江西省某中学2025届高三年级上册8月月考数学试题（含答案）

江西省上高二中2025届高三上学期8月月考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.复数满足箸=iz,则z等于()

A.1+iB.-1+iC.1—iD.-1—i

2.已知集合A={x\y=lg(3—x)},B={y\y=V-x2+6%},则/C\B=()

A.(-oo,3]B.(-oo,3)C.[0,3]D.[0,3)

3.已知直线=fcx+1与圆C:(x+l)2+y2=r2(r>0),则“VkeR,直线[与圆C有公共点”是"r>

72"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1

4.已知角a,夕满足tanatanS=—3,cos(a+4)=展则cos(a-/?)=()

131

A--4BTD.-

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

111?

AyB-3C-2D-3

6.若曲线y=ln(x+2a)的一条切线为y=ex—2b(e为自然对数的底数)，其中a,b为正实数，则白+^的

取值范围是()

A.[2,e)B.(e,4]C.[4,+oo)D.[e,+oo)

20212x2021

7.已知又是数列{a九}的前几项和，若(1-2%)=b0+7%+b2x+…+6202i»数列的首项

%.=?+…+箸an+l=Sn,5n+l»贝均021=()

乙，z

11

A•一砺B.砺C,2021D.-2021

8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体.”事实上，有很多代数问题可以转化

为几何问题加以解决，如：J-a)2+(y-6尸可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上

述观点，可得y=V「2+4久+8+V/4x+8的最小值为()

A.4<2B.2<2C.<2+/10D.3+<5

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是()

A.数据12,13,14,15,17,19,23,24,27,30的70%分位数是23.5

B.已知关于久的不等式a/+bx+c<0的解集为(—oo,1)U(5,+oo),则不等式b久+c>0的解集是

C.函数/(久+1)的定义域为[0,1],贝仔(2D的定义域为[2,4]

D.若3a=业=36,贝胫+〈的值为1

ab

10.已知a>0,b>0,直线4：x+(a—4)y+1=0,l2：2bx+y—2=0,且kl。，则()

-114

A.0<a/><2B.a2+4/?2>8C.a2+d2>5D.±2：

a+12b5

11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小。同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲

线,对于小恐龙曲线C1：久2+y3—a盯=20,下列说法正确的是()

A.该曲线与久=8最多存在3个交点

B.如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，贝必>0

C.存在一个a,使得这条曲线是偶函数的图像

D.a=3时，该曲线中x>8的部分可以表示为y关于x的某一函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知命题“三X6[1,4],/—nix+420”是假命题，则小的取值范围是.

x=

13.设函数rrfi.)\begin{cases}ax-9r>c.

14.对于函数y=/(x)和y=g(x),及区间。，存在实数k,6使得/(久)>kx+b>。(久)对任意xe。恒成

立，贝I称y=/(久)在区间D上优于y=g(x).若/■(»=ax(%-1)在区间(0,+8)上优于g(x)=Inx,则实数a

的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

某地为调查年龄在35-50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35-50岁段人群中随机抽取了200人的信

息，将调查结果整理如下：

女性男性

每周运动超过2小时6080

每周运动不超过2小时4020

(1)根据以上信息，依据小概率a=0.01的独立性检验，判断是否可以认为该地年龄在35-50岁段人群每

周运动超过2小时与性别有关？

(2)用样本估计总体，从该地年龄在35-50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小

时的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

参考公式：f一(a+b)(L)(a+)c)(b+d)'n-a+b+c+d.

a0.100.050.0250.0100.001

Xa2.7063.8415.0246.63510.828

16.(本小题12分)

已知在数列｛即｝中，％,=1,an+1=1+^g

(1)求证：数歹！J｛工｝是等差数列，并求数列｛时%+1｝的前n项和6；

an

(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且。=-------,bcosC+ccosB=-2acosA,求4

an+lan

ABC面积的最大值.

17.(本小题12分)

如图1,在等腰直角三角形4BC中，N4=90。，BC=6,D,E分别是AC,4B上的点，CD=BE=展0

为BC的中点.将△力DE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥4—BCDE,其中4。=

图2

(1)求证：A'O1平面BCDE；

⑵求点B到平面4CD的距离.

18.(本小题12分)

已知椭圆C:^+,=l(a>b>0)的右焦点尸的坐标为(1,0),且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过右焦点尸的直线/与椭圆C相交于P,Q两点，点Q关于x轴的对称点为Qi，试问回FPQi的面积是否存在

最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

19.(本小题12分)

定义运算：黑;=mq-np,已知函数/(x)=产久篇~g(久)=；-1.

(1)若函数f(x)的最大值为0,求实数a的值；

(2)若函数以为=/0)+90)存在两个极值点%1，上，证明：伙叼)一九(4)_4+2<0；

%1—％2

(3)证明:(1+会)(1+玄)(1+支…(1++)V小

参考答案

l.D

2.D

3.B

4.A

5.B

6.C

7.4

S.A

9.ABD

10.ABD

11.ABC

12.(5,+oo)

13.[0,4]

14.{1}

15.解：(1)

77

由"2="ad-bc)=20°X(6°X2°-8OX40)~ar?4finr

R"—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-100x100x140x60~

所以认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关犯错误的概率不超过a=0.01.

(2)

由题意已知，X〜8(3,m)，X=0,1,2,3,

P(X=0)=扁尸=

噂=1)=废心)-舄)2=赢；

「5=2)=服扁)2-扁)=揣；

噂=3)=优扁)3=备・

所以随机变量X的分布列为:

X0123

34344118927

P

1000100010001000

二匚ci厂八:、八343441c189279

所以E(X)=0x—+l4x—+2x—+o3X—=

10

16.1?：(1)由题意，工=匕也=工+2,即二一—工=2,

an+lananan+lan

.•£｝为等差数列:首项看=1,公差d=2,

11

.%=2n—1,则册=五工

、111

设b九=a•a=-(----~~~—)，

,Ln,Ln八+十1，2v2n—12n+ly

_111111111

S“=2(1N+2%-弓)+…+2(而=I-2?m)

1111111_11_n

=2(T-3+3-5+"-+2n-l_2n+l)=2(1-2n+l)=2n+l;

(2)bcosC+ccosB=—2acosAf

・••由正弦定理，有sinBcosC+sinfeosB=—ZsinZeosZ,

即sin(B+C)=sinA=-2sim4cos4又/E(0,TT),sin/>0,

1A

2--

11

由(1)知a=--------=2,

。九十1

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bc•cosA=b2+c2+be,

a2=4>3bc,即be<$当且仅当b=c=时取等号，

e1,.A/37/34/3

•••S*BC=5儿•sinX=~^bc<—x-=

即ZL48c面积的最大值为?.

17.解：(1)连接OD,OE,

因为在等腰直角三角形ABC中，NB=NC=45°,CD=BE=^2,C0=B0=3,

在4COD中，。。=VCO2+CD2-2C0-COcos45°=<5,同理得OE=<5,

因为ZD=A'D=A'E=AE=2mo=<3,

所以4。2+OD2=A'D2,A'O2+OE2=A'E2,所以NA。。=Z-A'OE=90°

所以4。1OD,A'O1OE,ODClOE=O,OD,OEu平面BW,

所以4。J_平面BCDE.

(2)取DE中点“，贝九。"1。8,

以。为坐标原点，OH,OB,。4分别为久,V,z轴建立空间直角坐标系，

贝|。（0,0,0）,4（0,0,肩）,。（0,—3,0）,。（1,一2,0）,

设平面4CD的法向量为元=（x,y,z）,~CA'=（0,3,<3）,CD=（1,1,0）,

所以[，竺—"+-o,令％=],则y=-i,z=C，则元=（1,一1,C），

In-CD=%+y=0

又B（0,3,0）,CB=（0,6,0）,

所以点B到平面ACD的距离为曾=浅=d.

18.1?：(1)由题意可知：c=1,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4,

所以2a=4,即a=2,/?2=a2—c2=4—1=3,

所以椭圆的标准方程为：。+4=1.

(2)由题意可知直线1的斜率不为0,所以设直线1的方程为：x=my+l,

x=my+1

与椭圆的方程联立，得/必

——I--=1

143

消去％,得（3m2+4）y2+6my—9=0,

所以/=36m2+36（3m2+4）>0,

设Q（%i，yi），P（％2，丫2），则Qi（%i，-yi），

由根与系数的关系，得力+为=儡，加.%=在为，

卜_。2一（-旷1）%+为

直线PQi的斜率为:

£X2-X1-%2-%1

所以直线PQi的方程为y+乃=把打0-久J,

%2一%1

(_9_6m

=巧"2+丫2〉1=(巾匕+1)>2+(7-2+1)匕=27叮1)/2+(%+力)=叫布菽广石藐

=4,

%+力—力+%—匕+岭—白普

即直线PQi与x轴交于一个定点，记为M(4,0),

Mile1icA/flliI36|m|993<3

则SmFPQ|=2\FM\\yi+y2l=r布布=而巨w瑁=丁，

11\m\

等号成立当且仅当爪=±竽.

所以回FPQi的面积的最大值为手.

4

19.解：⑴

由题意知：f(%)=alnx—%+1,

「•/'(%)=?_1(%>0)，

①当a40时，f(%)<0,/(%)在(0,+8)单调递减，不存在最大值.

②当a>0时，由,(%)=0得％=a,

当％e(0,a),/'(%)>0；xE(a,+oo),f'(x)<0,

・•・函数y=/(%)的增区间为(0,a),减区间为(a,+8).

•••/(X)max=/(a)=alna—a+1=0,

•••a=1.

(2)

1

/i(x)=/(%)+g(%)=alnx—x+-,

.xr”、_a11_-x2+ax-l

“函数h(x)存在两个极