.

33

例题3.（2024上•湖南长沙•高一校考期末）解下列关于％的不等式:

⑴一%2+2%+3>0；

【答案】（l）｛x[T<x<3｝

（2）｛x|尤24或x<_l｝

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可;

（2）根据分式不等式的解法求解即可.

【详解】（1）由-d+2x+3>0,得Y一2X—3<0,

即（x-3）（x+l）<0,所以-l<x<3,

所以不等式的解集为｛41<尤<3｝；

2Y—3x—4

⑵由F"得力2

(x-4)(x+l)>0^解得谷4或x<_i,

则

x+1。0

所以不等式的解集为｛x|x»4或x<T｝.

练透核心考点

1.（2024上•广东江门•高一统考期末）一元二次不等式-尤2+2彳+3<0的解集为.

【答案】（f,-1）53,+8）

【分析】转化为标准一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.

【详解】由一尤2+2尤+3<0可得尤2一2%—3>0,

即（x-3）（x+l）>0,

解得x>3或x<-l,

所以不等式的解集为（f,-D53,内）.

故答案为：（f,-l）53,+«）

2.（2024上•湖南岳阳•高一校考期末）已知不等式Y+依+6<。的解集为｛止1<尤<2｝,设不等式

依2+以+3>0的解集为集合人.

（1）求集合A；

⑵设全集为R,集合2=卜,2fm+2<0｝,若xeA是xe8成立的必要条件，求实数加的取值范围.

【答案】(1)A={R-3<尤<1}

（2）_5，20

【分析】(1)由题意得*=一1和x=2是方程/+6+6=()的两根，代入求得a,b,化简所求不等式，求解

即可；

(2)将尤eA是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)因为不等式/+办+6<。的解集为{x[T<x<2},

贝lj产一1和％=2是方程/+av+Z?=0的两根,

1—Q+Z?=0a=-1

所以,解得

4+2a+。=0b=-2

所以不等式g?+匕x+3>0为不等式—/一2%+3>0，

解得-3<x<l,即集合&=3-3<彳<1}.

（2）因为xeA是xeB成立的必要条件，所以3=A.

当8=0时，△=7〃2-8WO,解得-2夜4加42&;

m2-8>0

-3<—<111「

当3W0时，2,解得一大（根<一2夜.

9+3m+2203

l-m+2>0

综上，实数小的取值范围是-.

3.(2024上•四川绵阳•高一四川省绵阳南山中学校考期末)已知集合

A={水%+2)(5-x)<B=|x|2a+1<x<3a+5j.

(1)若。=-2,求Au3；

(2)若"xeA"是"xeB"的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】①Au3={x|x<—1或x»5}

7

(2)a<--^,a>2

【分析】(1)解不等式得出4代入。=-2得出B,进而根据并集的运算求解，即可得出答案；

(2)根据已知可推得B4分3=0以及3W0,根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答

案.

【详解】(1)解(x+2)(5-x)W。可得，xW-2或xN5,

所以，A={尤|%4-2或》25}.

当a=—2时，=3<x<-1},

所以Au3={九[%<-1或％25}.

(2)由〃xeA〃是〃xeW的必要不充分条件，

所以，BA.

又A={x|%«—2或无25},B={%|2a+l<x<3a+5}.

当5=0,布2々+123。+5,即aW~4,显然满足；

当3W0时，有2a+l<3a+5,即Q>T.

要使6A,

[a>-4八fa>-4

则有[3。+54-2或L?+l25,

7

解得~^<a<~—^a>2.

7

综上所述，]或々22.

高频考点二：一元二次不等式解法(含参)

典型例题

例题1.(2024上•四川南充•高一统考期末)已知函数〃x)=x2x+1.

⑴若关于x的不等式/(£)+〃-1W。的解集为［-1,2］,求实数年〃的值；

⑵求关于x的不等式/任)7+相-1>0(根62的解集.

［答案］(1)%=1,〃=_2；

⑵答案见解析.

【分析】(1)由不等式解集可得T，2是尤2一3+〃=0的两个根，利用根与系数关系求参数值;

(2)由题意有(x-7")(x-l)>。，讨论7W<1、7〃=1、加>1求不等式解集.

【详解】(1)由题设尤2-+的解集为［—1,2］,即一1,2是炉—：加x+〃=。的两个根，

所以"2=-1+2=1,72=_］x2=—2.

(2)由题意f^-x+m-l-x1-(m+I)x+m=(x-nt)(x-I)>0,

当机<1时，解得x<加或x>l,故解集为(T»,加)(1,+<»)；

当机=1时，解得xil,故解集为｛xeRIxwl｝；

当S>1时，解得x<l或故解集为(-8,1)匚(加,+«)；

例题2.(2024上•重庆•高一校联考期末)己知函数〃力=加-(a+6)x+6.

⑴当a=1时,求函数f(x)的零点;

(2)当aWO时，求不等式/(x)<0的解集.

【答案】(l)x=l或x=6

(2)答案见解析

【分析】(1)直接解二次方程即可得解；

(2)分类讨论”的取值范围，解二次不等式即可得解.

【详解】(1)当a=l时，/(无)=炉一7尤+6,

令/(x)=°,得炉-7》+6=0,解得尤=1或x=6,

故〃尤)的零点为x=l或x=6.

(2)因为〃x)=«%2_(a+6)x+6=(x-l)(ar-6),

当a=0时，不等式/(x)<0可化为-6x+6<0,解得x>l；

当a<0时，不等式〃x)<0可化为(尸1)卜-皆>0,

又9<1，故解得无<色或x>l；

aa

综上，当a=0时，不等式*力<0的解集为(L+8)；

当“<0时，不等式〃x)<0的解集为'双■!)(1,+⑹.

例题3.(2024上・甘肃庆阳•高一校考期末)已知函数/(0=一依2-2彳，其中aeR,“N0.

⑴若〃T)=。，求实数。的值；

(2)求不等式〃”>0的解集.

【答案】⑴2

(2)答案见解析

【分析】(1)根据题意，由/(-1)=0,列出方程，即可求解；

(2)根据题意，得到-依2-2犬>0,结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.

【详解】(1)由函数〃力=一加一2彳，因为/(一1)=0,可得一a+2=0,解得a=2.

(2)因为〃x)>0,可得*-2%>0,即x(ar+2)<0,

当a>0时，解得一(<》<0,所以不等式〃x)>0的解集为［jo；

当时，解得行一工或x<0,所以不等式〃x)>0的解集为(-纥,。)口［一2,+8］,

综上可得，当a>0时，解集为,"j,。［；当“<0时，解集为(-应0)U［-+8).

练透核心考点

1.（2024上•江苏南京•高一南京师大附中校考期末）设。为实数，则关于x的不等式（6-2）（2元-4）<0的

解集不可能是（）

A.1刃B.（一巩2）与,+[

C.（2,+co）D.I2,-]

【答案】B

【分析】分类讨论解不等式（次-2）（2》-4）<0,判断不可能的解集.

【详解】关于x的不等式（依-2）（2x-4）<。，

若。=0,不等式为-2（2x-4）<0,解得x>2,此时解集为（2,+«））；

2

若。。0,方程（ox—2）（2%—4）=0,解得x=—或％=2,

a

〃<0时，不等式（依一2）（2%—4）<0解得兀<2或尤>2,此时解集为[一8,-]（2,+8）；

0<°<1时，->2,不等式（依-2）（2X-4）<0解得2Vx<2,此时解集为伍工]；

aa\J

2

。=1时，—=2,不等式（依―2）（2]-4）<0解集为0,

a

。>1时，-<2,不等式（ox-2）（2x-4）<0解得2Vx<2,此时解集为21；

aaya）

所以不等式（办-2）（2%-4）<0的解集不可能是（-。2）u仔，+j.

故选：B

2.（2024上•四川宜宾•高一统考期末）已知集合4=1|千工。},集合3=-2）W0,meR}.

⑴当根=一2时，求ADB；

⑵若AB=B,求实数机的取值范围.

【答案】（1）AU3={X|-2<X<2}

【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据并集的运算求解，

（2）根据包含关系即可列不等式求解.

【详解】（1）由Jwo解得

x+1

所以A={九|-1vx<2},

当m=—2时，3={%]—2<尤<0},

所以=-2<x<2}.

(2)因为加〈根+2,所以5W0,

因为AB=B,所以BgA,

m<m+2

所以〈相〉-1,解得—1<根40,

m+2<2

所以实数，”的取值范围为{刈-1<m<0}.

3.(2024上•福建宁德■高一统考期末)已知/(x)=x2+(3-a)x-3a(aeR).

⑴若〃x)=/(2—x),求。的值；

(2)求关于x的不等式/(x)<0的解集.

【答案】(1)。=5

⑵详见解析.

【分析】(1)根据函数的对称性求参数。的值；

(2)分解因式，对。的值进行分类讨论即可求解.

【详解】(1)由〃力=/(2-x)得函数对称轴为:x=l,

,3—a<_

由-----=1=>〃=5.

2

(2)由/(%)<0nx2+(3-a)x-3av0n(x+3)(x-a)<0.

当av-3时，可得：a<x<-3',

当。=一3时，可得：XG0；

当。>一3时，可得：-3<x<a

综上，当a<-3时，原不等式的解集为：(心-3)；

当。=-3时，原不等式的解集为：0

当。>-3时，原不等式的解集为：(Ta)

高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数(方程)的关系

典型例题

例题L(多选)(2024上,湖南娄底,高一统考期末)已知关于x的不等式(24+3加)》2-(6-37〃)犬-1>0(a>0,

b>0)的解集为(-8,T)u\,+e),则下列结论正确的是()

B.他的最大值为J

A.2a-st-b=l

O

12

C.±+：的最小值为4D.：的最小值为3+20

abab

【答案】ABD

【分析】利用二次不等式的解集得方程（2。+3m）f-e-3m）x-1=0的两根为-1和9结合韦达定理得

2a+b=l,从而判断A,再利用基本不等式计算判断BCD.

【详解】由题意，不等式（2。+3间/_e_3间x-l>0的解集为（-应-1］口

可得2°+3根>0,且方程（2a+3Mx2-修一3加卜一1=0的两根为-1和J,

b—3m

-1+-=

22a+3m

所以