2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：三角函数的图象与性质（学生版+解析）

第05讲三角函数的图象与性质

目录

第一部分：基础知识..................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过............................................5

高频考点一：三角函数的定义域.....................................5

高频考点二：三角函数的值域.......................................6

高频考点三：三角函数的周期性....................................7

高频考点四：三角函数的奇偶性....................................8

高频考点五：三角函数的对称性....................................9

高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）............11

高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）.......12

高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）.....13

高频考点九：三角函数中。的求解（。的取值范围与单调性相结合）…..…54

高频考点十：三角函数中。的求解（。的取值范围与对称性相结合）..……14

高频考点十一:三角函数中。的求解（。的取值范围与三角函数的最值相结合）

................................................................................................................................15

第四部分：新定义题.................................................16

第一部分：基础知识

1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中ZeZ）

函数y=sinxy=cosxy-tanx

4K

八

图象-VKi5r

2c12

jl

定义域RR{x\xk7i+—,kEZ}

值域[-1,1]RR

周期性2万27n

奇偶性奇函数偶函数奇函数

jr仔,0)

对称中心（左肛0）(^+-,0)

.71

对称轴方程X-K7l-\——x-kn无

2

[2k7r--.2k7i+—].keQai-Ti,2k7i],k’也兀一%,k兀+§,keZ

递增区间22

H—,2k兀-\----],ks[2左2k兀+7i\kr7

递减区间22无

2、三角函数的周期性

函数y=Asin(a)x+(p)y=Acos(a)x+(p)y=Atan(a)x+(p)

周期TT_2万T_2兀T_2〃

r=Mr=Mr=M

函数y二|Asin(©x+0)|y二|Acos(s+°)|y=|Atan(s+0)|

周期T

T=—T=—T=—

函数y二|Asin(a)x+(p)+b\y二|Acos(^x+0)+〃|y二|Atan(a)x+(p)+b\

(Z?wO)(Z?wO)(bwO)

周期TT_2兀T_2兀

丁=说，=而T=—

其它特殊函数，可通过画图直观判断周期

27r7t

（1）函数丁=Asin（s+。）的最小正周期T=；-.应特别注意函数y=|Asin（〃四+。）|的周期为T=^-,

27r

函数丁=1Asin（〃沈+。）+川（bwO）的最小正周期7=一;.

㈤

e27r

（2）函数y=Acos（s+。）的最小正周期T=；-.应特别注意函数y=|Acos（〃式+。）|的周期为

712万

T=-一-.函数y=|Acos（@x+0）+勿（bwO）的最小正周期均为T=;一:.

⑷\a）\

71

（3）函数y=Atan（s+。）的最小正周期7=；—-.应特别注意函数y=|Atan（©x+。）||的周期为

717t

T=-一-,函数y=|Atan（s+0）+〃|（bwO）的最小正周期均为7一;.

3、三角函数的奇偶性

三角函数。取何值为奇函数。取何值为偶函数

y=Asin(s+0)。=左不（氏GZ）JI

(p=k兀+—(左wZ)

2

y=Acos(s+0)71(p=k7ikkeZ)

(p=kn+—(ZeZ)

y=Atan(s+o)夕=左"（氏eZ）

（1）函数y=Asin（@x+。）是奇函数=左》（左EZ）,是偶函数=夕=左乃+耳（左EZ）；

JI

（2）函数y=Acos（（ax+e）是奇函数=夕=左乃+5（左eZ）,是偶函数Q0=左不（左eZ）；

（3）函数，=Atan（（ax+9）是奇函数。0=左乃（ZeZ）.

4,三角函数的对称性

7T

（1）函数y=Asin（ox+e）的图象的对称轴由cox+（p=k7i+—（左eZ）解得，对称中心的横坐标由

a>x+(p=kn(左eZ)解得;

（2）函数y=Acos（tox+。）的图象的对称轴由。x+。=左左（左eZ）解得，对称中心的横坐标由

JI

a>x+(p=k7i+—[k^Z)解得;

k兀

（3）函数y=Atan（ox+0）的图象的对称中心由。*+夕=万-左eZ）解得.

第二部分：高考真题回顾

7T2兀

1.（2023•全国•乙卷理）已知函数/（X）=5皿3：+0），3>0）在区间单调递增，直线％=2和x=——

63

1

为函数y=〃x）的图像的两条相邻对称轴，贝2r（）

A.qB-c-ID-T

2.（2023•天津•高考真题）已知函数^=〃力的图象关于直线x=2对称，且“X）的一个周期为4,则

的解析式可以是（）

3.（2023・全国•新课标I卷）已知函数〃x）=cosox-1（0>0）在区间［0,2兀］有且仅有3个零点，则。的取

值范围是.

4.（2023,全国,新课标n卷）已知函数〃x）=sin（aM：+0）,如图A,8是直线y=g与曲线y=〃x）的两个

5.（2023・北京•高考真题）设函数/（%）=sinGXCOS(p+cosoxsin>0,|夕|<^

（1）若/（0）=-等，求。的值.

⑵己知/（X）在区间-孑与上单调递增，/[g）=l，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择

一个作为己知，使函数/（X）存在，求6y，。的值.

条件①：

条件②：；

条件③：“X）在区间-与-三上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：三角函数的定义域

典型例题

例题1.（2024高三上・河南・专题练习）函数/（%）=M（4；x）的定义域为（）

sinx・，x-l

A.B.(l,7t)u(7t,4)C.D.[l,7l）u（7l,4]

例题2.（23-24高一上,江苏南通・期中）在[0,2无]内函数=五嬴+Insinx-的定义域是（）

兀713兀5兀兀3兀）713兀

A.B.D.

453T5Tc.

例题3.（23-24高一上•新疆乌鲁木齐•期末）求函数/（x）=tangC）的定义域__________.

26

例题4.（23-24高三上•河南新乡•阶段练习）函数/（x）=Ig（sinx）+J2cosx—1+tan2x的定义域为.（用

区间表示结果）

练透核心考点

1.（23-24高一下•湖南长沙•开学考试）已知的定义域是,则〃sin2x）的定义域为（）

71,7T.

A.4+2日「+2E(keZ)B.---FrC7l,FrC7t优wZ)

_636----------3

2兀八，兀小

C.---+2^71,—+25(攵GZ)D.—+k7l,—+k7t(kGZ)

3636v7

2.（2024高三•全国,专题练习）函数y=-2的定义域为.

sinx-cosx

3.（23-24高一下•陕西渭南•阶段练习）函数/（x）=tan（2x+3的定义域为,

4.（23-24高一上•湖北孝感・期末）函数y=tan1x+£1-2的定义域为.

高频考点二：三角函数的值域

典型例题

例题1.(2024・湖北・二模)已知函数/(x)=2sinxcos(x+3+2|

xe0微，则函数/（X）的值域是（）

66V3

----,一B.-------,1

7T1

例题2.（23-24高一下•河北承德•阶段练习）已知函数/（x）=sin（2'7的定义域为防，川（“<〃），值域

62

3

为[-7，。],则〃-加的取值范围是（）

2

7l「71271..

A.r[§,兀]B.[―,^-]

兀2兀兀

c.[-,y]D.

例题3.（23-24高一下•北京•阶段练习）设函数〃x）=2cos2x+sin2x-4cosx.则;函数””

的最小值为.

例题4.（23-24高一上•山西阳泉•期末）已知函数/（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

⑴求〃龙）的最小正周期及单调递减区间；

TT37T

⑵求函数/（X）在:，手上的最大值和最小值，并求出取得最值时X的值.

练透核心考点

函数〃(

1.（23-24高一下•江西•阶段练习）x)=3tan2x+'J,喝的值域为（）

字30

A.B.C.[V3,3A/3]D.

2.（23-24高一下•上海•阶段练习）函数y=sin，-sinx+1的值域为.

71

3.（23-24高三下•浙江•开学考试）函数/(x)=2cosx--+sin2x(xeR)的值域为.

:金的值域为

4.（23-24高一下,福建莆田•期中）函数y=tan2x+4tanx-l,xG

高频考点三：三角函数的周期性

典型例题

例题1.（23-24高一下•北京•期中）函数”x）=cos2；-sin冶的最小正周期是（）

-44

兀

A.4nB.2nC.nD.—

2

例题2.（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）以下函数中最小正周期为兀的个数是（）

%

y=|sinx\y=sin|x|y—cos|x|y=tan—

A.1B.2C.3D.4

例题3.（23-24高一下•湖北•开学考试）下列四个函数中以兀为最小正周期且为奇函数的是（）

A./（x）=sin|x|B./（x）=cos|x|

C./（x）=|cosx|D.〃x）=tan（-九）

例题4.（23-24高一下•北京顺义,阶段练习）已知函数〃x）=cos尤-（6sinAcosx）+g,那么函数〃x）最

小正周期为;对称轴方程为.

练透核心考点

1.（23-24高一上•山东聊城•期末）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）

A.y=tanxB.y=|tanx|

(x兀、

C.y=sin|x|D-y=cosU+?J

71

2.（多选）（23-24高一上•湖北武汉•期末）已知下列函数中，最小正周期为三的是（）

2

A.y=|cos2x|B.j=sin^2x+

C.y=tan〔2x-：］D.y=cos|2x|

3.（23-24高一上•四川成都•期末）下列四个函数中，以兀为最小正周期，且为奇函数的是（）

A.y=tanxB.y=sinx

C.y=cos2xD.y=sin2x

4.（23-24高三下•北京顺义•阶段练习）已知关于x的函数〃元）=4112犬+4852%（〃£1<）的图象关于犬对

6

称，则“X）的周期为,实数”.

高频考点四：三角函数的奇偶性

典型例题

例题1.（23-24高三下•安徽•阶段练习）已知函数/■（元）=35苗（2.》+。）（|0<5）的图象向右平移9个单位长度

26

后，得到函数g（x）的图象.若g（x）是偶函数，则。为（）

TT

例题2.(2024•陕西西安•一模)将函数/(x)=2sin(2x-§)的图象向左平移机(m>0)个单位，所得图象

关于原点对称，则根的值可以是().

714兀5兀

A.—B.JiC.—D.—

333

例题3.(23-24高一上•河北邢台•阶段练习)已知函数f(x)=tan(x+0X9>。)的图象关于原点中心对称，则

夕的最小值为.

练透核心考点

1.(23-24高一下•安徽•阶段练习)将函数小)=呵2了+热的图象向右平移“0〈。苦J个单位长度后，

所得函数为奇函数，则。的值为()

兀57r兀兀

A.—B.—C.—D.一

121263

2.(2024・全国•模拟预测)若函数/(x)=Atan(5+0)(4yw0)为奇函数，则。=()

A.kji(kGZ)B.2AJI(^GZ)C.GD.(2k+l^kji(kGZ)

3.(23-24高三下•北京•开学考试)将函数/(x)=cos[3x-：)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,,纵

坐标不变，再将所得图象向左平移。个单位长度，得到函数g(元)的图象，若g(r)-g(x)=0,则写出a的

一个可能值为.

高频考点五：三角函数的对称性

典型例题

例题1.(23-24高三下•陕西安康•阶段练习)若函数"x)=sin[8-：](0>O)的最小正周期为6兀，则/⑺

的图象的一条对称轴方程为()

712兀c

A.x=—B.x=—C.x=D.X—2兀

23

例题2.(2024・陕西渭南•模拟预测)将函数，(x)=3cos[2x-；]的图象向左平移个个单位长度后得到函数

g(x)的图象，则g(x)的图象的一条对称轴为()

十八、3兀

A.直线》=囚B.直线工=火C.直线YD.直线x=—

634

例题3.（23-24高一上•山西长治•期末）函数/（%）=tan（3x-]J的图象的一个对称中心是（

A.B.C.小。D.

例题（多选）（高一下•河南南阳,阶段练习）下列关于函数的说法不正确的是（

4.23-24yutanQx+^J)

A.定义域为卜卜2£+也,左€2

B.最小正周期是兀

c.图象关于成中心对称D.在定义域上单调递增

练透核心考点

1.（23-24高一下•云南•阶段练习）下列函数中，以点此Z）为对称中心的函数是（）

A.y=sin-xB.y=sin2x

2

C.y=cos2xD.y=tan2x

2.（2024•陕西榆林•二模）若函数〃x）=cos（兀*+0）（0＜。＜兀）的图象关于直线x对称，则。=（）

71712兀5兀

A.一B.一C.—D.—

3636

2x71

（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=3cos满足了（"%）+/（%）=（〃＞）则的最小值为

3.T-600,a

)

3兀兀

A.2兀B.—C.兀D.-

22

（2024•河北邯郸•三模）写出一个。（。＞0）,使得函数/（x）=sin[28+gj的图象关于点（1,0）对称，则。

4.

可以为

高频考点六：三角函数的单调性(求三角函数的单调区间)

典型例题

例题1.(23-24高一下•重庆铜梁•阶段练习)已知函数/(x)=JIsin]2x+E)-1.

⑴求函数了。)的最小值，并求出函数/(x)取得最小值的龙的集合.

(2)求函数〃元)在[0,可上的单调递增区间.

例题2.(23-24高一上•广东阳江•期末)已知函数〃力=25M[8+曰+1(。＞0)的最小正周期为兀.

(1)求的值；

⑵求函数〃力的单调递增区间；

例题3.(22-23高一・全国•课时练习)已知函数y=〃x),其中〃x)=Atan(ox+0),(o＞0,|同＜。)，

y=的部分图像如下图.

(1)求A,。，夕的值；

(2)求y=/(x)的单调增区间,

练透核心考点

1.（21-22高一上嘿龙江佳木斯•期末）已知函数/（x）=2cos12x-11-l

IT

（1）求函数/（X）的最小正周期及/（X）在xe0,-上的最大值和最小值

⑵求函数/W的单调递增区间和单调递减区间

2.（23-24高一上•湖北荆州•期末）已知函数"x）=tan（2x+0）（O<e<5）的图象关于点§,01寸称.

（1）求Ax）的单调递增区间；

⑵求不等式T4，（无）4省的解集.

71X

3.（2023高一上•全国•专题练习）已知函数〃x）=3tan6~4

（1）求它的最小正周期和单调递减区间;

（2）试比较/㈤与/的大小.

高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）

典型例题

6

例题1.（23-24高一上♦湖南张家界•期末）若°=8$5。。<：05128。+£：0$40。0»38。,b=^-（sin56。-cos56。）,

,

l-tan-40030；“=_1卜0$80。-2cos?50。+1）,则a,b,c,d的大小关系为（）

l+tan240°30'2V'

A.a>b>d>cB.b>a>d>c

C.d>a>b>cD.c>a>d>b

例题2.⑵-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）设八彘M，底晨*'c=嘿;,则有

（）

A.b<a<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

例题3.（多选）（2024高三・全国•专题练习）（多选）下列各式正确的是（）

3»71

A.tan——<tan—

55

B.tan2>tan3

C.cos(-)>cos)

D.sin(———)<sin(———)

1810

练透核心考点

1.（多选）（2024•全国•模拟预测）下列不等式成立的是（）

A.tan2023>tan2024B.sinl<sin2

C.cos2023>cos2024D.cos1<cos2

2.（多选）（23-24高一上•全国•期末）下列不等式成立的是（）

A.tan2023°>tan2024°B.sinl<sin2

C.cos2024°>cos2023°D.cosl>sin3

3.（23-24高一下•北京顺义•阶段练习）tan的大小关系是.（填："〉，＜或="中的一

个）.

高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）

典型例题

例题1.（23-24高一下•河北张家口•阶段练习）已知函数〃x）=sinxcosx-若cos?》，若〃无）在区间

上是单调函数，则实数。的取值范围是（）

兀兀

D.

例题2.（23-24高一下•江西宜春•阶段练习）已知函数/（x）=3sin|j-2x）在（一九㈤上单调递减，则小的

最大值为（）

例题3.（2024•安徽芜湖•二模）已知偶函数〃x）=sin（w+翅。>0）的图像关于点（加中心对称，且在

IT

区间0,-上单调,则

练透核心考点

1.（多选）（2024•辽宁葫芦岛•一模）已知/'（x）=sinw+限os&r3>0）在区间上单调递增，则。

的取值可能在（）

2.（多选）（2024•辽宁•一模）已知函数/（x）=2cos［0X+.J+2（0>O）在区间JT1T

-2=上单调递减，且在

o5_

区间［0,可上有且仅有一个零点，则①的值可以为（）

251113

A.-B.-C.—D.—

361212

-7TV

3.（23-24高三上■江西南昌•开学考试）已知函数/（x）=cos（ox-z）（0>O）在区间（丁,2兀］上有且只有2个零

66a）

点，则。的取值范围是.

高频考点十：三角函数中。的求解（。的取值范围与对称性相结合）

典型例题

例题1.（2024•吉林延边•一模）将函数十）=548+卧0>0）的图象向左平移方个单位长度后得到曲线

C,若c关于y轴对称，则。的最小值是（）

例题2.（23-24高三上•河北承德•期中）将函数〃到=5可8+力（0>0）的图像向左平移宙个单位长度后

得到曲线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是（）

例题3.（2023,湖南永州•一模）已知函数〃x）=3cos（ox+e）（o>0）,若一:卜=0,在区间

［卜二上没有零点，则0的取值共有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

练透核心考点

兀+兀

1.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=cosCD%--（。>0）的图像关于原点中心对称，则。的最

小值为（）

13951

A.——B.一C.一D.-

4444

2.（23-24高一下,上海•阶段练习）已知函数〃幻=2$皿8+9）（0>0）的初始相位为：，若/5）在区间［0,1］

6

上有且只有三条对称轴，则①的取值范围是（）

1771237117式23兀

A.B.

6666

7兀10717兀10K

C.亍D.

［］的图象关于点（）对称，则。

3.（2024•河北邯郸•三模）写出一个双口>0）,使得函数/（%）=sin2s+m1,0

可以为一

高频考点十一：三角函数中口的求解（包的取值范围与三角函数的最值相结合）

典型例题

?7T571

例题1.（23-24高一下•重庆•阶段练习）已知函数/（x）=sins（0>O）在区间［-二,上是增函数，且在区

36

间［0,7t］上恰好取得一次最大值1,则。的取值范围是（）

小3、l3、13、l5、

Arr

-（叼弓曰C.D.

2兀

例题2.（23-24高二下•浙江杭州•期中）若函数y=2coss在区间0,—单调递减，且最小值为负值，则①

的值可以是（）

11

A.1B.-C.2D.-

23

例题3.(23-24高三下•广东•阶段练习)已知函数/(x)=cos(@x-0)的图象关于原点对称，其中0>0,

jrjr

(-兀,0),且在区间一§%上有且只有一个最大值和一个最小值，则。的取值范围为

练透核心考点

JTJT

1.(23-24高三上•广东深圳•期末)若函数〃x)=cos(8+z)3>。)在(0,二)有最小值，没有最大值，则。的

64

取值范围是()

-

(n41(4161(10161(1022

I3」(33J(33J133J

TTTT

2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(%)=2sins3>0)在区间-上的最小值为一2,则①的取值

范围是.

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃X)=2COS]S-3,其中。为常数，且oe(0,6),将函数/(x)的图

象向左平移看个单位所得的图象对应的函数g(x)在x=0取得极大值，则。的值为.

第四部分：新定义题

1.(23-24高一下•四川凉山•阶段练习)设。为坐标原点，定义非零向量丽'=,/)的"相伴函数"为

/(x)=6zsinx+/?cosA:(XGR),OM=(a,8)称为函数/(尤)=々5近％+/?85%的〃相伴向量〃.

(1)设函数g(x)=2sin]；-j-cos]+j,求函数g(x)的相伴向量.；

UUUL.—

(2)记OM=(0,2)的"相伴函数"为了(元)，若方程/(力=左+1-2向sinx|在区间彳«0,2可上有且仅有四个不同

的实数解，求实数左的取值范围.

第05讲三角函数的图象与性质

目录

第一部分：基础知识..................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过............................................5

高频考点一：三角函数的定义域.....................................5

高频考点二：三角函数的值域.......................................6

高频考点三：三角函数的周期性....................................7

高频考点四：三角函数的奇偶性....................................8

高频考点五：三角函数的对称性....................................9

高频考点六：三角函数的单调性（求三角函数的单调区间）............11

高频考点七：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性比较大小）.......12

高频考点八：三角函数的单调性（根据三角函数的单调性求参数）.....13

高频考点九：三角函数中。的求解（。的取值范围与单调性相结合）…..…54

高频考点十：三角函数中。的求解（。的取值范围与对称性相结合）..……14

高频考点十一:三角函数中。的求解（。的取值范围与三角函数的最值相结合）

................................................................................................................................15

第四部分：新定义题................................................16

第一部分：基础知识

1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中ZeZ）

函数y=sinxy=cosxy-tanx

4K

八

图象-VKi5r

2c12

jl

定义域RR{x\xk7i+—,kEZ}

值域[-1,1]RR

周期性2万