与函数的对称性相关的零点问题-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题05与函数的对称性相关的零点问题

【方法点拨】

1.若单调奇函数式x)满足犬々)+犬3=0,贝寸。+6=0.一般的，若单调函数/U)关于点("Z,n)

对称，且满足入1)+大力=2”,则a+b=2m.

2.对于具有对称性的函数零点问题，要注意检验充分性，以防增解.

3.对称性的三个常用结论：

(1)若函数应x)满足式a+x)=/(b—x),则y=/U)的图象关于直线工=对称.

(2)若函数y(x)满足犬a+x)=-/(b—x),则y=/(x)的图象关于点，宇，0)对称.

(3)若函数於)满足加+%)+加—x)=c,则函数於)的图象关于点专)对称.

【典型题示例】

例1若函数y(x)=a(x-l)3+—也+尤—1存在eN*)个零点，则所有这些零点的

X-1

和等于.

【答案】2

A

【解析】设g(x)=f(x+l)=ax3+—+A：,

则g(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称

所以/(无)的图象关于点(1,0)对称，故其与X轴的交点也关于点(1,0)对称

所以“X)的所有零点的和等于2.

例2设函数/(x)=(x-3)3+x-1,数列｛%｝是公差不为0的等差数列，

/(o1)+/(a2)4--F/(4Z7)=14,则q+%+7n()

A.0B.7C.14D.21

【答案】D

【分析】根据函数值之和/(。1)+/(。2)+—+/(%)=14求自变量之和生+〃2+—+%，很自

然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数

/(%)=(X—3)3+X—1的对称中心.

函数/(x)=(x—3)3+x—1可以视为由y=(x—3)3与y=x—1构成，它们的对称中心

不一样，可以考虑对函数的图象进行平移，比如/(x)—2=(x—3p+(x—3),引入函数

F(x)=/(x+3)-2=?+x,则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识

不难得出/(x)=(x-3)3+x-l的图象关于点(3,2)中心对称.

【解析】•••{%}是公差不为0的等差数列，且/(2+/(%)+…+/(%)=14

[(67)—3)3+。]—1]+[(%—3)3+%—1]+…+[(%—3-+%—1]=14

・・(4]+〃2+•,,)—7=14

%=21

例3函数"x)=/T-/+1+公缶区@£尺，e是自然对数的底数，〃>0)存在唯一的零点，

则实数。的取值范围为()

A.(0,-]B.(0,-)C.(0,2]D.(0,2)

7171

【答案】A

【分析】分离函数，零点问题转化为两函数图象有唯一交点问题，再使用函数的对称性解决.

【解析】函数/(x)=ei-eTM+asinG(xeR,e是自然对数的底数，。>0)存在唯一的零

点等价于：函数°(x)=asin；TX与函数g(x)=e-e""只有唯一一个交点，

,;(p(1)=0,g(1)=0,

函数/x)=asin万x与函数g(x)=**-ex~l唯一交点为(1,0),

又=且人*>0,exl>0,

：.g'(x)=在R上恒小于零，即g(x)=e--在R上为单调递减函数，

又•.,9(x)=asin%x(a>0)是最小正周期为2,最大值为a的正弦函数,

/.可得函数(p(x)=asm7rx与函数g(x)=-的大致图象如下图：

.••要使函数9(%)=asin»x与函数g(x)=3一、-e"”只有唯---个交点，则夕，(1)..gf(1),

2

*.,(p1(1)-71ClCOS7t——7ta，g'(1)=—/i—/i=-2,—Tea...—2,解得a,—，

兀

又「a〉。，.•.实数。的范围为(0,-].故选：A.

71

例4已知函数/'(x)=x2—2x+a(e*T+eT")有唯一零点，则a=()

11

A.--B.一D.1

23

【答案】C

【分析】如果利用导数研究/(X)的零点，就会小题大做，容易陷入困难.由函数与方程

思想，函数的零点满足2x—%2=。卜1

设g(x)=e，T+"X+I="T+「(T,显然g(x)是由函数y=靖+1向右平移一个

单位而得到，易知y="+er是偶函数且在［0,+oo)上是增函数.故g(x)关于直线

%=1对称，且在［1,+8)上是增函数，在(—8,1］上是减函数，g(x)m,n=g(l)=2.

设/z(x)=2x—显然/z(x)=2x—V关于直线4=1对称，顶点为(1』).

若。＜0,则函数y=a-g(x)关于直线x=l对称，且在［1,+8)上是减函数，在

(—8,1］上是增函数，最大值为2a,2a＜力(42

若y=a-g(x)的图象与//(%)的图象有一个公共点A,根据对称性必有另一个公共

点B.所以，a＜0不合题意;

若。>0,函数y=a-g(x)关于直线x=l对称，且在［1,+8)上是增函数，在

(—8,1］上是减函数，最小值为2a.若y=a.g(%)的图象与h(x)的图象只有一个

公共点，必有2a=1,得a=L

2

2x+12xx

【解析一】/(x)=(x-l)+a(e*T+e-)-l,^g(x)=f(x+l)+l=x+a(e+e-)

则易知g(x)是偶函数，所以/Xx)图象关于直线x=l对称，欲使/'(X)有唯一零点，

必有了(1)=0,即2a—1=0,所以。=；.

【解析二】xz—2x——a(ex^l+e^x+1'),

12<x-1)-1

xlx+1x1x+1x1-e

设g(x)=e~+e~,g'(x)=e~-e~=e~^FT=一—一，

当g%x)=0时，x=l,

当x<l时，gr(x)<0,函数g(x)单调递减；

当x>l时，g，(x)>0,函数g(x)单调递增，当x=l时，函数g(x)取得最小值g(l)=2,

设人(无)=/一2了，当x=l时，函数取得最小值一1,

作出一ag(x)与/z(x)的大致图象如图所示.

若一a>0,结合选项A,a=—f时，函数/z(x)和一ag(x)的图象没有交点，排除选项A；

当一。<0时，一ag(l)=/i(l)时，此时函数//(尤)和一ag(x)的图象有一个交点，即一ax2=-10。

=1,故选C.

例5已知关于X的方程X2+2。1082(工2+2)+。2—3=0有唯一解，则实数a的值为

【答案】1

【分析】利用隐藏的对称性，易得八0)=0,求得a=l或“=—3,再利用数形结合，将增解

舍弃.

【解析】通过对函数八尤）=%2+2alog2（x2+2）+a2-3的研究，可发现它是一个偶函数，那么

它的图象就关于y轴对称，若有唯一解，则该解必为0.

将尤=0代入原方程中，可求得a=l或°=-3.这就意味着，当a=l或0=一3时，

原方程必有一解0,但是否是唯一解，还需进一步验证.

当。=1时，原方程为f+ZlogzCd+Z）—2=0,即210g2（x2+2）=2—x2,该方程实数

根的研究可能过函数y=21og2/和函数y=4—f的交点情况来进行，不难发现，此时是符

合题意的；而当。=—3时，原方程为x2—61og2（x2+2）+6=0,即通

过研究函数y=4+t和y=61og2f可以发现，此时原方程不止一解，不合题意，需舍去.

点评：

/（0）=0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.

【巩固训练】

1.已知函数八x）是偶函数，且当尤>0时，危）=hu-狈，若函数人元）恰有5个零点，则实数。的

取值范围是.

2.若函数/0）=%2+2。国+4。2-3的零点有且只有一个，则实数”.

3.若函数兀0=/一7〃cos尤+源+3小-8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合

为.

4.已知函数/（尤）=/-2犬+0（/+"*,aeR,则函数/（x）零点的个数所有可能值构成

的集合为.

5.函数y=——的图象与函数y=2sin〃x（-2<x<4）的图像所有交点的横坐标之和等于

x-1

()

A.2B.4C.6D.8

6.己知函数/（x）（xeR）满足/（一》）=2—/（x）,若函数y=±±!与>=/（x）图象的交点

X

为（西,必）,（々,8）「••,（4,〃），则Za+»）=（）

/=!

A.0B.mC.2mD.4m

7.已知实数X、y满足（x++i）（y+77+1）=1,则Y--4y2—6x—6y+2020

的值是.

2x+4

8.圆V+J+G%一4y=。与曲线y二----相交于A&C,。点四点，0为坐标原点，则

%+3

^OA+OB+OC+OD^=.

9.已知函数/（x）=2，+2r,函数g（x）=2-2闻一2qf（x—2021）-24有唯一零点，则实

数。的值为.

10.函数/（x）=ln（e4+e2T）+f一©的所有零点之和为（）.

A0B.2C.4D.6

11.已知函数=，-2+02-“+asin（工x-&）有唯一零点，则a=（）

36

A4B.2C.-2D.-4

x~\~1

12.（2022.江苏常州•模拟）已知函数兀0（尤GR）满足八一工）=2—兀0,若函数y=丁与>=大尤）

m

图象的交点为（%1，%），（冗2，㈤，…，yrn）,则工（为+%）等于（）

A.0B.mC.2mD.4m

【答案与提示】

1.【答案】(0,e)

【提示】分离函数，问题即为x>0时，〃a)=hu与g(x)=ox的图象恰有2个交点，利用导数

求出当a=e时，相切为临界值.

有

2.【答案】a=——

2

【提示】同例4,利用40=0,求得。=±#，而当。=-孝时，不满足题意，应舍去.

3.【答案】m=2

【提示】发现y(无)是偶函数，故得到式0)=0,立得机=2或m=—4,难点在于对加=—4的取舍

问题.思路有二，一是“分离函数”，利用“形”助数；二是利用导数知识，只需当尤>0

时，函数恒增或恒减即可.

4.【答案】{0,1,2,4}

【提小】见例3.

5.【答案】B

【提示】根据对称性易得答案.

6.【答案】B

x+]1

【分析】该题设计抽象函数/(X)关于点(0,1)成中心对称，函数y=——由奇函数y=—

XX

向上平移一个单位得到，也关于点(0,1)成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于

点(0,1)成中心对称，£(七+凹)=2%+Z%，考虑倒序相加法，可得

111

jn“7

Z%=加，故Z(x,+y)=机.

1/=!

7.【答案】2020

【提示】两边取自然对数得In卜+J?石)+ln(y+J7W)=0

设/(幻=1111+42+1卜则易得其为R上的单增奇函数

所以x+y=0,

故/一3xy-4y2-6x-6y+2020=(x+y)(x-4y)-6(x+y)+2020=2020