2025年高考数学总复习：函数的图象

第七节函数的图象

考试要求：1.会画一些函数的图象，理解图象的作用.

2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.

-------------必备知识落实“四基”--------

自查自测

知识点一利用描点法作函数的图象

画函数力，x<°'的图象.

解：画出此函数的图象，如图所示.

核心回扣

利用描点法作函数图象的步骤

N确定函数的定义域）

--（化简函数解析式）

T讨论函数的性质注调性、奇偶性、周期性、对称性））

［除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如:

看）—与坐标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、

［对称点等，

（W）~~［画出宜角坐标系，准确描出表中的点）

~（用光滑的曲线连接所描点）

自查自测

知识点二函数图象的变换

1.函数y=—e，的图象（）

A.与>=6*的图象关于y轴对称

B.与〉=己的图象关于坐标原点对称

C.与〉=「工的图象关于y轴对称

D.与〉=葭，的图象关于坐标原点对称

D解析：由点（x,y）关于原点的对称点是（一无，一y）,可知D正确.

2.将函数/（x）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y=log2X的

图象，则〃尤）=lot（x—1）—1.

核心回扣

（1）函数图象平移变换八字方针

①“左加右减”，要注意加减指的是自变量.

②“上加下减”，要注意加减指的是函数值.

(2)对称变换

①/1(X)与/(—x)的图象关于二轴对称.

②/1(X)与一/(X)的图象关于工轴对称.

(3)翻折变换

①|/(x)|的图象是将/(x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方,x轴上方的图象丕变.

②/1(|x|)的图象是将/(x)的图象中y轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧.

【常用结论】

(1)函数图象自身的对称轴

若函数y=/(元)的定义域为R,且有y(a+x)=/(b—%),则函数y=/(x)的图象关于直线尤=手

对称.

⑵函数图象自身的对称中心

函数＞=/(尤)的图象关于点(。，6)成中心对称=/(a+x)=2b—f(a—x)=/(尤)=26—f(2a—x).

(3)两个函数图象之间的对称关系

①函数y=/(a+x)与x)的图象关于直线％=一对称(由a+x=8—x得对称轴方程);

②函数y=/Q)与y=2b—/(2a—x)的图象关于点(°,6)对称.

应用1设函数y=/(x)的定义域为R,则函数y=/(龙一3)与y=/(l—x)的图象关于(D)

A.直线y=l对称B.直线x=l对称

C.直线y=2对称D.直线x=2对称

应用2将函数/(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线＞=d关于y轴对称，

则“X)的解析式为(D)

A./(x)=ex+1B./(x)=erI

C.y(x)=e-Jc+1D./(了)=晨k1

核心考点提升“四能”

考点一作函数的图象

作出下列函数的图象：

⑴尸(/

(2)y=|log2(x+l)|;

(3)y=x2—2|A:|—1.

解：(1)先作出y=(J的图象，保留图象中x20的部分，再作出y=@'的图象中x＞0部分

关于y轴的对称部分，即得的图象，如图1实线部分.

（2）将函数y=log2%的图象向左平移1个单位长度，再将了轴下方的部分沿x轴翻折上去，即

可得到函数y=|log2（x+l）l的图象，如图2.

£_—1X>0

'/'函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8）上的图象，再根据偶函

{x2+2x~1,x<0,

数的对称性作出（一8,0）上的图象，如图3.

1：/1+^X

A反思感悟

图象变换法作函数的图象

（1）熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、露函

数、形如y=%+：的函数.

⑵若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变

换作出，但要注意变换的顺序.

考点二

【例1】⑴（2024.临沂模拟）函数y=（2，-2r）sinx在区间［―e利上的图象大致为（）

B解析：因为了（工尸⑵一2F）sinx的定义域为R,/（—x）=Qr—2*）sin（―x）=（2*—sin尤

_71

=/（x）,故/（x）为偶函数，排除AC.当时，y=^~2~^>0,排除。.故选B.

（2）（2023•天津卷）函数/（尤）的图象如下图所示，则/（无）的解析式可能为（）

y

5(6T-e

A./(x)=

x2+2

5(ex+e-x)

C.”无)=

D解析：由题图可知函数/(x)的图象关于y轴对称，所以函数/(%)是偶函数.对于A,/(%)

5卜一e)5fe-x_eA5(e-e')

='a2,定义域为R,/(_兀)=’/+2=—f⑼所以函数/(%)='.+2,是奇函数,所

以排除A；对于B,/(无)=誓，定义域为R,/(—X)=5"n(：x)=—曰=一/(幻,所以函数

/(x)=答是奇函数，所以排除B;对于C,/(X)="：：」,定义域为R,7(一无)="、，+：)=

5(e*+ex)

/(%),所以函数/(无)=:+，/是偶函数,又X2+2>0,eA+e^>0,所以/(x)>0恒成立，不

符合题意，所以排除C;分析知，选项D符合题意.故选D.

►•反思感悟

辨识函数图象的技巧

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.

⑸从函数的特征点，排除不符合要求的图象.

多维训练

1.(2024.贵阳模拟)函数/(x)=J的图象大致为()

Y2—1

2所以/(x)=L/为偶函数，排除AB;又x趋

C解析：因为y=x—1与y=e园都是偶函数,eixi

向于+8时，/⑴趋向于0,尤趋向于一8时，/(X)趋向于0,排除D.故选C.

2.曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴

趣小组设计了如图所示的双，型曲线LOGO,以下4个函数中最能拟合该曲线的是()

A.y=x\n|x|B.y=x1\n\x\

C.y=(x+ln|x|D.y=(x—：)ln|x|

解析：为偶函数，排除设则；

Ay=fln|x|B;g(x)=(x+g)ln|x|,g()=—(e+!)<—1,

排除C;设/z(x)=(x—：)ln|x|,当x[0,1)时，x—：VO且ln|x|V0,则/i(x)>0,排除D.故

选A.

考点三函数图象的应用

考向1研究函数的性质

【例2】(多选题)对任意两个实数a,b,定义min{a,=a'^-b,若«V)=2—g(x)

Ib,a>b.

=f,下列关于函数R(x)=min{«x),g(x)}的说法正确的是()

A.函数网x)是偶函数

B.方程F(x)=0有3个解

C.函数尸(功在区间［—1,1］上单调递增

D.函数F(x)有4个单调区间

ABD解析：根据函数/'(为二？一%2与g(无)=f,画出函数网尤)=min{/(x),gO)}的图象，如

图所示.

由图可知，函数尸(x)的图象关于y轴对称，故尸(x)为偶函数，所以A项正确；函数5(x)的图

象与x轴有3个交点，所以方程P(x)=0有3个解，所以B项正确；函数网尤)在(一8,-

1］上单调递增，在［―1,0］上单调递减，在［0,1］上单调递增，在［1,+8)上单调递减，所

以C项错误，D项正确.

A反思感悟

利用函数图象研究其性质的分析技巧

(1)从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值.

(2)从图象的对称性分析函数的奇偶性.

(3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.

考向2解不等式一—

【例3】(2024・商丘模拟)已知定义在R上的奇函数”尤)在[0,+8)上的图象如图所示，则不

等式/(尤)>4(x)的解集为()

A.(-V2,0)U(V2,2)

B.(—8,-2)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(-V2,0)U(V2,2)

D.(-2,-V2)U(0,V2)U(2,+8)

C解析：根据奇函数的图象特征，作出/(x)在(一8,0)上的图象如图所示.

,1

72

P2\x

由(x)>4(x),得(x2—2»(x)>0,等价于卜2>。，或jx2<0,结合图象解得x<—2或

IZW>0l/(x)<o,

V5<x<2或一V5<x<0.故不等式的解集为(一8,—2)U(―V2,0)U(V2,2),

A反思感悟

利用函数的图象解不等式的基本思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位

置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合求解.

考向3求参数的取值范围

Q[nTTY八Y1

【例4】(2024•滨州模拟)已知函数/(无尸’、、，若实数如乩。互不相等，且了⑷

x>l.

=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是.

(2,2023)解析：函数/(x)=''"，的图象如图所示.不妨设a<b<c,由正

log.》，x>]

弦曲线的对称性，可知a+6=l,而lVc<2022,所以2<a+b+c<2023.

2022x

A反思感悟

求解函数图象应用问题的思维流程

画图］■｛作函数的图象

H

分析:

4准确分析函数图象的特征点，定性分析、定量分析j

《借助函数图象,把原问题转化为数量关系较明确的问题1

结论1《解决问题，并回归题目的要求，得出正确结论

多维训练.

1.(多选题)某同学在研究函数〃x)=T3(xGR)时，给出下面几个结论，其中正确的是()

1十|%|

A./(x)的图象关于点(一1,1)对称

B./(无)是单调函数

C.“X)的值域为(-1,1)

D.函数g(x)=/(尤)一x有且只有一个零点

BCD解析：作出y=/(x)的图象，如图所示.

1

对于A,/(x)的图象关于点(0,0)对称，不关于点(-1,1)对称，故A错误；对于B,7(尤)是

R上的增函数，故B正确；对于C,由图象知，/(尤)的值域为(一1,1),故C正确；对于D,

令g(x)=/(x)—x=0,得即三号=°，解得x=0,从而函数g(x)=/(x)—x

有且只有一个零点，故D正确.

2.函数/⑴是周期为4的偶函数，当无口0,2］时，/(尤)=%—1,则不等式犷(无)>0在(-1,

3)上的解集为()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(-1,0)U(l,3)D.(-1,0)U(0,1)

C解析：作出函数/(x)的图象如图所示.

由图知当尤6(—1,3)时，由对'(x)>0,得不等式的解集为(-1,0)U(l,3).

3.已知函数f(x)=13J龙,°'若/(x)-a=0有3个实数根，则实数a的取值范围为

一1—4x,x<0.

(0,1］解析：作出函数/(x)的图象如图所示.方程/(%)—〃=0的根的个数，即为函数y=/

(x)的图象与直线y=a的交点个数，由图知当0<aWl时，函数y=/(尤)的图象与直线y=a有

3个交点，即方程有3个实数根，故实数。的取值范围是(0,1].

课时质量评价(十二)

*考点巩固

1.函数/(尤)=炉一xe”的图象大致是()

B角星析：由/(2)=32—2e2=2(16—e2)>0,可聿E除A,D;由/(—2)=—32+2e-2=2(e-2—16)<0,

可排除C.故选B.

2.(2024・重庆联考)函数/(x)=?言cos6+x)的部分图象大致形状是()

c解析：因为/(%)=1^Jcos6+%)=*广由1的定义域为R,定义域关于原点对称，且

-XX

f(—x)=-_Q^--sm(―x)=1^-sinx=/(x),所以/(%)是偶函数，图象关于y轴对称，排除5,

。选项.当0vx〈兀时，--长。,sinx>0,所以/(x)=、~jsinx<0,故选项A错误，选项C

e^+le^+l

正确.故选c.

3.(2024・丰台模拟)将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单

位长度，得到函数g(x)的图象，贝Ug(无)=()

A.Iog2(2x+1)—1

B.log2（2x+l）+l

C.10g2X--1

D.Iog2尤

D解析：将函数y=log2（2尤+2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，

可得g（x）=log2[2（x—1）+2]-1=log2（2x）-l=log2x的图象.

4.（多选题）已知函数/（元）=一右，则函数具有下列性质（）

A.函数/（x）在定义域内是减函数

B.函数/（x）的值域为（一8,-l）u（-l,+8）

C.函数/（x）的图象关于直线x=-1对称

D.函数/⑴的图象关于点（-1,—1）对称

BD解析：因为/（x）=_I=_]+」-,所以该函数图象由y=L的图象向左平移

x+1x+ix+lX

1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，如图所示.

由图可知，函数/（X）在（一8,—1）和（一I,+8）上单调递减，所以选项A错误；函数/（无）

的值域为（-00,—1）U（—1,+°o）,所以选项B正确；函数/（x）的图象关于点（一1,—1）

对称，所以选项C错误，选项D正确.故选BD.

5.已知定义在R上的偶函数/（x）,在（-8,0]上单调递减，且/（3）=0,则不等式（尤+3）/（尤）＜0

的解集是（）

A.{x|无＜—3或x＞3}

B.{x|x＜—3或0＜x＜3}

C.{尤3＜尤＜3且xWO}

D.{x|无＜3且xW—3}

D解析：由题意，画出了（x）的示意图如图所示.

（x+3N（x）＜0等价于卜+3＜。，或卜+3＞0’结合图可得解集为{#＜3且无不一3}.故选D.

l/（x）＞0l/（x）＜0,

6.如图所示可能是下列哪个函数的图象（）

A.y=2x—x2—l

C.y=(x2-2x)exD.丁=高

C解析：函数的定义域为R,排除D;对于A,当尤=-1时，j=2-1-l-l=-|<0,排

除A;对于B,当sinx=O时，y=0,所以y=今普有无数个零点，排除B.故选C.

7.函数的图象与函数j=2|sin依|(一2WxW4)的图象所有交点的横坐标之和等于

()

A.8B.10

C.12D.14

C解析：函数^与y=2卜in的图象有公共对称轴x=l,分别作出这两个函数的图

象如图所示.

由图象可知，两个函数共有12个交点，且关于直线x=l对称，则所有交点的横坐标之和为

6X2=12.故选C.

8.在同一平面直角坐标系中，若函数y=2〃与y=|x——1的图象只有一个交点，则〃的

值为.

一；解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y=2〃与y=|x—Q|—1的大致图象，如图

所示.由题意，可知2〃=-1,则〃=一；.

(aa2b,

9.(2024•松原模拟)对q,记max{〃，8}=，9函数/(x)=max{|x+l|,\x-

a<b9

2|}(x£R)的最小值是.

；解析：函数加)=max{|x+l|,仅一2|}(x£R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为|.

*高考培优

10.(新定义)对实数a和b,定义运算“◎"：设函数2)©(x

(b,a-b>\,

—d),x£R.若函数y=/(x)—c的图象与x轴恰有3个公共点，则实数c的取值范围是()

A.(一2,—1]

B.(-oo,-2)U(-1,一：)

D.(-1,+8)

A解析：因为/(无)=(_?—2)©(x—x2),xGR,所以当/—2—(尤一f)Wl,即一IWXW：时,

/(x)=x2—2;当％2—2—(x—/)>1,即尤<一1或时，f(x)—x—j^,作出了(尤)的图象，如图

所示.

函数y—f(x)~c的图象与x轴恰有3个公共点，转化为函数y=/(x)与y—c恰有三个交点,

由图象可得一2<cW—1,则实数c的取值范围是(一2,—1].故选A.

2x2+4x+l,x<0,

11.已知函数/(X)=「、则丫=/(无)。611)的图象上关于坐标原点0对称的点

一,x«-•-0,

共有()

A.0对B.1对

C.2对D.3对

2x2+4x+l,x<0,

C解析：作出函数/(尤)=2的图象，如图所示,

x20,

则y=/(%)(x£R)的图象上关于坐标原点对称的点，即当x<0时，/(%)=2f+4x+l的图象关

于原点对称产生的新曲线与)=:的图象的交点.

2x2+4x+Lx<0,

由图象可知，函数，(x)=12的图象上关于坐标原点对称的点共有2对.故

一，x20,

1cx

选c.

12.如图，函数y=/(x)的图象是圆/+;/=2上的两段弧，则不等式/(尤)才(一x)—2x的解

集是.

{x|-1<^<0>或解析：由图象可知函数/(x)为奇函数，故/(x)>/(一x)—

++y=2,解得f=—1,

2x0于(x)—f(—x)>—2x<^2f(x)>—2x,即f(x)>一%.联立或

<y=