高考数学一轮复习-第三周-每日一练【含答案】

第三周

［周一］

（2—i

1.（2023・长春模拟）已知aGR,i为虚数单位，若彳为实数，则“等于（

A.—3BqC.3D.—

答案A

解析因为

3+1(3+1)(3—1)

3a—1—(o+3)i3〃-1〃+3

=io=io—ioi为实数,

则一—0,即"+3=0,所以〃=-3.

2.(2023•青岛模拟)已知函数於)=丁一垢%,若。£(0,若)『/((cos"吗,

Z?=X(sin时吗,

C=—/(一，，则〃，b，c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

答案A

解析因为A—x)=(-x)3—^sin(—x)

——(x3—^sinj=—fix),

所以/U)在R上是奇函数.

所以c=—/(—0=/g),

对Ax)=炉—2s^n%求导得，

f(x)=3x2—^cosx,

人71

令g(%)=3/—]cosx,

则g'(x)=6x+^sinx,

当]<x<l时,g'(x)>0,

所以g(x)在g,1)上单调递增，

则当如<1时，g(尤)>g@)=dcos3>,一品1>0,即/(x)>0,

所以40在G，1)上单调递增.

因为oe(o,吉)，

所以cos分,>sin0,

因为y=xsin(o<sin在(0,+8)上单调递增，所以(cos。严%⑤口夕产叫

令〃(%)=xlnx+ln2,则1(x)=lnx+1,

所以当0<x<(时，h'(x)<0,/z(x)单调递减；

当时，h'(%)>0,/z(x)单调递增.

所以^+In2=ln2—p

1

而2e>e,即2>ee,

所以In2>~,即In2—^>0.

所以xlnx>—In2,即当，

贝|(sin0)sine>2,

所以(cos6)sine>(sine)sin%；且(cos。严。<1,

所以犬(COSe)sin今次(sin。严与习⑤，

即a>b>c.

3.(多选)(2023•锦州模拟)如果有限数列｛匾｝满足的=加计&=1,2,…，〃)，则称其为“对称

数列”，设｛仇｝是项数为2k—l(kN*)的“对称数列"，其中bk,"+i，…，历hi是首项为

50,公差为一4的等差数列，贝!]()

A.若左=10,则%=10

B.若k=10,则｛6“｝所有项的和为590

C.当人=13时，｛儿｝所有项的和最大

D.｛勿｝所有项的和可能为0

答案BC

解析｛勿｝的和S2i=504一七一X4X2—50

=-4^+104^-50=—4(Z—13＞+626,

对于选项A,%=10,则61=619=50—4X9=14,

故A错误；

对于选项B,左=10,则所有项的和为一4X9+626=590,故B正确；

对于选项C,｛久｝的和S2kl=-4(4—13)2+626,当左=13时，和最大，故C正确；

对于选项D,S2*T=—4研+104左一50=0,方程无正整数解，故D错误.

4.(2023・大连模拟)甲、乙、丙三人每次从写有整数加，n,网0＜加＜“＜身的三张卡片中各摸出

一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行,

当他们做了N(NN2)次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最

后一次丙摸的是％,那么N=.

答案5

解析N次游戏所取卡片数字总和为N(%+“+©=22+9+9=40,

又?"+"+左21+2+3=6,且》?+"+左为40的因数，所以(〃z+〃+A)miii=8,且N=2,4,5.

当N=2时，m+n+k=20,因为丙得9粒石子，则kW8,所以甲得石子数小于16,不符合

题意；

当N=4时，%+〃+4=10,因为丙得9粒石子，则上W6,为了使甲获得石子数最多，k=6,

m=l,n=3,此时甲最多得21粒石子，不符合题意；

当N=5时，优+〃+左=8,因为丙得9粒石子，则ZW5,为了使甲获得石子数最多，k=5,

m=19n—2,

此时甲最多得22粒石子，甲、乙、丙三人每次得石子数如表所示,

第1次第2次第3次第4次第5次

甲55552

乙22221

丙11115

故做了5次游戏，N=5.

5.(2023・大连模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6c(1+cosA)=4/.

(1)证明：b+c=3a；

7

(2)若Q=2,cosA=g,角B的角平分线与边AC交于点O,求5。的长.

⑴证明因为Z?c(l+cosA)=4a2,

所以—诋~

所以bc+2=4〃2,

即（/?+C）2=9〃2,所以b+c=3a.

⑵解如图，由余弦定理得层=/+廿―2bccosA,

7

即22=b2+c2-2bc^

14

=(Z?+c)2—2bc—~gbc,

Z?+c=3〃=6,

所以Z?c=9,b=c=3,

由角平分线定理可得An缁=4笨n=永a

nCZ

39

所以40=5X3=5,

在△ABD中,由余弦定理得8O2=［1）2+32—2X£X3X,,所以3。=半.

［周二］

1.（2023•娄底模拟）某地春节联欢晚会以“欢乐中国年”为主题，突出时代性、人民性、创新

性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中

甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个

家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为（）

A.48B.72C.120D.240

答案C

解析若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有A1=48（种）不同的分配方法，

若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有ASA3=72（种）不同的分配方法，

综上，这8张门票共有48+72=120（种）不同的分配方法.

2.（2023・保山模拟）折纸艺术起源于中国.折纸艺术是用一张完整的纸用折叠的方法而成就的

各种人物、动物或草木的形态的方法.折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教

具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，是一项具有艺术性的思维活动.现

有一张半径为6,圆心为。的圆形纸片，在圆内选定一点P且|。月=4,将圆翻折一角，使圆

周正好过点P,把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到。，尸两点距离之和最小的点为M,

如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点M的轨迹为曲线C,在C上任取一点Q,则△QOP

面积的最大值是（）

A.2小B.2市

C.2事D.4

答案B

解析如图所示，设折痕为直线/,点尸与P'关于折痕对称，l^OP'=M,在/上任取一

点B,

由垂直平分线的性质可知|尸2|+出0|=忸户|+|BO|2|OM+|MP|=|0P当且仅当B

重合时取等号.

即折痕上到。，尸两点距离之和最小的点为且|PM+|MO|=|OP'|=6>|OP|=4.

故M的轨迹是以。，P为焦点，且长轴长为2a=6的椭圆，焦距2c=|0P|=4,c=2,

故短半轴长b=市,

所以当。为椭圆上（下）顶点时，△。。尸的面积最大，最大值为3><2c><b=2书.

3.（多选）（2023•湛江模拟）已知尸1,仍分别为双曲线C：/一g=1（。>0，6>。）的左、右焦点，

点A（xi，竺）为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交无轴于点

3（x2,0）,则下列结论正确的有（）

A.0<X2<a

B.ZFiAB=ZF?AB

C.x\X2=ab

D.若cosN尸iA/2=］，且尸由=337%则双曲线。的离心率e=2

则在点A（xi,州）处的切线斜率为

b2

所以在点A（xi,"）处的切线方程为

y_%=S?（x—为），碍-g=i，

化简得切线方程为第一步=1,

V1X0

所以茅1,

所以为12=。2,故C错误;

由即刀2=。2,得X2=~~f

又阳>〃，所以0<X2<〃，故A正确;

B（c,0）,0）,

由一F2（C,O）,

22

得|P18|=g+c,逐/2l=C一彳，

I

耳」尸1引尤1十CCXl十/

故两=一?=cxi-a2）

C——

X1

由%汜1,得针筝F

所以IAF11=N（Xl+c）2+G

=［（X1+C）2+字一万

=71+a.

所以|AF2|=|AF11—2a=宗1—4,

一「I-xi-ha

所以⑷犷。

~axi~a

cxi+6z2|FiB|

cxi—a2\BF^\'

设点A到％轴的距离为

S

则AAFtB=%引〃

=^\AFi\\AB\sinZFiAB,

^△AF2B=习&8|"

为sin/尸MB,

$△4月8尸5i||AFi|sinNHA8

==9

飞\F2B\\AF2\sinZF2AB

^AAF2B

\AFj\_\FrB\

^\AF2r\BF2\'

所以NBAB=NF2AB,故B正确;

由上可得同卫=普十。，0),

QQ2a2

\AFi\=-x\+a=~X—^~+a=3a9

…—cc、,2a2

|AF2|=-X1—6Z="X——«=6Z,

所以

222

/…|AF1|+|AF2|-|F1F2|

COSZFIAF2-2|AFI|.|AF2|

222

9cz+a-4c5291

=-67—=厂子=手

解得e=也，故D错误.

4.（2023・白山模拟）在正四棱锥S—ABC。中，M为SC的中点，过AM作截面将该四棱锥分

成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为％,L，则会的最大值是_______.

VI

答案2

解析记正四棱锥S—A8C。的体积为匕求号的最大值，由Vi+V2=V为定值知，只需求

V1

%的最小值,

s

设过AM的截面分别交S3和SO于£；F,平面SAC与平面S3。的交线为SO,SO与AM相

交于G,如图，

则SG=^SO,令器=%，瑞=%

->■1—►―►1―►1—►

则SG=^(SD+SB)=^SE+^SF,

即有?+?=1,

3x3y

V1=Vs-AFM~^~Vs-AEM—VF-SAM'VVE-SAM

_SFSE、/

SDyD-SAM'SB,

=y；Vo—SAC+4外—SAC

V

=a(%+y)

2

当且仅当％=y=,时取等号,

V?V—V]VV

此时拓=FT=H—iw《一i=2,

3

所蜷的最大值是2.

5.(2023・济南模拟)已知数列｛念｝的前〃项和S〃=2〃+】一2,数列｛为｝满足为=log2M

(1)求数列｛〃〃｝,｛"〃｝的通项公式;

(2)由斯，为构成的〃X〃阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和4.

(aibi，a\bi，。必3，…，。也\

aib\,a2b2,93,…，aibn

〃3仇，a3b2,a3b3,…，a3bn

Q/i,斯历,〃滴3，…，anbi/

解(1)因为&=2篦+1—2,

当〃=1时，SI=22—2=2,即〃i=2,

当〃22时，&-1=2〃-2,

所以S〃T=2〃+1—2—(2〃-2),即斯=2〃，

经检验，当〃=1时，也成立，

=log2〃〃=n

所以〃〃=2〃，则bn10g22=n.

2(8+b2H------+b2H-------

(2)由数阵可知Tn=ai(bi+b2~\-----\~bn)~\~。\~bn)~\------an(Jb\\~bn)

=3i+42H-----1-斯)(bi+b2H------\~bn),

因为S〃=2〃+i—2,

,,,,,,n(l+n)层+几

2H-----

仇+b\-bn=l+2-\-------\-n=~~，

九2—|—九

所以G=(2/i—2>-y-=(2"—1)•(层+〃).

［周三］

1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A+8=半，a=2小,c=5,贝UsinA

等于()

4332

A弓B号C，4D，3

答案B

解析因为A+8=,,所以C=，,

由正弦定理得一%=—J,即第=工，

sinAsinCsinA.兀

sin3

3

所以sinA=g.

2.已知A,B,尸是直线/上不同的三点，点。在直线/外，若5>=疯>+(2加一3)5^(M£R),

则呼1等于()

\PA\

A.2B.gC.3D.g

答案A

解析VAP=OP-OA,OP^mAP+(2m-3)C^^m(OP-dA)+(2m-3)OB,

整理得(加一1)铮=加%+(3—2%)为，

当根=1时，0=。4+05显然不成立，故加W1,

—m—,3—2m一

VA,B,尸是直线/上不同的三点，

；.-7+宜胃=1,解得加=2,：.OP=2OA~OB,

m~1m~1

设防=2摘，2W1,:.OB-OP=^(OA-OP)9

OP-r(9A-：T

A——1Z——1OB,

••.，7=2,解得4=2,即曰=2.

，T两

3.(多选)(2023・保山模拟)己知函数/卜+2为奇函数，g(x)的图象关于直线尤对称，若於)

+g(%)=sinx,贝女)

A.函数兀0为奇函数

B.函数g(x)的最大值是半

C.函数段)的图象关于直线尤=—热称

D.函数/(x)的最小值为一勺

答案BC

解析因为为奇函数，

所以/((—4+1)=—/G+]),

令/二始+?则/'停一，=-/«,

即/停—j=—^x),

由g(x)的图象关于直线尸号对称，

可得g停—j=g(x)，

-/U)+g(x)=/■停-j+g停-X)

=sin(^-x),

联立fix)+g(x)=sinx,

故函数/(x)不是奇函数，函数g(x)的最大值是坐，函数八X)的图象关于直线X=一3寸称，函

数於)的最小值为一

4.(2023・鞍山质检)冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛

项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每

滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分

钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子

弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被

罚时，事件8为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么P(A|8)=.

宏安—

u木3

解析由题意得P(8)=^^,

D/ACgCg

尸网=裔

..P(4|B)—p⑻—C旷©o-3-

5.(2023•延边模拟)如图1,在△ABC中，D,£分别为AB,AC的中点，。为DE的中点，

AB=AC=2p8C=4.将△AOE沿DE翻折到△4OE的位置，使得平面4DE_L平面BCED,

如图2.

⑴求证：AiOXBD；

(2)求直线AiC和平面A{BD所成角的正弦值;

(3)若点F在AiC上，是否存在点F,使得直线DF和BC所成角的余弦值为华？若存在,

求出策的值；若不存在，请说明理由.

⑴证明因为在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点,

所以DE〃BC,AD=AE.

所以AiD=Ai£,又。为。E的中点，所以40LOE

因为平面AiOE_L平面BCE。，平面AiDECl平面3C£D=Z)E,且40U平面AQE,

所以4O_L平面BCE。，又BDU平面BCED,

所以AiO_LBD

(2)解取8c的中点G,连接OG,所以OELOG.

由⑴得4O_LOE,AiO±OG.

以。为原点，OG,OE,04所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

由题意得,4(0,0,2),5(2,-2,0),C(2,2,0),0(0,-1,0).

设平面48。的法向量为"=(无，y,z).

n-A1B=Q,(2x—2y—2z—0,

则‘一即

i-y-2z=0.

M-AID—0,

令尤=1,则y=2,z=—1,

所以"=(1,2,—1).

设直线AC和平面AiBD所成的角为0,

则sind=|cos〈〃，AiC)|=

InllAici

|2+4+2|2A/2

—\1+4+1々4+4+4—3'

故所求角的正弦值为手.

(3)解存在点F符合题意.

设立=疝乙其中

设厂(为，y\,zi),

则有Qi,ji,幻-2)=(2九22,-22),

所以为=2九%=2九zi=2-2九

从而F(2A,2九2-22),

所以。尸=(2九2/1+1,2-2/1),

又病=(0,4,0),

所以|cos<5>,病〉尸咙函

\DF]\BC\

___________4|2%+1|_________

—4K(24+⑼+])2+(2—22)2

V35

一7，

整理得16#—244+9=0,解得力=*所以线段4C上存在点尸符合题意，且笑=*

[周四]

1.（2023•青岛模拟）已知全集U=R,A={x|3<x<7},B={x||x-2|<4},则图中阴影部分表示

的集合为（）

A.{R—2<xW3}B.{x\—2<x<3}

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1,23)

答案A

解析|无一2]<40一4<%—2<4=一2a<6,：.B={x\~2<x<6].

则AU8={x|-2a<7},

图中阴影部分为[（AUB）A={X[—2<xW3}.

2.（2023•郴州、湘潭联考）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底

面过球心，上底面半径为1,则圆台的体积为（）

A.59兀B.5小无

「7力兀

D.7小兀

。3

答案C

解析设圆台的上底面的圆心为Q,下底面的圆心为。，点A为上底面圆周上任意一点，则

01A=1,

设圆台的高为//,球的半径为R=0A=2,

则h=00i=qR2—0自2=74—12=小,

所以圆台的体积y=g（4兀+#4兀•兀+兀）*<§=7,无

3.（多选）（2023・白山模拟）某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下

所示的表格.

成绩60657075808590

人数2335421

下列结论正确的是（）

A.这20人成绩的众数为75

B.这20人成绩的极差为30

C.这20人成绩的25%分位数为65

D.这20人成绩的平均数为75

答案AB

解析根据表格可知，

这20人成绩的众数为75,故A正确；

极差为90-60=30,故B正确；

20X25%=5,

所以25%分位数为3义（65+70）=67.5,故C错误；

平均数为

60X2+65X3+70X3+75X5+80X4+85X2+90

----------------------------------------------二

207小4

故D错误.

4.已知数列｛斯｝是各项均为正数的等比数列，S〃是它的前〃项和，若〃305=64,且〃5+2〃6

=8,则S6=.

答案126

解析设正项等比数列｛为｝的公比为夕（夕>0）,由〃3。5=64,得届=俏。5=64,而〃4>0,解得

〃4=89

又〃5+2〃6=8,则〃4夕+244/=8,于是2q2+q—l=0,而q>0,解得。1=3=64,

=126.

5.（2023・大连模拟）国学小组有编号为1,2,3,…，〃的〃位同学，现在有两个选择题，每人答

对第一题的概率为多答对第二题的概率为*每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规

则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②

若第9=1,2,3,…，〃一1）号同学未答对第一题，则第z•轮比赛失败，由第i+1号同学继续

比赛；③若第9=1,2,3,…，w—1）号同学答对第一题，则再答第二题，若该同学答对第二题,

则比赛在第，轮结束；若该同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i+1号同学继续答

第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第〃轮，则不管第〃号同学答题

情况，比赛结束.

（1）令随机变量X“表示〃名同学在第X”轮比赛结束，当〃=3时，求随机变量X3的分布列；

（2）若把比赛规则③改为：若第源=1,2,3,…，〃-1）号同学未答对第二题，则第z•轮比赛失败,

第i+i号同学重新从第一题开始作答.令随机变量匕表示n名挑战者在第匕轮比赛结束.

①求随机变量匕（"CN*,”三2）的分布列；

②证明：随机变量匕的数学期望E（匕）单调递增，且小于3.

⑴解由题设，X3的可能取值为1,2,3,

P（X3=l）=|x|=|,

2111215

P（X3=2）=QX]X]+WX,X]=同，

157

尸（X3=3）=一厂同=加

因此X3的分布列为

X3123

157

P

31818

⑵①解%的可能取值为1,2,…，”，

每位同学两题都答对的概率为p号2X：11",则答题失败的概率为1号2义1；号2,

J乙。J乙，

所以当1,左GN*）时，

=X；；

当匕=〃时，p（y“="）=停＞—i,

故匕的分布列为

Y„123・・・n~1n

121©2X3a

PX.・・

333停）fw

②证明由①知，E（匕）=ixg+〃住>-i（/z£N*,〃22）.

k=l'

E（匕+1）—E（匕）=力停>一1义；+5+1）仔）"一〃停>一1=（1>>0,故E（匕）单调递增.

又E（Y2）='|,

所以E（匕尸E（Y2）+囱㈤-EG2）］+夙匕）一线⑸］+…+区匕）一E（匕.1）］,

所以E（%）=|+停）2+酊+…+停卜=|+（3）［1?］=3—2X仔卜<3,

1-3

故E（匕）<£（匕）<氏以）<3匕）（匕）<3.

［周五］

1.（2023・淄博模拟）已知集合4=32*>1},B={x|lnx>l},则下列集合为空集的是（）

A.AA（CRB）B.（CRA）AB

C.AABD.（（R4）C（［RB）

答案B

解析集合A={x|2*>l}={x|x>0},

集合B={x|lnx>l}={x|x>e},

所以［RA={尤|xW0},［RB={x|x^e},

对于A,APl（CRB）={x|0<x^e},故选项A不满足题意；

对于B,（CRA）HB=0,故选项B满足题意；

对于C,ACB={x|x>e},故选项C不满足题意；

对于D,（［RA）n（RB）={小W0},故选项D不满足题意.

2.已知函数/（x）的定义域为R,_/（x+l）为奇函数，且对VxGR,兀v+4）=/（—x）恒成立，则下

列选项中不正确的是（）

A.兀v）为偶函数

B.犬3）=0

c.痣=-/(1)

D.八尤)是以8为周期的函数

答案D

优¥+2)=­/(—J

解析因为加+1)为奇函数，所以八1一x)=-Al+x),故L、〃、

IA2-X)=-/%),

又/(x+4)=/(—X),所以式2+x)=/(2—X),故一八一X)=一兀¥),

所以八一x)=/(x),人尤)为偶函数，A正确；

/U+1)为奇函数，

所以犬1)=0,又穴2+无)=,2—尤)，

所以犬3)=/Q)=0,B正确;

/(1)=/(1)，又於)的图象关于点(1,。)对称，所以/(1)=一/(1)，

C正确;

又式x+4)=大-x)=/U),

所以五x)是以4为周期的函数，D错误.

3.(多选X2023•邵阳模拟)若函数段)=2coscox(coscox—sinS:)—1(G>0)的最小正周期为兀,

则()

A.

B.段)在悖詈［上单调递增

C.兀0在［0,引内有5个零点

D.式尤)在［―1彳上的值域为［―1，1］

答案BC

解析/(无)=2cosox(coscox—sincox)—1

=2COS2C9%—2costoxsincox—1

cos2(t>x—sin2cox=y[2cos\2cox-]-~^

由最小正周期为兀，可得兀=2①,解得8=1,

故於)=$cos(2x+J,

对于A,了(一升班3(-吉+2

=gos导坐,故A错误；

对于B,当xG壬空时，

y,y。［小2兀）,此时加）单调递增，故B正确;

对于C,令«r）=Wcos（2x+*=0,

即cos（2%+习=0,

jrjr

所以2x+w=1+fai,%£Z,

即%=]+竽,kGZ,

当了£0,了时,

满足要求的有x=£5兀9兀13K

OX=~S9

x=R-,故有5个零点，故C正确;

>.7TJC

对于D,当工仁［一4，工）时।，

c.兀「「713兀1

2无十泡一不列,

则cos（2x+§e一乎,1,

故加）引一1,也］,所以D错误.

4.（2023・齐齐哈尔模拟）一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2,另一个数由6改

为8,其余数不变，得到新的一组数据，则新数据的方差相比原数据的方差的增加值为

答案2

解析一个数由4改为2,另一个数由6改为8,故该组数据的平均数受不变，

设没有改变的6个数分别为制，X2,…，X6,

原数据的方差

X1+(X2-x)24----|-(X6—x)2+(4—X)2+(6—X)2],

SI=OQ[(X\—

新数据的方差/=][(为-x/+(X2—X)2H----F(X6—X)2+(2—X)2+(8—x)2],

o

所以52—51=1[(2—X)2+(8—X)2—(4—X)2—(6—X)2]=2.

o

y[3X2V2

5.（2023•苏州调研）已知抛物线y2=a2x的焦点也是禺心率为为-的椭圆了+^=1（。泌＞。）的一

个隹占F

（1）求抛物线与椭圆的标准方程；

（2）设过点尸的直线/交抛物线于A,8两点，交椭圆于C,。两点，且A在B左侧，C在。

左侧，A在C左侧.设r=|AC|,s=^CD\,t=\DB\.

①当〃=2时，是否存在直线/,使得r,s,f成等差数列？若存在，求出直线/的方程；若不

存在，说明理由；

②若存在直线/,使得r,s,f成等差数列，求〃的范围.

解（1）由题意知抛物线的焦点F（J,0）,椭圆的一个焦点F（c,0）,由于0=\=坐，即

0）,

则有空与，

因此4=2小，c=3,b=yla2—c2=y[3,

故抛物线的标准方程为/=12x,椭圆的标准方程为为十[=L

(2)设/：x=my+3(m^0),A(xi,%),

3(X2,>2),C(X3,>3),。(%4,>4),

将直线与抛物线联立，

2

y=l2x9

则有

x=my+3,

整理得y2-12my-36=0,

j=144m2+36X4>0,

y\+yi=l2m,

则

Jiy2=136，

于是x\X2=(myi+3)(mj；2+3)

=m2yly2+3m(ji+”)+9=9,

[^+^-12=0,

将直线与椭圆联立，则有「

[x=my-\-3,

得到一元二次方程(加+4)y2+6^y—3=0,J>0,

61n

券+丁4=m2+4,

则有＜

3

y3y4m2+4,

则|A5|=yj(xi—%2)2+Cvi-J2)2

=71+力.2、Qi+丁2)2-4%p2

=12(m2+l),

\CD\=N(%3—工4)2+(乃一丁4)2

=q1+而7(3+丁4)2—4y3y4

36m212m2+48

(m2+4)2+(m2+4)2

4小(苏+])

m2+4'

\AC\+\DB\=\AB\~\CD\

=12(m2+l)

m2+4•

①当〃=2时，s=2\CD\,

假设存在直线/,使得r,s,/成等差数列,

即|AC+|D3|=4|CD|,

4小(/+])

即有12(m2+1)

加2+4

4v§(川+1)

=4义

m2+4

整理得12汴=2加一48,方程无解，因此不存在/满足题设.

_4小(疗+1)

②若存在直线/,使得r,s,£成等差数列，只需使得方程12（川+1）

m2+4

4-J3(m2+l)..._____

=2"乂1+4有斛即可・

整理得病=小+2甘—12,

故疗=小+2中-12>°,

解得〃6吗二4+8）.

[周六]

1.(2023•泉州质检)已知复数Z满足(1—i)z=4i,则Z•立等于()

A.-8B.0C.8D.8i

答案C

解析因为（1—i）z=4i,

_4i_4i(l+i)__4+4i__,

所以z—q_i)(i+i)—2——+2i，

所以z——2—2i,因此，z-z=(—2+2i)(—2—2i)=4+4=8.

2.（2023•娄底模拟）已知夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何

平面所截，如果截得两个截面的面积之比为网常数），那么这两个几何体的体积之比也为k.

则椭圆C：椭圆的面积S—Ttab,

其中〃，匕分别为长半轴、短半轴的长X）

44

A可a9bB^iab9

4&

Dg7lZ?3

答案B

解析如图所示,

72

直线y=/z交半椭圆，+方=1。20）于A,5两点，交半圆工2+、2=〃。20）于。两点,

\AB\*2a

由题意可得•

27b2—h2

yjb^—h26，

72

将半椭圆方+%=1。20）和半圆r+Vn/gO）绕着无轴旋转一圈后,

利用垂直于y轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S,S，，

^-\AB\-\CD\

由题意可知-j='h,

22

设半椭圆5+5=120）绕X轴旋转一圈所得的几何体体积为V,

半圆绕工轴旋转一圈所得的几何体体积为V，,

Vatz.a4TIZ?3Ajiab2

则=方所以v=1TM'=彳亍

V，

3.(多选X2023-8的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项是1120

B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256

D.各项的系数之和为256

答案