中考数学易错易混淆集训：勾股定理

专题10易错易混集训：勾股定理

聚焦考点

易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解

易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解

易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解

易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式

典型例题j

易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解

例题：(2022・湖北•恩施市崔坝镇民族中学八年级阶段练习)若一个直角三角形的两边长为3和4,则它第三

边的长为.

【答案】近或5

【分析】分边长为4的边是斜边和直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得.

【详解】解：由题意，分以下两种情况：

(1)当边长为5的边是斜边时，

则第三边长为742-32=手-

(2)当边长为5的边是直角边时，

则第三边长为序弄=5；

综上，第三边长为近或5,

故答案为：行或5.

【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键.

【变式训练】

1.(2022•广东・东莞市南城阳光实验中学八年级期中)直角三角形的两边长分别为3和2,则第三边长为

【答案】回或非

【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解.

【详解】解：当3是直角边时，第三边长为：序方=而，

当3是斜边时，第三边长为：打"=有，

所以，第三边长为而或右.

故答案为：旧或退.

【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，注意要分情况讨论.

2.（2022・辽宁抚顺・八年级期末）如果一个直角三角形的两条边长分别为8和15,那么这个三角形的第三边

长为.

【答案】17或师

【分析】分两种情况：当8和15都是直角边时；当15是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即

可.

【详解】解：当8和15都是直角边时，第三边长为：后石手=17，

当15是斜边长时，第三边长为：7152-82=7161.

故答案为：17或洞’

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为c,那么/+〃=c2.

3.（2022•云南•弥勒市长君实验中学八年级阶段练习）己知GI+（6-5）2=0,那么以“，b为边长的直角

三角形的第三边长为.

【答案】4或扃

【分析】先根据算术平方根和偶次方的非负性求出。=3,6=5,再分①长为3和5的边均为直角边，②长为

5的边为斜边两种情况，利用勾股定理即可得.

【详解】解：,病方+（6-5/=0,且而与",（6_5『N0,

.,.a—3=0,b—5=0,

解得。=3,6=5,

①当长为3和5的边均为直角边时，

则这个直角三角形的第三边长为J32+52=取;

②当长为5的边为斜边时，

则这个直角三角形的第三边长为7^二三=4；

故答案为：4或四.

【点睛】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、勾股定理，正确分两种情况讨论是解题关键.

4.（2022・安徽•合肥市西苑中学八年级期中）已知x、y为直角三角形的两边且满足VT分+（x-y+l）2=0,

则该直角三角形的第三边为.

【答案】5或⑺##e或5

【解析】

【分析】

由非负性的性质可求得x与y的值，再分两种情况，利用勾股定理即可求得第三边的长.

【详解】

V7^3>0,（X-V+1）2>0,且GI+（x-y+l）2=0,

:♦x—3=0,x-y+l=0,

解得：x=3,y=4.

当x=3,尸4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：序弄=5；

当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为："2一3?="

故答案为：5或将.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，涉及两个非负数的和为零则它们均为零的性质，注意求得的两边无法确

定都是直角边还是一条直角边和一条斜边，故要分类讨论.

5.（2020・四川成都•八年级阶段练习）如图，点A/,N把线段分割成/A/,MN和NB,若以/A/,MN,

为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段N3的“勾股分割点”.已知点N是线段

的“勾股分割点"，若4W=3,MN=4,则8N的长为.

【答案】5或五##近或5

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：当/河=3,9=4为直角边时，当MN=4为斜边时，则/朋=3为直角边，再利用勾股定

理可得答案.

【详解】

解：当加/=3,招=4为直角边时，

\W=A/32+42=5,

当儿W=4为斜边时，则ZM=3为直角边，

\BN="-32=后,

故答案为：5或五

【点睛】

本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.

6.（2022•河南•郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）如图，在必△4BC中，ZA=90°,AB=AC,BC=&+1,

点M,N分别是边BC,48上的动点，沿MN所在的直线折叠N3,使点3的对应点"始终落在边NC上，

若AMB'C为直角三角形，则BM的长为

【答案】:行+3或1

【分析】①如图1,当N8'MC=90。，夕与工重合，M是2C的中点，于是得到结论；②如图2,当乙10c=90。,

推出△CM"是等腰直角三角形，得到。0=亚/2，，列方程即可得到结论.

【详解】解：①如图1，

当/2'MC=90。，8'与/重合，河是的中点，

<•BM=~+—；

②如图2,当NW"C=90。，

VZA=90°,AB=AC,

：.ZC=45°,

△CMB'是等腰直角三角形，

：.CM=y[2MB',

:沿MN所在的直线折叠使点2的对应点"，

：.CM=5BM,

,；BC=01,

：.CM+BM=y/2BM+BM=亚+1,

综上所述，若△MQC为直角三角形，则四的长为g亚+g或1,

故答案为：:收+;或1.

2.，

图1图2

【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键.

7.（2022•河南•郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）如图，在A4BC中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,7是

斜边48上一个动点，E是直线3c上的一个动点，将△48C沿DE折叠，使点3的对应点尸落在直线48

上，连接CF,当ACE尸是直角三角形时，线段3。的长为

【答案】（7或5

【分析】分两种情况讨论：当/。茗=90。时，过点C作CALL/8于点由翻折可知，BD=DF,ZEFB=

ZB,由直角三角形两锐角互余易得/C=/C=6,则”为/尸的中点，由面积相等可求得CM的长，再由勾

股定理可求得放的长，则可求得2尸的长，从而可得2。的长；当NEC尸=90。时，此时点尸落在点/,则

BD=，B=5.

【详解】解：①当NCEE=90。时，过点/作CWL/8于点如图所示：

VZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=V62+82=10-

由翻折可知，BD=DF,ZEFB=ZB,

VZA+ZB=90°,ZEFB+ZCFA=90°,

：.ZA=ZCFA,

：.FC=AC=6,

'：CMLAB,

：.AM=FM=-AF

2

S..RC=-AC>BC=-AB>CM,

AC・BC6x8_24

CM=

AB

18

在必△CEM中，由勾股定理得:FM=^FC2-CM2=

5

2A

AF=2FM=——

5

BF=AB-AF=10——二——，

55

17

BD=-BF=--

25

②当NEW=90。时，点尸落在点4贝！

7

综上，线段8。的长为（或5.

故答案为：£或5.

【点睛】本题主要考查翻折变换（折叠问题）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性质和直角三角形

锐角互余得到尸C=/C,是解答本题的关键.注意等积思想的应用.

易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解

例题：（2021•北京市鲁迅中学八年级期中）在△4BC中，AB=15,AC=20,3C边上的高ND=12,则

BC=.

【答案】7或25

【解析】

【分析】

己知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即/

是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解.

【详解】

解：分两种情况：

①如图1,ZUBC中，48=15,AC=20,8C边上高/。=12,

(1)(2)

在Rt^ABD中4B=15,AD=12,

由勾股定理得：5£>=^/152-122=9

在及△NOC中NC=20,AD=12,

由勾股定理得：£>C=V202-122=16

：.BC的长为BD+DC=9+16=25.

②如图2,同理得：BD=9,0c=16,

：.BC=CDBD=7.

综上所述，8C的长为25或7.

故答案为：25或7.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长.当已知条件中没

有明确角的大小时，要注意讨论.

【变式训练】

1.（2021•黑龙江牡丹江•八年级期末）在A/BC中，若NC=15,BC=13,48边上的高CD=12,则△/2C的周

长为.

【答案】32或42##42或32

【解析】

【分析】

作出图形，利用勾股定理列式求出BD,再分在A42C内部和外部两种情况求出然后根据三

角形的周长的定义解答即可.

【详解】

解：AC=15,5C=13,A8边上的高CD=12,

:.AD=ylAC2-CD2=9，

BD7BC2-CD?=5,

如图2,CD在AA8C外部时，AB=AD-BD=9-5=4,

此时，A48C的周长=4+13+15=32,

综上所述，AA&C的周长为32或42.

故答案为：32或42.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是分情况讨论求出N3的长，作出图形更形象直观.

2.（2022•山西•孝义市第六中学校八年级阶段练习）已知△48C中，48=5,NC=8,2c边上的高/。=4,

则BC=.

【答案】4用3或46-3

【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：当A/BC为锐角三角形；当ZU2C为钝角三角形；利用勾股

定理，分别求出答案即可.

【详解】解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△4BC为锐角三角形，

在7？公/80中，根据勾股定理得：BD=^AB2-AD2=752-42=3；

在RM4CD中,根据勾股定理得：CD=^AC2-AD2=782-42=473-

止匕时+3;

如图2所示，此时A/BC为钝角三角形，

在氏小/8〃中，根据勾股定理得：BD=底炉-AD?-42=3；

在RtLACD中，根据勾股定理得：CD=JAC?-AD?=7§2-42=4G，

止匕时8c=8。一DC=46一3.

综上，3c的长为46+3或4百-3.

故答案为：46+3或46-3.

图1图2

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理进行计算，会运用分类讨论的思想进行

分析.

3.（2022・北京・101中学八年级期中）在放A/BC中，/4CB=90°,AC=4,AB=5.点尸在直线/C上，

且AP=6,则线段4P的长为.

【答案】36-4或3G+4

【解析】

【分析】

根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可.

【详解】

解：如图，

•••ZACB=90°,AC=4,AB=5

BC=dAB2-AC?=A/52-42=3

在RtASPC中，pc=^PB--BC1=V62-32=36

■■PA=PC-AC=3y/3-4^PA^PC+AC^-iy/3+4

故答案为：36-4或3右+4

【点睛】

本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键.

4.（2022•安徽・宿城第一初级中学七年级期末）在A/BC中，Z5=90°,^5=12cm,8C=9cm,点。是N3

的中点，点尸从A点出发，沿线段AB以每秒3cm的速度运动到3.当点尸的运动时间”秒时，APCD

的面积为6cm2.

【答案】三14或市22

14

【分析】根据线段中点的性质得到8。=5/8=6cm,再由三角形的面积公式推出产。=]cm,结合图

形可以分点尸在点D左侧和点尸在点D右侧两种情况进行讨论，由线段之间的和差关系及行程问题公式（时

间=路程-速度）进行求解即可.

【详解】解：•••点。是N8的中点，

AD=BD=—AB=6cm,

2

,1

又S»c3=6cm2,即5^0x2。=6,

4

解得PD=1Cm,

当点尸在点。左侧时，

4414

PD=—cm,贝U4尸=4。一尸。=6—=w（cm；

AP14

此时点尸的运动时间4=7=3秒.

当点。在点。右侧时，

4422

PD=—cm,贝！]AP=AD+PD=6+—=——（cm

333、

AP7?

此时点P的运动时间4==三秒，

综上，点尸的运动时间为w或w秒.

,1422

故答案为：■或不.

【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是求得尸。长度后结合图形分情况进行讨论（点尸在点。左侧和

点尸在点。右侧）.

易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解

例题：（2022•浙江绍兴•二模）在A/BC中，NC=4,BC=2,AB=25以Z8为边在ANBC外作等腰直角

△ABD,连接CD,贝UCD=.

【答案】2j而或2万或3行

【解析】

【分析】

分三种情况画出图形，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案.

【详解】

解：如图1,ZABD=90°,

图1

•：AC=4,BC=2,AB=2y/5,

：.AC+BC=AB2,

...△NC2为直角三角形，ZACB=90°,

延长C8,过点。作。于点E,

'：DE±CB,

：.NBED=NACB=9Q°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

•••△/皿为等腰直角三角形，

：.AB=BD,ZABD=90°,

ZCBA+ZDBE=90°,

：.ZCAB=ZEBD,

在Zk/CB与ABED中，

ZACB=ZBED

<ZCAB=ZEBD,

AB=BD

・••△ACB"LBED(AAS)f

：.BE=AC=4,DE=CB=2,

：.CE=6,

根据勾股定理得：CD=s/CE2+DE2=2V10；

如图2,NBAD=90。,过点。作。E_LC4,垂足为点£.

图2

V5C±G4,

・•・/AED=NACB=90。,

：.ZEAD+ZEDA=90°,

•；LABD为等腰直角三角形，

：.AB=AD,ZBAD=90°f

:・NCAB+NDAE=90。,

：./BAC=/ADE,

在AACB与ADEA中，

ZACB=ZDEA

<ZCAB=ZEDA,

AB=DA

・•・△ACB注ADEA(.AAS)f

；・DE=AC=4,AE=BC=2,

：.CE=6,

根据勾股定理得：CD=y/CE2+DE2=2V13；

如图3,NADB=90。,过点0作DELCH垂足为点£,过点4作4b_LDE,垂足为点尸.

图3

ZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°f

,/ZDAB+ZDBA=90°,

：.ZEBD+ZDAF=90°,

■:/EBD+/BDE=9V,ZDAF+ZADF=90°f

ZDBE=ZADF9

在△4FD和△。仍中，

/DBE=/ADF

</BED=/AFD,

DB=AD

：.AAFD^ADEB(AAS)f

：.AF=DE,DF=BE,

2+DF+BE=4,

：.DF=BE=\,

：.CE=DE=3,

CD=yJCE2+DE2=372.

综合以上可得CD的长为2瓦或2g或3也.

故答案为2加或2回或3VL

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与

性质是解本题的关键.

【变式训练】

1.(2021•辽宁•沈阳市第一三四中学八年级阶段练习)如图，在放ZUBC中，/ACB=90°,AB=5cm,AC

=3c%,动点尸从点B出发沿射线3C以lc%/s的速度移动，设运动的时间为/秒，当为等腰三角形

时，/的取值为

B

【答案】5或8或亍

O

【解析】

【分析】

当A/BP为等腰三角形时，分三种情况：①当48=2尸时；②当/2=4P时；③当AP=/尸时，分别求出

的长度，继而可求得f值.

【详解】

在MA/8C中，BC^^AB2-AC^^S2-32=16,

.".BC=4Cem)；

①当48=8尸时，如图1,，=5；

②当尸时，如图2,BP=2BC=8cm,f=8；

③当AP=4P时，如图3,AP=BP=tcm,CP=(4-t)cm,AC=3cm,

在RfA/C尸中，AP2=AO+CP2,

所以「=32+(4T『，

解得：片台25，

o

25

综上所述：当A/2P为等腰三角形时，f=5或彳=8或/=彳.

O

故答案为：5或f=8或片台25.

O

【点睛】

本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，

注意不要漏解.

2.(2022•湖北武汉•八年级阶段练习)必△48C中，直角边/C=8,斜边48=17,在直线/C上取一点£),

使为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为

【答案】50或34+3^34或34+5V34或——

8

【分析】分三种情况讨论：①如图1,当/8=2。=17时；②如图2,当/8=ND=17时；③如图3,当AB

为底时，AD=BD.

【详解】解：在尺必/台。中，BC=^AB2-AC2=15-

①如图，

当48=80=17时，CD=C/=8时,

AD=16,

.”.△ABD的周长为17x2+16=50；

②如图，

当AB=AD=17时，

得CD=AD-AC=9或CD=AD+AC=25,

在Rt^BCD中，BD=yjBC2+CD2=V152+92=3734或=^BC2+CD2=V152+252=5734，

.,.△ABD的周长为17+17+3扃=34+3后或17+17+5房=34+5后.

③如图，

当43为底时，设4D=AD=x,则CD=x-8,

在RtLBCD中，BD』CD2十BC2,

289

即V=(X-8)2+152,解得:X=-----

16

.3巾“且289289…425

/A\ABD的周长为——+——+17=——

16168

综上，△45。的周长为50或34+3扃或34+5后或一1.

8

475

故答案为：50或34+3扃或34+5扃或丁.

O

【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，分类讨论思想是本题的关键.

3.（2022•辽宁朝阳•中考真题）等边三角形/8C中，。是边5c上的一点，BD=2CD,以为边作等边三

角形连接C£.若CE=2,则等边三角形45C的边长为.

【答案】3或小叵.

13

【分析】分两种情况，先证明AG4E=A54D（"S）,再根据全等三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，E点在4D的右边，

MDE与AABC都是等边三角形，

:.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ABAC=60°,

NDAE-NCAD=ZBAC-ZCAD,

即ZCAE=ZBAD.

在\CAE和\BAD中,

AC=AB

<NCAE=/BAD,

AE=AD

,ACAE'MAD(SAS),

;.CE=BD=2,

QBD=2CD,

:.CD=lf

BC=BD+CD=2+\=3,

二•等边三角形/BC的边长为3,

如图，E点在4。的左边,

/.BE=CD,AABE=ZACD=60°,

/./EBD=120。，

过点石作斯_L8C交C5的延长线于点尸，则NE5尸=60。，

A7/T11

:.EF=—BE=—CD,BF=-BE=-CD,

2222

7

:.CF=BF+BD+CD=-CD,

2

在RtAEFC中，CE=2,

:.EF2+CF2=CE2=4

V32,7,2

(±.CD)+(-CD)=4,

2

:_CD=^-^.CD=-^-(舍去)，

1313

i.BC=巫,

13

...等边三角形ABC的边长为名叵，

13

故答案为：3或处.

13

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明AC4E=AS/Z)是解题的

关键.

易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式

例题：（2021•新疆伊犁•八年级阶段练习）如图，一只蚂蚁从长为4c加、宽为3cm,高是12c冽的长方体纸

箱的4点沿纸箱爬到5点，那么它所行的最短路线的长是。加.

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短,由勾股定理解答即可.

【详解】解：如图

=y/265

如图

AB=^152+42=4141

如图

图3

AB=«2、12=y/193

■：V193<A/24?<^265

它所行的最短路线的长为：V193

故答案为：V193.

【点睛】本题考查平面展开图一最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键.

【变式训练】

1.（2022•广东梅州•八年级期末）如图所示，/2CZ1是长方形地面，长/2=20仅，宽40=10〃?.中间竖有一

堵砖墙高血W=27".一只蚂蚱从/点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走的路程.

【答案】26m

【分析】连接NC,利用勾股定理求出/C的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不

变，求出新矩形的对角线长即可.

【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MV,

原图长度增加4米，则43=20+4=24（%），

连接NC,

:四边形N2CD是长方形，AB=24m,宽/。=10a，

-"-AC=yjAB2+BC2=V242+102=26（加），

...蚂蚱从/点爬到C点，它至少要走26m的路程.

故答案为：26m.

【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键.

2.（2022•福建・武平县实验中学八年级期中）如图1,圆柱形容器高为6cm,底面周长为6cH7,在杯内壁离

杯底2cm的点2处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2c机与蜂蜜相对的点/处，则蚂蚁

从外壁N处到达内壁8处的最短距离为

【答案】36

【分析】将杯子侧面展开，作4关于跖的对称点H,根据两点之间线段最短可知H8的长度即为所求.

【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A',

A'B=yjA'D1+BD1=3V5(cm).

答：蚂蚁从外壁/处到达内壁8处的最短距离是3石cm.

故答案为：375.

【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题

的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

3.(2022•广东韶关实验中学八年级期中)如图，长方体的长BE=15cm,宽/3=10cm,高20cm,点

/在8上，且CN=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点"，需要爬行的最短距离是

【答案】25

【分析】首先将长方体沿S、HE、BE剪开，向右翻折，使面A8CD和面3即C在同一个平面内，连接

AM-,或将长方体沿CH、GD、G”剪开，向上翻折，使面/BCD和面。C〃G在同一个平面内，连接

或将长方体沿N3、AF、£尸剪开，向下翻折，使面C8E"和下面在同一个平面内，连接然后分别在

RtAADM与RtMBM与RtAACM,利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程.

【详解】解：将长方体沿C"、HE、BE剪开，向右翻折，使面N3CD和面在同一个平面内，连接

AM,如图1,

G_______H

CM

图1图2图3

由题意可得：MD=MC+CD=5+\0=15cm,AD=20cm,

在中，根据勾股定理得：AM=y]i52+202=25cm；

将长方体沿C//、GD、