2024年中考数学提高复习讲义：方程与不等式

中考专题复习之方程与不等式

知识梳理

1.一元二次方程的一般形式

ax?+bx+c=O（a,b,c是常数，a*0）.在解一元二次方程时，应按方程的特点选择方法，主要方法包括：①直

接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.一元二次方程的求根公式是：X=b+加3®4ac>0）.

2a

（注意符号问题）

2.解分式方程的基本思想

将分式方程转化为整式方程，转化的方法有两种：①去分母法；②换元法.

3.根的判别式

一元二次方程ax2+5%+c=0（a丰0）的根的判别式为A=b24ac.

当△>（）时，方程有两个不相等的实数根，即

v—b+〃24acy—b血4ac.

X1-2a，2z—2a，

当△=（）时，方程有两个相等的实数根久=X=立；

122a'

当A<0时，方程没有实数根.

4.一元二次方程两根之间的关系

若一元二次方程a/+bx+c=0（aK0）的两个实数根为久2,则x+%=£%%=£,（注意两根的和是2

12a12aa

的相反数）.以。久1,%2为根的一元二次方程是X?（%1+X2）x+%1%2=0.

5.不等式的解法

解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不

等号的方向必须改变.

6.一元一次不等式组的解集

由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况见下表:

不等式组（a<b）图示解集口诀

{x>b此一x>b大大取大

ab

{x<bx<a小小取小

ab

x>aa<x<b大小、小大中间找

ab

——

(x<h0小小、大大找不到

ai

典型例题

例1

不等式3x-5N5x-ll的正整数解的个数为（）.

A.OB.lC.2D.3

解析解不等式3X-5N5X-11,得烂3,则其正整数的解有1,2,3,所以正整数解的个数为3个，选D.

例2

若匡9|(y少=0,则x+y的值为().

x3

A.-1或-7B.-7C.-1D.7

解析因为用9|(y平=0,

x3

所以x+3#)且9|(y4)2=0,

所以xr-3且9|(y4)2=0.

又因为9|(y4)2=0且|第29|>0,(y4)2之0,

所以|%29|=0且(y4)2=0,

所以x=±3,y=-4.

因为x#3,

所以x=3,

所以x+y=3+(-4)=-1.

故选C.

例3

某电器商家，计划购进电视机、洗衣机、冰箱总数为40台，而现在商家打算总共用12万元，各种家电价格

如下表所示.

家电种类进价/(元/台)售价/(元/台)

冰箱50005480

洗衣机20002280

电视机25002600

(1)若总共用的资金不超过12万，买进的洗衣机和冰箱数量相同，电视机不超过洗衣机数量的三倍，请问商家

有几种购买方式？

(2)针对上述3种电器，商家推出“满1000元送50元家电消费券一张，多买多送”，在(1)的条件下，若三种电

器都售完，商家预计最多送出多少张消费券？

解析(1)设购买冰箱的数量是x台，则购进洗衣机的数量是x台，电视机的数量为(40-2x)台，根据总共用的资

金不超过12万和电视机不超过洗衣机数量的三倍列不等式组，即

[40-2工43工

(5000J-+2000.r+2500(40-21X120000

解得：8WxW10.

因为x是整数，

所以x可以为8,9,10.

有三种方案如下.

方案一：冰箱8台，洗衣机8台，电视机24台.

方案二：冰箱9台，洗衣机9台，电视机22台.

方案三：冰箱10台，洗衣机10台，电视机20台.

(2)题中要求最多送出的消费券，满1000元送50元消费券，多买多送，所以要根据售价总额来求出最大售

价，即可求出最多消费券.设售价总额为y元，

由题意得,y=5480x+2280x+2600(40-2x)=2560x+104000

所以当x=10时,y最大=2560x10+104000=129600,

故送出的消费券的张数为：129600+1000=129.6^30(张).

则商家预计最多送出消费券130张.

例4

某项工程，如果由甲、乙两队承包，22天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，33天完成，需付1500

54

00元；由甲、丙两队承包，2❷天完成，需付160000元,现在工程由一队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪

7

个队承包费最少？

解析设甲、乙、丙单独承包各需x,y,z天完成，

I[+工=立

Ix912X=4

-+i=—；解得ly=6.

9z15”_《八

xx20

再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付U,V,W元，

—（a+v）=80000

5u=45500

is（v+w）=15000,解得v=29500,

型（cos+a）=16000w_10500

7

因为丙队不能在一周内完成，

所以丙队舍去.

因为甲队单独承包的费用：445500X4=182000）（元）；

乙队单独承包的费用：29500X6=177000（元）.

又因为177000<182000,

所以由乙队承包费用最少.

双基训练

1.若x=6是关于x的方程3x+4m-30=0的解，则m的值为（）.

A.0B.lC.2D.3

2.一元一次方程33=0解为().

26

A.OB.-1C.1D.2

3.已知代数式迎*代数式2%2的和为5,则x的值为（）•

555

A.4B.5C.6D.7

4.解方程工^1^=3时，去分母后，正确的结果是（）.

32

A.4x-l-15x+3=18B.4x-2-15x-3=18

C.4x-2-15x-9=18D.4x-2-l5x+9=18

5.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x,根据题意，下

面列出的方程正确的是（）.

A.100(l+x)=121B.100(l-x)=121

C.100(1+%)2=121D.100(1%)2=121

6.方程5工+5=0的根为().

45+遥8上近C.延金D.-^

222

7.已知m,n是关于x的一元二次方程Y+7nK+n=0的两个相等的实数根，且满足工+2=3,则m的值为(

mn

).

A.-1B.2或一1理C.1D1

333

8.方程才6久+5=0的两个根分别为.Xi,X2，则4+4的值为().

4X2

A瑟B26C36D.g

5_55_Q5

9,已知：:2产方程组几；］；的解，则m和n的值分别为().

A.1,4B.4,1C.2.-1D.-2,1

10.一元二次方程x25欠+4=0根的情况为（）.

A.有一个根B.有两个相等的实根

C.有两个不相等的实根D.无解

11.已知实数a#,且满足((a+I/=3—3(a+1),(fe+I)2=3-3(6+1),则包+区的值为().

ab

A.23B.-23C.-2D.-13

12.用配方法解方程4必—12x—1=0,配方后的方程为().

4(2%—3)2=0B.(2尤+3)2=0

C.(2x-3)2=10D,(2%+3)2=10

13.若关于x的一元二次方程k/—9%+6=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为().

A.k#0B.k〈红

8

C.k邦且k〈红D.k〉红

88

14.已知3-8)(X+3)的值为0,则x的值为().

1%1-3

A.+3B.-3C.8D.-3或8

15.毕业班同学合影拍照，已知冲一张底片需要0.8元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张照片,

共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学人数为().

A.至多6人B.至少6人C.至多5人D.至少5人

f5x—1>3(x+1)

16.不等式组11-73的解集是().

-%—1<7--%

I22

A.x>2B.x<4

C.x<2或x>4D.2<x<4

17.关于x的分式方程」--&=1无解，则n的取值范围为.

x+lx2-l

18.不等式2+也>%+弟的解是

36

19.当k取何值时,((k+I)%2-4kx+3=0分别有两个不相等实数解？

20.某公司做电饭锅促销活动，按照进价提高35%,然后“打九折，外送30元”的广告，每个电饭锅最后仍然获

利200元，则每台电饭锅进价是多少元?

能力提升

21.设二元一次方程4x+3y-12=0,5x+3y-18=0,x+y+k=0有公共解，则k的值是().

A.-3B.-2C.-1D.0

22.方程工工上=£二去分母后的结果为（）.

%2x3x3x3

A.x23x4=0B.x25%2=0

C.X23x2=0D.x25x4=0

23.如图所示，已知抛物线yi=%24%和直线=2%.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为

yi,y2,若.yi丰力,取yi,丫2中的较大值记为N；若yi=丫2,记"=%=y-i-

下列判断:①当x>2时,N=yz；

②当x<0时,x值越大,N值越大；

③使得N大于4的x值不存在；

④若N=2,则x=l.其中正确的判断有().

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2

24.关于方程ax（3al）x2（a1)=0有两个不相等的实根Xi送2且有久i%1%2%2=1a,则a的

值为（）.

A.1B.-1C.1或-1D.2

25.已知方程2久3/c=5(%k)1的解为负数，则k的取值范围为.

3

26.已知5短+2b-54y3a-b-3=9是二元一次方程，那么a+3b=_.

vv—9

{3久5y=11则3(x+y)-(3x-5y)的值是,.

28.解不等式方程组：管-24-

29.某物体从P点运动到Q点所用时间为7s,其运动速度V(m/s)关于时间t(s)的函数关系如图所示.某学习小组

经过研究发现：该物体前进3s运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积.由物理学知识还可知：该物体前t(3<tW

7)s运动路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和.

根据以上信息，完成下列问题：

(1)当3<t<7时，用含t的式子表示V.

(2)分别求物体在0StW3和3<t<7时，运动路程S(m)关于时间t(s)的函数关系式;

并求该物体从P点运动到Q点中总路程的工时所用的时间.

10

30.某食品加工厂准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力.现在主要原料有

可可粉410克，核桃粉520克.计划利用两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块.加工一块原味核

桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克.加工一块原味

核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元.设这次研制加工的原味巧克力x块.

(1)求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

(2)设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使成本最低.总成本最低

是多少元？

拓展资源

31.已知关于x,y的方程组二\&：其中-3SaWl,给出下面结论：

①I：二+1是方程组的解；②当a=-2时，x,y的值互为相反数；③当a=-l时，方程组的解也是方程x+y=4-a

的解;④若烂1,则均《4.其中正确的是().

A.①②B.②③C.②③④D.①③④

32.已知关于x的方程kx2+(1-/c)x-1=0,下列说法正确的是().

A.当k=0时，方程无解

B.当k=l时，方程有一个实数解

C.当k=-11时，方程有两个相等的实数解

D.当k70时，方程总有两个不相等的实数解

0

33.若关于t的不等式组二*字1恰有三个整数解,则关于x的一次函数y—a的图像与反比例函数y

=包±1的图像的公共点的个数是.

X

34.若x,y,z为整数，且满足不等式「言；：.则x的最小值为,

35.解方程组:鬲:翡=。

1-5DCCDC6-10CCAAC11-16ACCCBD

17.-6<n<218.%<^

_5_

19.k>"必或k<3_VZ320.约为1070元

88

21-24BABC225.k<工26.827.16

2

r%=4

28%=2

29.(1)V=2t-4;⑵S=/叱N'T，丫所用时间为6秒

30.(1)有三种方案.方案一：原味核桃巧克力18块，益智核桃巧克力32块；

方案二：原味核桃巧克力19块，益智核桃巧克力31块；

方案三：原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块.

⑵当原味核桃巧克力20块，益智核桃巧克力30块时，总成本最低为84元.

〃解方程组[六40