立体几何中的结构不良问题-高考数学题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展29立体几何中的结构不良问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

一、空间向量与立体几何的求解公式

(1)异面直线成角：设方分别是两异面直线/1,/2的方向向量，则与/2所成的角6满足：850=嬲；

⑵线面成角：设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为“，a与"的夹角为从

则直线I与平面«所成的角为0满足：sin。=|3川=韶.

(3)二面角：设"1,“2分别是二面角的两个半平面a,£的法向量，

则两面的成角。满足：cos6(=cos<rai,n2>=方向；

注意：二面角的平面角大小是向量"1与"2的夹角或是向量为与"2的夹角的补角，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：如右图所示，已知A3为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量，/

则点8到平面a的距离为：|的=噜回，即向量劭在法向量”的方向上的投影长./-

二'几种常见角的取值范围

__JT__TT

①异面直线成角e(0,N；②二面角q0,兀]；③线面角e[0,引；④向量夹角G[0,兀]

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量证明空间中的平行关系

⑴线线平行：设直线h和h的方向向量分别为V1和V2,则(〃/2(或/1与L重合)〃也.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为匕平面a的法向量为〃，则/〃a或/uae_L".

(3)面面平行:设平面a和夕的法向量分别为"1,u2,贝Ua〃伙=io〃"2.

六、用向量证明空间中的垂直关系

(1)线线垂直：设直线/1和/2的方向向量分别为灯和也，则/」/2令01"2=0.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为"，则

(3)面面垂直：设平面a和/的法向量分别为此和如贝Ija_LAuwi_L“2Uwr"2=0.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

二、题型精讲精练

[典例1]（2022•北京•统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-中，侧面BCC内为正方形,平面BCC国1

平面A2用A，AB=BC=2,M,N分别为4瓦，AC的中点.

4/彳

c

⑴求证：MN〃平面BCC4；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A3与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：AB1MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）取43的中点为K,连接"K,腿，可证平面MKN〃平面3CG耳，从而可证MN〃平面BCC4.

（2）选①②均可证明8月，平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角

的正弦值.

【详解】（1）取的中点为K,连接MK,NK,

由三棱柱ABC-AeG可得四边形ABB.A,为平行四边形，

而B]M=MA1,BK=K4,则MK〃区81，

而MK<z平面BCClBl,BB[u平面BCCiBl,故MKII平面BCCtBt,

而CN=NA,BK=KA,则隧//3C,同理可得M7/平面BCQ用，

而NK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面BCG4,而MNu平面MKN,故〃平面BCC4,

（2）因为侧面BCG片为正方形，故用，

而CBu平面BCG4，平面CBBg±平面ABB.Aj,

平面CBBlCln平面ABB^=BBt,故CB_L平面AB4A,

因为NK//BC,故A«_L平面，

因为Afiu平面AB4A，故NKLAB,

若选①，则ABLMN,而NKLAB,NK^\MN=N,

故AB工平面MAK,而必Tu平面MAK,故AB_LA/K,

所以片，而CB,BB],CBcAB=B,故B片，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故丽=（0,2,0）,前=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,

设平面的法向量为五=（x,y,z）,

加丽=0_f元+y=0.-/、

从而jv+2z_0，取z=—1,贝！]巩=(―2,2,—1),

n-BM=0

设直线A3与平面3NM所成的角为。，则

若选②，因为NK//BC,故雁，平面4即4，而平面MKN,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B[B=MK=2,MB—MN,故ABB、MHAMKN,

所以NBB[M=4MKN=90°,故4园1BBt,

而C2_LBB|,CBoAB^B,故台与，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,4（0,2,0）,N。,1,0）,M（0,1,2）,

故丽=（0,2,0）,丽=（1,1,0）,西=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为n=（x,%z）,

n-BN=0\x+y=0一/、

从而1+；z=0'取z=—1，贝U〃=(—2,2,—1),

n-BM=0

设直线A5与平面BNM所成的角为。，则

42

2^33

z

【题型训练-刷模拟】

一、解答题

1.（2023•北京海淀•校考三模）如图，在四棱锥尸-A6CD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为

JT

等腰直角三角形，且=点尸为棱PC上的点，平面AZ）尸与棱尸8交于点

⑴求证：EF//AD；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，求平面尸。与平面ADEE所成锐二面角的

大小.

条件①：AE=四;

条件②：平面R4D_L平面A3CD；

条件③：PB1FD.

【答案】（1）证明见解析

呜

【分析】（1）由底面ABCD是正方形得AD//BC,用线面平行的判定定理证得AD//平面PBC,再用线面平

行的性质定理证得EF〃AD；

⑵若选条件①②，由平面RM>_L平面A5CD得上4_LAB,PA±AD,由A5CD为正方形得AB_LAD,即可

建立空间直角坐标系，由点的坐标求出向量的坐标，从而求出平面ADEE和平面PCD的法向量，代入夹角

公式即可求出平面PCD与平面4>组所成锐二面角的大小；若选条件①③，易证得平面E4B,从而

证得AD_LBB,所以尸3_L平面ADFE,从而得到PBJLAE,又因为AE=0,则可说明为等腰直角

三角形，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解；若选条件②③，由平面

PA£>_L平面ABCD,可证PA_L平面ABCD,所以R4J.AB,X4_L4),又由PB_L平面的>EE,可证尸3_L,

结合尸A=可得点E为9的中点，则可得AE=应，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与

①②相同的过程求解.

【详解】(1)证明：因为底面A5CD是正方形，所以AD//BC,

BCu平面PBC,平面P3C,所以AD//平面P3C,

又因为平面AD尸与尸3交于点E,ADu平面4乃E,平面尸3Cc平面4〃花=E£

所以E产//AO.

(2)选条件①②，则AE=0,平面尸AD,平面ABCD.

JT

因为侧面尸AD为等腰直角三角形，且=即PA=AD=2,PA±AD,

因为平面RID_L平面ABC。，平面上4Dc平面ABCr>=AD,PAu平面PAD,

所以PA_L平面45cD,

又因为A5u平面ABC。，A£>u平面ABC。，所以R4J_AB,PA^AD,

又由ABCD为正方形得AB_LXD.

以点A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x轴，,轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系A-邙，

则A(0,0,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),8(2,0,0),£>(0,2,0),

因为AE=行，所以点E为尸3的中点，则E(l,0,D,

,,____.____•____.UUU

从而PC=(2,2,-2),AZ>=(0,2,0),A£=(l,0,l),PD=(0,2-2),

为•AE=x+z=(

设平面ADRE的法向量为3=(羽y,z),贝"一一

n-AD=2y=0,

令1=1,可得日=(1,0,-1),

一m-PD=2b-2c=0,

设平面PCD的法向量为m=（a也c）,贝!!_

m-PC=2a+2b-2c=Q,

令6=1,可得而=(0,1,1),

..-----.\n-m\1

所CC以K|cos<n,m>\=一一=—,

|n||m|2

则两平面所成的锐二面角为

选条件①③，则=PB1FD.

TT

侧面PAD为等腰直角三角形，且NPAD=5，即上4=">=2,PAYAD,

因为AD1AB,PA[}AB=A,且两直线在平面P4B内，可得A£)_L平面

因为PBu平面则ADJLPB.

又因为P3_LFD,ADC\FD=D,且两直线在平面ADFE内，

则尸3_L平面4万E,

因为AEu平面ADFE,则尸3_LAE,

因为上4=所以ABIB为等腰三角形，所以点E为尸8的中点.

又因为4£=亚，所以AEAB为等腰直角三角形，

则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与①②相同的过程求解.

选条件②③，则平面PAD,平面A3CD,PB1FD.

因为侧面尸AD为等腰直角三角形，且NPAD=],

即F4=AD=2,PA±AD,

因为平面R4D_L平面ABCD,平面F4Dc平面ABCD=AD,上4u平面MD,

所以上4_L平面A5CD,

又因为ABu平面A3CD,ADu平面A8CD,所以E4_LAB,PA±AD,

又由ABC。为正方形得AB_LAD.

因为P3_LFD,AD^FD^D,且两直线在平面皿芯内，则PBJ_平面ADFE,

因为AEu平面ADFE,则尸3_LA£,

因为尸A=AB,所以AR钻为等腰三角形，所以点E为PB的中点，则AE=0.

则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同.

2.(2023・全国•高三专题练习)如图，在长方体4BCD-A4CQ中，AB=AD=^AAl=1,£为。R的中点.

⑴证明：平面平面EACi；

（2）若点p在AEAC内，且D尸〃BE,从下面三个结论中选一个求解.

①求直线所与平面EAG所成角的正弦值；

②求平面E4B与平面K4B所成角的余弦值；

③求二面角AB-F-4G的余弦值.

注：若选择多个结论分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴证明见解析

⑵答案见解析

【分析】（1）故以4为坐标原点，A由，AA，AA所在直线分别为X轴，y轴，z轴的正方向建立如图所

示的空间直角坐标系A-孙z,分别求出平面EA8,平面即G的法向量晨后，由雇成=0,即可证明；

（2）选①，分别求出直线所的方向向量与平面E4G的法向量，由线面角的向量公式求解即可；选②、③,

分别求出两个平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】（1）因为-AAGA是长方体，所以AA,A4，AA两两垂直，

故以A为坐标原点，A瓦，AA，44所在直线分别为X轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角

坐标系孙z.

因为ABnADugAAnl,所以4（0,0,2）,30,0,2）,£（0,1,1）,A（。，。，。），G。/，。）.

则通=(1,0,0),AE=(0,l,-l),AG=(1,1,0),乖=(0,1,1).

,一/、%,AB=0,x,=0,

设平面EAB的法向量为4=($%,zj,贝!通_0即jy」=0

令％=1,贝!1玉=。，Z[=l,得]=(0,1,1)；

一/、-AC=0,+y=0,

设平面EAG的法向量为%=(%,%，Z2)，贝"水'_0即1；+；0=o

令%=1,则%=T，z2=1>得E=(l,-U).

因为卜os&,初=］^告=0,所以疝，故平面EAB_L平面NG.

(2)取2用的中点H,由长方体的性质易得即/〃E，，BH=EDt,连接用力

所以四边形8HpE为平行四边形，BE〃曲,

因为砺=。,-1,1)=或，所以平面3C,

所以HR，平面EAG，即2尸，平面E4G.

由AEAG是等边三角形，易得三棱锥2-AGE为正三棱锥，

所以点F为等边曲G的中心，故dm，丽韦,4算

DO)

选择结论①:

由(1)得平面E4C的一个法向量为瓦

设直线BF与平面EAG所成角为。,

所以BF与平面3G所成角的正弦值为斗.

选择结论②：

由⑴得平面EAB的一个法向量1=(0」］)，又西=1卜33］，=

fn-FA=0,a+2b-5c=0,

设平面FAB的法向量为根=(a,b,c),贝卜_即

m•FB=0,2a-2b+5c=0,

令a=0,得b=5,c=2,则根=（0,5,2）.

I/____\|々•根7.V58

设平面FAB与平面EAB所成角为，，贝!!cos6>=cos供，机)==^

1'1闯相58

选择结论③:

因为点F在AEAC内，DtF//BE,所以下为直线HR与平面AEAC的交点,

所以平面E4G的一个法向量为&=(1,T,1).

又丽=

—/、m-FA=0,ftz+2Z?-5c=0,一,、

设平面FAB的法向量为机=（a,b,c）,则｛—,即｛令a=0,得b=5,c=2,则机=（0,5,2）.

m-FB=0,Yla—Zb+JC=U,

设二面角AB-尸-AG为e,

观察图形可得二面角止IG为钝二面角，所以二面角止iG的余弦值为一等

3.(2023・北京•统考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，A4,，平面ABC,AB=AC=AAl=l,M

为线段4G上一点，平面3cM交棱A用于点。

⑴求证：FM//BC-,

jr

（2）若直线A片与平面3cM所成角为:，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为己知，求点A到平

面BCM的距离.

条件①：AB1AC；

条件②：BC=s/2.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

（2）-.

3

【分析】（1）由线面平行的性质定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法计算点到平面的距离即可.

【详解】（1）证明：由题意可知，

因为三棱柱ABC-A2]C[>_L平面ABC

所以侧面为矩形

BC//B.Q

QB[C[u面U平面

平面A4G

又,平面BCMPl平面A与C[=FM

且3Cu平面3cMp

:.BC//FM

（2）解：若选择条件①，

；例_L平面ABC,ACu平面ABC,ABu平面ABC,

A^IAC,A^IAB,

X-.-AB1AC

AB,AC,A4,两两垂直；

若选择条件②，

"_L平面ABC,ACu平面ABC,ABu平面ABC,

AAj1AC,AAiIAB,

y,-.-AB=AC=l,BC=42,

BC2=AB2+AC2,

...ZBAC=9(y

:.AB±AC

AB,AC,A4］两两垂直;

以下条件①和条件②的计算过程相同,

因为AB,AC,M两两垂直，所以如图建立空间直角坐直角坐标系A-xyz.

可得A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,1,O),A(0,0,1),B](1,0,1),^(0,1,1).

x

贝!|阮=(-1,1,0),科=(1,0,1),\B=(l,0,-l).

设加=X宿(0WXW1),

贝!|两=可+W=明*+九石

=(-l,O,l)+A(O,l,O)=(-l,A,D.

设5=(%,y,z)为平面BCM的法向量，

n-BC=0,f-x+y=O

则<______即〈

[n-BM=0,[-x+Ay+z=0

令1=1,贝！|y=l,z=l—X,可得为=(1,1,1一刃.

itI—>।|,司|2—Al&

1

则sin-=cosA环司二,=「一=—

4।।画悯TX〃12_2।4+32

所以点A到平面BCM的距离为;.

4.（2023•北京海淀•校考三模）在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，AC^BD^O,^.PO1

平面ABC。，PO=2,尸,G分别是的中点，E是以上一点，且AP=3AE.

p

(1)求证：30〃平面跖G；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面跖G所成角的正弦值.

条件①：BD=20

条件②：ZDAB=^-.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

【答案】⑴证明见解析；

3

⑵手

【分析】(1)通过证明即//Gb即可证明结论；

(2)以O为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量PA坐标与平面EFG法向

量坐标，即可得答案.

【详解】(1)因G,F分别为即,尸3中点，则G尸为△口»中位线，则G尸〃。瓦

又3DZ平面GEF,GPu平面GEF,则8。//平面EBG.

(2)如图以O为原点建立空间直角坐标系.

若选①，因BD=2指，底面ABCD是边长为2的菱形，则。4=1,OD=02=有，

若选②，因皿加与，底面ABCD是边长为2的菱形，则04=1,OD=OB=C，

贝！］4(1,0,0),8仪,百,0),£)仪,一百,0),「(0,0,2),G0,-,1,F0,^,1,

所以砺=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),方=(1,0,0).

又AP=3AE,则A£=得OE=OA+-AP=L，.

(33)1323323

一,2,陋J「

n-Er=——xH-----y+—z=0

323

设平面EFG法向量为"=(x,y,z),则-2币1n

323

得元=(1,0,2),又丽=(1。-2),设直线Bl与平面EFG所成角为4

5.（2023•全国•高三专题练习）如图在几何体ABCDFE中，底面ABCD为菱形,

ZABC=60°,AE//DF,AE1AD,AB=AE=2DF=2.

(1)判断AD是否平行于平面CEF,并证明；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，求:

(i)平面ABC。与平面CEF所成角的大小；

(ii)求点A到平面CEF的距离.

条件①：面E4B_L面ABC。

条件②：BDLCE

条件③：EF=CF

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)4。与平面CEF不平行，证明见解析

⑵⑴不(ii)V2

【分析】(1)利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论；

(2)选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平

面距离.

【详解】(1)AD不平行于平面C£F,理由如下：

取AE中点G,

因为AE〃/)尸,AE=2£>尸，所以AG〃。.AG=OR

则四边形AGFD为平行四边形，所以AD//GR,又GFcEF=F,所以AD不平行于E尸，

假设AD//平面CEF,因为平面CEbc平面AZ)FE=EF,A£>u平面AZJFE

所以AD〃族，与AD不平行于E尸矛盾，所以假设不成立，即AO不平行于平面CEF；

(2)选择条件①：

取8中点连接AM

因为菱形A5CD,ZABC=60。，所以AACD为正三角形，又加为8中点，所以AMLCD,

由于AB//C。，所以AAf_LM,

又因为面面ABC。，面EABc面ABCD=AB,AMu面A3CD

所以AA/1面E4B,因为AEu面所以AAf_LAE

又因为AE_LAE>,40门71£)=4,40,4。<=面43。9,所以A£_1_面43。。，

而面ABC。，所以AEJ_AB,AEYAM

所以如图，以A为原点，AB,，,的所在直线为％MZ轴建立空间直角坐标系，

八z

X

则4(0,0,0),3(2,0,0),<7(1,也,0),0卜1,6,0),石(0,0,2),尸卜1,也,1)

(i)因为面ABC。，所以荏=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量

设平面CEF的法向量为分=(x,y,z),因为屈=卜1,一百,2),CF=(-2,0,1)

n-CE=-x-43y+2z=0y=A/3X

所以__=><,令％=1

h-CF=—2x+z=0z=2x

设平面ABC。与平面CEF所成角为。,

I一.I\n-AE\4J2jt

Mfffy,cos0=1cos<n,AE>1=--i——T=—产——=——，贝!]0=一

\H\-\AE\272X22，川4

即平面A8CO与平面CEF所成角大小为:；

4

(ii)因为*=(l,®o),由(i)知平面的一个法向量为3=(1,6,2)

,IAC-H.1ll+3+Olr-

所以点A到平面CEF的距离为=匕莘U=72.

\n\2V2

选择条件②：连接8。，取8中点M,连接AM

因为菱形ABaXNABC=60。，所以AACD为正三角形，又A/为8中点，所以A似_LCD,由于A5〃CD,

所以

在菱形A5CD中，有ACJ^BD,

又因为3O_LCE,ACr\CE=E,AC,CEACE,所以3/)7,平面ACE,

因为AEu平面ACE,所以

又因为AE_LAD,B£>cAD=£>,8r>,ADu面ABC。，所以AE_L面ABCD,

而AB,AMu面ABC。，所以AE_LAB,AELAM

所以如图，以A为原点，AB,AM,AE所在直线为MX2轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),3(2,0,0),<7(1,也,0),0卜1,6,0),石(0,0,2),尸卜1,也,1)

(i)因为面ABC。，所以荏=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量

设平面CEF的法向量为分=(x,y,z),因为屈=卜1,一百,2),CF=(-2,0,1)

n-CE=-x-43y+2z=0y=A/3X

所以__=><,令％=1

h-CF=—2x+z=0z=2x

设平面ABC。与平面CEF所成角为。,

I一.I\n-AE\4J2jt

Mfffy,cos0=1cos<n,AE>1=--i——T=—产——=——，贝!]0=一

\H\-\AE\272X22，川4

即平面A8CO与平面CEF所成角大小为:；

4

(ii)因为衣=(1,近0),由(i)知平面的一个法向量为3=(1,6,2)

,IAC-H.1ll+3+Olr-

所以点A到平面CEF的距离为=匕莘U=72.

\n\2V2

条件③:

取8中点M,连接AM

因为菱形ABCD,ZABC=60。，所以AACD为正三角形，又M为8中点，所以AMLCD,由于AB〃CD,

所以A〃_LAB,

因为AE_LAO,由(1)可得EG_LG产，所以EF={EG?+GF。=五S=4

所以EF=CF=>B=dDF2+C[f，即LCD

因为A£7/。尸，所以AE_LCD

又因为AE_LA£),8门40=£>,8,4£><=面43。£),所以AE_L面ABC。,

而AB,AWu面ABC。，所以AE_LAB,AE±AM

所以如图，以A为原点，的所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

则4（0,0,0）,8（2,0,0）,。（1,后0）,£>11,百,0）,以0,0,2"（目,有,1）

(i)因为面ABC。，所以亚=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量

设平面CEF的法向量为元=(x,y,z),因为砺=卜1,一班,2),次=(一2,0,1)

nCE=-x-百y+2z=0;二fl令.1,心（1,62）

所以__=><

n-CF=-2x+z=0

设平面ABGD与平面CEF所成角为09

所以cos6=\cos<n,AE>1=,_j,=t=<，贝!J。:

11\n\-\AE\2V2X224

71

即平面ABCD与平面CE尸所成角大小为了；

4

(ii)因为衣=(1,6,0),由(i)知平面的一个法向量为日=(1,"2)

AC-nli+3+olr-

所以点A到平面CEF的距离为=11=V2.

\h\272

6.(2023•北京•校考模拟预测)如图，在四棱锥尸-ABCD中，ABJ.BC,AD//BC,底面ABC。，M

为棱尸C上的点，PB=AB=BC=2,AD=l.

⑴若DM//平面上4B,求证：点M为尸C的中点;

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面C3D与平面BAM夹角的余弦值.

条件①：B1//平面

条件②：直线与5D夹角的余弦值为g

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴证明见解析

⑵g

6

【分析】(1)利用线面平行的性质证明线线平行，即可得结论；

(2)以3为坐标原点，建立空间直角坐标系，选择条件①，利用PA//平面由)确定M的坐标，进而

利用向量法可求平面CBD与平面BOW夹角的余弦值；选择条件②，利用直线与8。夹角的余弦值为!,

确定M的坐标，进而利用向量法可求平面CBD与平面BDM夹角的余弦值.

【详解】(1)证明：过M作ME//3C交融于E,连接AE,如图所示：

M

AD

­.•AD//BC,:.ME//AD,：,ME，AD确定平面ADME,

•.・DM〃平面丛B,MDu平面ADME,

平面ADMEfl平面PAB=AE,

:.MD//AE,

二四边形ADME1为平行四边形，则=

.1EM为APBC的中位线，，点M为PC的中点；

(2)选择条件①：序//平面3OW

•.•尸台,底面钻。。，ABJ.BC,

・••以8为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则8(0,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,O),。(2,1,0),

设M(x,y,z),且两=2定，26[0.1],:.PM=(x,y,z-2),

PC=(0,2,-2),(x,V,z-2)=A(0,2,-2),

x=0,y=22,z—2=—22,

.1M(0,24,2-24),

BM=(0,2A,2—22),BD=(2,1,0))

设平面RDM的一个法向量为拓=(工,，，z),

n-BM=2/ly+(2-2/l)z=022

则—.，令x=1,则y=-2,z=------,

n•BD=2x+y=01-2

92

平面BDM的一个法向量为为=(1,-2,——),

1-Z

•・•丽=(2,0,-2),若P4//平面瓦加，则加丽=0,

221

•，-2-2x---=0,解得2=彳，.,.为=(1,—2,1),

1—/I3

・「成，平面C3D,•,.丽=(0,0,2)是平面。3。的一个法向量,

,~BPn0+0+2V6

则cos〈而，…丽二云石=不,

二平面CBD与平面BDM夹角的余弦值为逅.

6

选择条件②：直线BM与BD夹角的余弦值为!

底面ABC。，AB1BC,

・••以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

z.

A

则8(0,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,O),D(2,l,0),

设M(x,y,z),且两=2定，2e[0.1],PM=(x,y,z-2),

PC=(0,2,-2),A(x,y,z-2)=A(0,2,-2),

.".x=0fy—24,z—2=—22,

■.M(0,2A,2-2A),

BM=(0,2A,2—22),BD=(2,1,0))

直线BM与BD夹角的余弦值为!

两•幽|0+22+0|

IcosBM,BD|=।।_,-----------------=|,整理得3几2+2彳一1=0,解得彳=；或为=一1（舍）,

1

।怛叫•瓯V8A2-82+4X^

.•・丽=。,7

设平面BOM的一个法向量为为=a,y,z）,

—.24

n-BM=-y+-z=Q

则33,令x=l,则y=-2,z=l,

n-BD=2x+j=0

平面BDM的一个法向量为为=（1,-2J）,

•••族，平面CAD,.・•丽=（0,0,2）是平面C3D的一个法向量,

BPn0+0+2>/6

则cos<BP，为>=

6，

二•平面CBD与平面BDM夹角的余弦值为逅.

6

7.（2023•全国•高三专题练习）如图，四边形A3CO是边长为2的菱形，ZABC=60。，四边形丛。。为矩

形，上4=1,从下列三个条件中任选一个作为己知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一

个解答计分）.

①BRDP与平面ABC。所成角相等；②三棱锥尸-ABD体积为如；③COSNBPA=B

35

(1)平面PACQ，平面ABCD；

(2)求二面角B-PQ-D的大小；

(3)求点C到平面8尸。的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵至

3

(3)正

2

【分析】(1)若选①，则作己4'，面458,证明A和A重合从而得到外，面468,从而得到面面垂直；

若选②，计算得到尸到面4h的距离/z=l=B4,得到上4,面ABCD,从而得到面面垂直；若选③，通过余

弦定理计算得到再通过面ABCD,从而得到面面垂直；

(2)通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角计算公式计算即可；

(3)通过点面距离的计算公式直接计算即可.

【详解】(1)选①，连接8。，作PAU面ABCD,垂足为A.

BP,DP与平面A3CD所成角相等，

:.AB=AD,

..A在班)的中垂线AC上，

在平面PACQ内，PA'±AC,PA±AC,

.1A和A重合，

，E1_L面A5CD,

又P4u面PA。。，

二面PACQL面ABC。

若选②，设P到面4犯的距离为K

'VP-ABD=gAABD，h=(x超.h=个，得拉=1=PA,

二PA即为尸到面ABD的距离，即PA_L面ABCD,

又以u面PACQ,

二面PACQ，面ABCD.

若选③，由余弦定理得，cos/BPA=PB+PA--AB-=旦,

2PBPA5

BP=y/5,:.BP2=AP2+AB2

:.PA±AB,又PA_LAC,ACcAB=A,AC,ABu面ABCD

:.PA±^ABCD,

又PAu面PACQ

..面PAC。，面ABC。

(2)因为PA_L面ABCD,O3,OCu面ABC。，

所以上4_LO8,PA_LOC,

取PQ中点G,则OG//R4,

所以OG，OB,OG，OC,又因为OBLOC,

所以建立如下图所示空间直角坐标系，

B(V3,0,0),P(0,-l,l),D(-V3,0,0),C(0,l,l),

Bg=(-A/3,1,1),Dg=(V3,1,1),DP=(A/3,-1,1),

设平面3尸。的一个法向量为正=(x,y,z),

-y/3x-y+z=0

一指x+y+z=0

令x=6,则y=0,z=3,.,.加=(班,0,3),

设平面。尸。的一个法向量为3=(%,%,zj,

n-DP—0yfix,—y,+z,=0

则_，即厂।,

n•DQ=0[+/+4=0

令％=6,则必=0,4=_3,/.〃=(®0,—3),

cos(m,n

|m|-|n|2V5x2百2

由图可知二面角B-PQ-D是钝角，

2兀

所以二面角5-尸。-。的大小为手.

（3）•••C（0,1,0）00,1,1）,

①=（。,。,1）,・平面BPQ的一个法向量为味=（也,0,3）,

C2-m

•••点C到平面BPQ的距离d=

2百一2

8.（2023・全国•高三专题练习）如图在三棱柱ABC-A4G中，。为AC的中点，AB=BC=2,

ZAAiBl=ZBtBC.

（1）证明：BBX±AC.

⑵若BBJBC,且满足：,（待遇条件）.

从下面给出的①②③中选择可个填入待段条曾，求二面角B-B.D-C,的正弦值.

①三棱柱ABC-A与G的体积为3招;

②直线AB,与平面BCQBi所成的角的正弦值为叵；

13

③二面角的大小为60。；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

（2）答案见解析

【分析】（1）通过证明AC，平面8。用来证得AC，8耳.

（2）先选择条件，然后根据所选条件，利用几何法或向量法求得二面角8-耳。-G的正弦值.

【详解】（1）在三棱柱ABC-4旦G中，由题意可得用=8出，ZAA.B^ZB^C,A,B,=BC,

A

：.△A4）4也△4BCnAB,=CBt,XVAD=DC,：.BQAC,

同时在”WC中，•:AB=BC,AD=DC,：.BDLAC,

•：BpcBD=D,B】D,BDu平面BDB1,

二AC,平面均叫，

又•/BB}u平面BEB],AC1BB}.

（2）•/BB{±AC,BBI±BCS.ACC\BC=C,二，平面ABC,

方案一：选择①③

•.*BB{1平面ABC,：.BBt±AB,BBi1BC,

/ABC为二面角A-BBt-C的平面角，即/ABC=60。nAC=2nAO=6，

o

•••5AABC=1x2x2xsin60=^,又二•三棱柱4BC-A4c的体积为3^，：.BB,=3.

法一：取4G的中点为E,连接Eq,ED,过E作于点b，连接C7,

•/AC，平面BDB“；.EC,1平面BDEBi,

又•：EFLBR,由三垂线定理可得GF，瓦。，

二NEFQ为二面角E-B,D-£的平面角，

其中£E=1,EF=：,C、F=号,贝！Jsin/Epq

由于二面角B-B.D-C,的平面角与二面角E-B.D-C,的平面角互补，

故二面角5-耳。-G的正弦值为马叵.

13

法二：过B作过C1作G尸，玛。，过尸作/G〃3E交24于点G,连接C£,

.•.NC/G为二面角8-瓦。一G的平面角，其中£F=半，FG=|BE=|x|=|,CXG=45,

...cosNQFG=-土叵，故二面角B-BXD-CX的正弦值为独1.

1313

法三：如图所示，建立空间直角坐标系，

_(3出、

设平面B。片的一个法向量为%=(x,y,z),且函=(3,0,0),丽=|。,-5，1

3x=0

in•BBX=0

则n<373,令y=l,则％=。,z=指,故加=倒,1,6),

m•BD=0「”丁二

设平面小的一个法向量为3=(3z)，且帚=(020),印=-3；

2y=0

nCxBx=0_

则016c，

元.印二0—3x+—yd-----z=0

22

令％=-1,则y=0,z=-2百，故〃=(-1,0,-20)，

/-----\m-n3\/13以后

cos伊，n/=扁扁"一下一，故二面角'一片0—G的正弦值为义”.

方案二：选择①②；

解析：过点A作AO13C于点O'.•平面ABC1平面BCC4，AO1BC,

：.AO1平面BCC国,故直线ABX与平面BCCtBt所成角为ZABQ,且sinZAB.O=叵,

匕BC-ABC=孙=3-

Y=A/3

设AO=x,BBl=y,贝小,即AO=VLBB、=3.

余下解法参考方案一.

方案三：选择②③；

,/BB,1平面ABC,:.BBt±AB,BB,1BC,

：./A5c为二面角A-BBX-C的平面角，即NABC=60。=>AC=2nAO=6,

过点A作A01BC于点。，

•.•平