2024-2025学年沪科版八年级数学上册专项复习：全等三角形 知识归纳与题型突破（含答案）

第十四章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

｛对应边相等

对应角相等

rSAS

ASA

全等三角形<全等三角形的判定・SSS

AAS

*HL

L全等三角形的应用

02知识速记

一、全等三角形

1.全等三角形的相关概念：

（1）全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（2）全等三角形的对应元素：

①对应顶点:全等三角形中，能够重合的顶点.

②对应边:全等三角形中，能够重合的边

③对应角:全等三角形中，能够重合的角.

2.全等三角形的表示方法：

全等用符号“三”表示，读作“全等于“，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写

在对应的位置上.

3.常见三角形的全等变换：

试卷第1页，共18页

平移平型

翻

折

4、对应元素的确定方法:

(1)图形特征法:

①最长边对最长边，最短边对最短边.②最大角对最大角，最小角对最小角.③相等的边

(角)为对应边(角).

(2)位置关系法:全等三

①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边.

②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边.③对应边的对角为对应角，两

条对应边所夹的角是对应角.

(3)字母顺序法:

根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角.

5、全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线显得更，对应边上的高

相等，对应角的平分线相等，对应周长沆灯，对应面积相等.

6、全等三角形的判定SASASASSSAASHL

二、三角形的稳定性

1、三角形的稳定性

(1)如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳

定性.

(2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用

2、三角形稳定性的应用:

试卷第2页，共18页

（1）稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的

物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等

（2）四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形.四

边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.

03题型归纳

题型一全等三角形的概念

例1.（24-25九年级上•辽宁辽阳•开学考试）

1.下列命题的逆命题正确的是（）

A.全等三角形的周长相等

B.全等三角形的对应角相等

C.如果。=6,那么/=62

D.直角三角形的两个锐角互余

巩固训练

（24-25八年级上•新疆阿克苏•阶段练习）

2.下列说法正确的是（）

A.一个三角形中最多有一个钝角

B.两个全等三角形的面积不一定相等

C.两个形状相同的图形称为全等图形

D.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心

（24-25八年级上•山东聊城•阶段练习）

3.如图，4ABCmACDA,下列结论：①48与/。是对应边；②与是对应边;

③/C43与4是对应角；④/A4c与/。4c是对应角.其中正确的有（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

（23-24七年级下•陕西西安•期中）

4.下列判断正确的个数是（）

试卷第3页，共18页

（1）形状相同的两个三角形是全等形；

（2）全等图形的周长都相等；

（3）面积相等的两个等腰三角形是全等形；

（4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型二全等三角形的性质

例2.（24-25八年级上•河南新乡•阶段练习）

5.如图所示的两个三角形全等，则NE的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

巩固训练

（2024八年级上•全国•专题练习）

6.如图，AACB知DEB,点N和点。是对应顶点，ZC=ZE=90°,记

NCBE=a,ACAB=/3,当3c时，a与夕之间的数量关系为（）

A.a=2月B.a=/3C.a+「=90°D.a+夕=180°

（24-25八年级上•全国•单元测试）

7.如图，AABC必DEF,NA=ND,NB=NDEF,则下列结论错误的是（）

A.AB=DEB.AC=DFC.BEFCD./B=/F

（24-25八年级上•河北邢台•阶段练习）

8.如图，若LABCmAADE,则48的对应边是（）

试卷第4页，共18页

E

A

A.CDB.BDC.ADD.AE

题型三证明三角形全等

例3.（21-22七年级下•陕西咸阳•阶段练习）

9.如图，点反E、C、尸在同一条直线上=BE=CF,请你添加一个条件，使得

△ABC/4DEF,并说明理由.

巩固训练

（2024八年级上•江苏•专题练习）

10.如图，点2、C、E、F共线，AB=DC,ZB=ZC,BF=CE.求证:

△ABE/LDCF.

（23-24八年级上•江苏徐州•阶段练习）

11.已知Z8=/C,Zl=Z2,AD=AE,求证△ABD之.

（24-25八年级上•辽宁大连•阶段练习）

12.如图，AC=BC,ADICE,BEICE,垂足分别为。，E,且。=8E.

试卷第5页，共18页

⑴求证：RtASCE也RtZ\C4D；

（2）若/。=2.4,DE=\.6,求BE的长.

题型四倍长中线模型

例4.（23-24八年级上•辽宁葫芦岛•期末）

13.某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起

活动吧.

【探究与发现】

（1）如图1,4D是△4BC的中线，延长4D至点E,使连接BE,求证：

AC=BE.

【理解与运用】

（2）如图2,EP是的中线，若斯=8,DE=5,求EP的取值范围；

（3）如图3,是△NSC的中线，=点0在BC的延长线上，QC=AB,

求证：AQ-2AD.

巩固训练

（23-24七年级下•全国•课后作业）

14.如图，已知40是△4BC的中线，且/C>48.求证：AD<^（AC+AS）.

（23-24八年级上•安徽安庆•期末）

试卷第6页，共18页

15.(1)如图①，在△4BC中，若N8=6,/C=4,4D为8c边上的中线，求4D的取值

范围；

(2)如图②，在△/8C中，点。是8c的中点，DELDF,DE交AB于点、E,DF交AC

于点尸，连接EF,判断8E+Q7与EF的大小关系并证明；

(3)如图③，在四边形/BCD中，AB//CD,4尸与DC的延长线交于点R点£是8c

的中点，若NE是NB/尸的角平分线.试探究线段AF,CF之间的数量关系，并加以

证明.

图①图②图③

(23-24八年级上•江苏南通•期中)

16.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,△ABC中，若N8=6,NC=4,

求BC边上的中线/。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延

长4D到£,使Z)E=M,连接班.请根据小明的方法思考:

(1)由已知和作图能得到得到=在ANBE中求得2/D的取值范围,

从而求得4。的取值范围是

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边

之间的关系.

(2)如图2,ND是△N2C的中线，AB=AE,AC=AF,NB/E+NG4/=180。，试判断线段

与即的数量关系，并加以证明；

(3)如图3,在△42C中，D,E在边BC上，且BD=CE.求证：AB+AOAD+AE.

试卷第7页，共18页

题型五旋转模型

例5.（23-24八年级上•山东临沂•期中）

17.【基本模型】

（1）如图1,/BCD是正方形，HF=45°,当£在8c边上，尸在C。边上时，请你探究

BE、。尸与£尸之间的数量关系，并证明你的结论.

【模型运用】

（2）如图2,是正方形，ZEAF=45°,当£在8c的延长线上，尸在CZ）的延长线上

时，请你探究BE、与所之间的数量关系，并证明你的结论.

（22-23七年级上•山东淄博•阶段练习）

18.在ZUBC中，ZACB=90°,/C=8C,直线经过点C,且于点，BE1MN

（1）当直线ACV绕点C旋转到图1的位置时，求证：①4ADC咨LCEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问。£、AD、BE具有怎样的等量关系，并

加以证明；

⑶当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问AD、5E具有怎样的等量关系？（请

直接写出这个等量关系，不需要证明）.

（21-22八年级上•陕西延安•期末）

19.【问题提出】

（1）如图①，在四边形48co中，AB=AD,NB=ND=90。，E、尸分别是边2C、CD±

试卷第8页，共18页

的点，且求证：EF=BE+FD；

【问题探究】

(2)如图②，在四边形4BCD中，AB=AD,AB+ZADC=1^0°,E、尸分别是边2C、CD

延长线上的点，且NE4F=；NB4D,(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若

20.如图，AB=AC,AE=AD,NCAB=NEAD=a.

E

(1)求证：LAEC=AADB；

(2)若a=90。，试判断AD与CE的数量及位置关系并证明；

(3)若NC4B=NE4D=a,求NCE4的度数.

题型六垂线模型

例6.(23-24八年级上•安徽亳州•期末)

4

21.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数＞=-§x+4与坐标轴交于A、3两点，若

△/8C是等腰直角三角形，求点C的坐标.

试卷第9页，共18页

巩固训练

(23-24八年级上•辽宁大连•期中)

图2

(1)如图1,点4在直线/上，4840=90。,/3=/。，过点2作8C，/于点C,过点。作

交于点E.得N/=NO.又NBCA=NAED=90°,可以推理得至(JA/2C0An4E(44S).进而

得到结论：AC=,BC=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”

模型；

⑵如图2,乙/BAD=NMAN=90°,AB=AD,AM=AN,BM千氤C,DE工1于■点、E,ND

与直线/交于点P,求证：NP=DP.

(22-23八年级上•广东江门•阶段练习)

23.已知，ZUBC中，NA4c=90°,AB=AC,直线加过点/,且5。1用于。，CE1m

于E,当直线加绕点/旋转至图1位置时，我们可以发现。后=8。+磁.

(1)当直线加绕点/旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；

(2)直线加在绕点/旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？(直

接写出，不必证明)

试卷第10页，共18页

(21-22八年级上•贵州铜仁•阶段练习)

24.(1)如图1,已知△4BC中，/A4c=90。，AB=AC,直线加经过点4夕。，直线加，

CEL直线加，垂足分别为点RE.求证：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△/BC中，4B=/C,D,4E三点都在直线加上，

并且有/8£%=//£。=/氏4。.请写出。£,8。,。£三条线段的数量关系，并说明理由.

CC

题型七利用全等三角形的判定和性质求角度

例7.(23-24八年级上•安徽六安•阶段练习)

25.已知：如图，NE=/F=90°,AB=AC,AE=AF.

⑴当/C=30。，N8/C=25。时，求的度数；

⑵求证：AACN^AABM.

巩固训练

(23-24七年级上•山东泰安・期中)

26.(1)【模型建立】如图1,在RtZ\48C与RtANDE中，AB=AC,AD=AE,

NBAC=NDAE=90°,求证：AAEC^AADB；

(2)【模型应用】如图2,在△NBC与△/£>£中，AB=AC,AD=AE,

NBAC=NDAE=90°,B、。、E三点在一条直线上，AC与BE交于点、F,若点产为NC中

点，

①求/8EC的度数；

②CE=3,求△/£尸的面积；

试卷第11页，共18页

(23-24八年级上•吉林•期中)

27.如图，△4BC中，ZABC=90°,AB=CB,尸为延长线上一点，点E在8c上，且

AE=CF.

(1)求证：RMABE名RSCBF.

(2)若/C4E=30。，贝I」：

①/C7茁的度数为一.

②/4W的度数为.

(23-24八年级上•内蒙古鄂尔多斯•阶段练习)

28.如图.在△NBC中，NABC=60°.AD,CE分别平分/A4C,ZACB.

⑴求NEO。的度数；

(2)求证：0D=0E.

题型八利用全等三角形的判定和性质证角的关系

例8.(23-24八年级上•湖北黄石•期末)

29.如图，AB=AC,点。、E分别在42、AC±,AD=AE,求证：NB=NC.

试卷第12页，共18页

A

D,E

J

巩固训练

(24-25八年级上•河北石家庄•阶段练习)

30.如图，已知和A/CZ),C为BE上一点,AB=AC,BE=CD,。为/£与CD的

⑴请补充条件，并用“SSS”证明AABE知ACD；

⑵在(1)的条件下，若Z8/C=40。，求的度数；

⑶在(1)的条件下，求证：NDCE=ZBAC.

(23-24八年级上•贵州黔西•阶段练习)

31.如图①，点/,E,F,C在同一直线上，AE=CF,过点E,尸分别作

ED±AC,FB1AC,AB=CD.

(1)求证：R3AFBmRtAC£Z)

⑵若BD与EF交于点G,试证明BD平分EF；

(22-23八年级上•湖南邵阳•期中)

32.(1)如图①，在四边形/2CZ)中，AB=AD,ZB=ZADC=90°.£、尸分别是BC,CD

上的点，旦EF=BE+FD,探究图中NB/E,NFAD,NEN尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法：延长五。到点G,使。G=B£.连接NG.先证明

△4BE必ADG,再证明尸2”GF,可得出结论，他的结论应是_

试卷第13页，共18页

(2)如图②，在四边形48CD中，AB=AD,NB+ND=180。，E,F分别是BBC,CD上的

点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由.

(3)如图③，在四边形/BCD中，N48C+N/Z)C=180。，AB=AD,.若点£在C8的延长

线上，点厂在CD的延长线上，仍然满足斯=+请写出NE/尸与/D/8的数量关

系，并说明理由.

G

题型九利用全等三角形的判定和性质探究线段之间的数量关系

例9.(24-25八年级上•重庆•开学考试)

33.如图1,在等腰RtZi/BC中，ABAC=90°,AB=AC,AD=AE,

图1图2

⑴求证ZABE=ZACD；

(2)如图2,过点/作N/UBE于点G,交5c于点尸，过尸作FPLCD交BE于点、P,

交CD于点、H.

①猜想NAFB与N//FC的数量关系，并证明；

②探究线段AP,FP,4尸之间的数量关系，并证明.

巩固训练

(23-24八年级上•黑龙江绥化•期末)

34.在△NBC中，ZACB=90°,/C=3C,直线ACV经过点C,且4D_LTW于。，BE1MN

于E.

试卷第14页，共18页

⑴当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时,求证:

①CE8；

@DE=AD+BE；

⑵当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时,求证：DE=AD—BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时,请直接写出DE,AD,8E之间的等量关

系.

（24-25八年级上•广东汕头•阶段练习）

35.（1）如图1,NE是的平分线，点C是NE上一点，点B是NM上一点，在

上求作一点尸，使得△/2C之△/PC,请保留清晰的作图痕迹.

（2）如图2,在△4BC中，ZACB=90°,ZA=60°,BE、CF分别是//2C和//C2的

角平分线，C户与BE相交于点O,请探究线段8C、BF、CE之间的关系，请证明你的结

图2

（23-24七年级下•山西运城•期末）

36.综合与实践

问题情境:

数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究.在△/BC中，AB=AC,直线/过点A,

点是直线/上两点.

独立思考:

（1）如图1,当直线/在ZUBC的外部，满足/⑷/=/。£/=乙8/。时，试探究线段CE

与。E之间的数量关系，并说明理由;

试卷第15页，共18页

拓展探究:

（2）如图2,当直线/经过△48C的内部，交于点“，S.ZBAM<ZCAM,满足

N8Z）M=NCE"=NB/C时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段2。，CE

与。£之间的数量关系，并说明理由;

（3）如图3,当直线/经过△4BC的内部，交8C于点M,S.ZBAM>ZCAM,满足

==时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段

与DE之间的数量关系.

题型十利用全等三角形的判定和性质证明线段间的位置关系

例10.（23-24八年级上•江西赣州・期末）

37.如图，点E,F,3在直线/上，AE=BF,AC//BD,且/C=AD,求证:

⑴CF=DE；

（2）CF〃DE.

巩固训练

（23-24八年级下•安徽蚌埠•开学考试）

38.如图，AB=CD,于点M,DN1BC千点、N,CM=BN,连接/N,DM.

求证：

试卷第16页，共18页

AB

NM

D

(l)/\ABMdDCN；

⑵AN〃DM.

(24-25八年级上•陕西延安•阶段练习)

39.【问题背景】

在△48c中，BC、/C边上的高M)、BE交于点、F,DF=DC.

(1)如图1,求证：ADAC=NCBE；

(2)如图1,求证：BD=AD；

【拓展延伸】

(3)如图2,延长出到点G,过点G作8E的垂线交的延长线于点连接CG,已知

GH=BE,M为BH上一点,连接GW,有MH=CE,请判断GM与4。是否平行，并说

明理由.

(23-24八年级上•安徽阜阳•期末)

40.如图，BE、CF分别是△4BC的边NC、上的高，且8P=4C,CQ=AB.求证：

试卷第17页，共18页

(i)AP=AQ;

(2)AP±AQ.

试卷第18页，共18页

1.D

【分析】写出命题的逆命题，后根据所学知识判断真假即可.

本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键.

【详解】A.周长相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；

B.对应角相等三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；

C.如果/=〃，那么。=6,假命题，不符合题意；

D.两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，符合题意；

故选D.

2.A

【分析】本题考查三角形的相关概念，全等三角形的概念和性质，根据相关知识点，逐一进

行判断即可.

【详解】解：A.一个三角形中最多有一个钝角，原说法正确，符合题意；

B.两个全等三角形的面积一定相等，原说法错误，不符合题意；

C.两个形状，大小都相同的图形称为全等图形，原说法错误，不符合题意；

D.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意；

故选：A.

3.B

【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关

键.根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可.

【详解】解：由△N8C三△CD4得：

①与CD是对应边，故①不符合题意；

②/。与C2是对应边，故②符合题意；

③NC48与440是对应角，故③符合题意；

④/A4c与/DC4是对应角，48。与ND/C是对应角，故④不符合题意；

故正确的有②③，

故选：B.

4.B

【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选

项.

【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误；

答案第1页，共42页

（2）全等图形的周长都相等，故正确；

（3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误；

（4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确；

故选：B

5.C

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解答本题的关键是明

确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答.根据题意和图形，可知NE是边

。斤=〃的对角，由第一个三角形可以得到=的度数，本题得以解决.

【详解】解:•••图中的两个三角形全等，

ZE=ZB=1800-ZA-ZC=180°-66°-44°=70°,

故选:C.

6.A

【分析】本题和要考查了全等三角形.解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，

三角形内角和，平行线的性质.根据全等三角形的性质得到ZABC=ZDBE,从

而得至=求出N54D,根据平行线的性质得到/C4D=90。，从而得到关于a和£

的关系，化简即可.

【详解】解：•••AACB知DEB,

AB=DB,NABC=NDBE,

Z.ABD—Z.CBE—a,

在△力中，/5/。=；（180。一夕），

•・•AD//BC,

=180°-ZC=90°,

.•./7+1（180°-CK）=90°,

CL=2/7.

故选：A.

7.D

【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边，对应角相等是解题的

关键.根据全等三角形的对应边，对应角相等即可求解.

答案第2页，共42页

【详解】解：,••AABC会4DEF,N4=ZD,NB=ZDEF,

AB=DE,BC=EF,AC=DFZB=NDEF,

:.A、B正确，不符合题意，

■：BE+EC=CF+EC,

：.BE=FC,

•1•C正确，不符合题意，

而ZB不一定等于/F,

・•.D错误，符合题意，

故选：D.

8.C

【分析】本题考查全等三角形的性质，若两个三角形全等，则对应边相等，从而得到答案,

熟记三角形全等的性质是解决问题的关键.

【详解】解：

AB=AD,即AB的对应边是AD,

故选：C.

9.添加条件NC=。尸或/8=/。£尸(任选一个即可)，理由见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定，可添加条件尸或乙8=/。防，利用全等三

角形的判定方法SSS或SAS即可求证,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【详解】解：添加条件NC=D/.

理由如下：•••3E=C尸，

：.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在/\ABC与力EF中，

AC=DF

<AB=DE,

BC=EF

.-.△^C^ADEF(SSS)

添加条件/5=/。£尸.

•:BE=CF,

：,BE+EC=CF+EC,

答案第3页，共42页

即BC=EF,

在△4BC与“无尸中，

AB=DE

­.­<NB=NDEF,

BC=EF

AABC^ADFF(SAS).

10.证明见解答过程

【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.根据全等三角形

的判定方法即可证明结论.

【详解】证明：••,AF=CE,

:.BF+EF=CE+EF,

即BE=CF,

在和AOCF中，

AB=DC

<NB=NC,

BE=CF

:△4BEHDCF(SAS).

11.见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，由N1=N2得出=再利用AAS证明

^ABD^AACE即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键.

【详解】证明：TN1=N2,

••.Zl+ZBAE=/2+NBAE,即ZCAE=ZBAD,

在△NAD和△/(?£■,

2B=zc

<NCAE=ABAD,

AD=AE

AACE(AAS).

12.(1)见解析

(2)0.8

【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性

答案第4页，共42页

质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

（1）根据条件可以得出NE=ZADC=90°,进而得出RtASC^^RtACJZ）；

（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；

【详解】（1）证明：•・•/DLCE,BELCE,

.•.NE=N/Z）C=90。，

在Rt^BCE和RtaG4Z）中，

jAC=BC

[BE=CD'

：.Rt△BCE2RLC4D（HL）.

（2）解：vRtABCE^Rt/\CAD,

BE=DC,CE=AD=2.4,

vDC=CE-DE,DE=1.6,

.■.DC=CE-ED=2A-l.6=0.S,

BE=0.8.

313

13.（1）证明见解析；（2）-<x<y；（3）证明见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练

掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键.

（1）延长/。至点E,使ED=AD,连接3E,如图所示，根据题意，由三角形全等的判定

得到A/OC%ED8（SAS）,从而根据全等三角形性质即可得证；

（2）延长EP至点。，使尸0=PE,连接世，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到

DE=FQ=3,设PE=PQ=x,在△尸中，由三边关系即可得到答案；

（3）延长4D至点使地>=4D,连接如图所示，得到/M=24D,再由三角形

全等的判定与性质得到2M=C4,ZDBM=ZDCA,进而可确定A/C。取A〃B/（SAS）,再由

全等性质即可得证.

【详解】（1）证明：延长4D至点£,使ED=4D,连接BE,如图所示：

答案第5页，共42页

V4D是△45。的中线,

BD=DC,

在△4DC和AEDB中,

DC=BD

</ADC=/EDB,

AD=ED

.“ADC知EDB(SAS),

AC=BE；

（2）解：延长取至点。，使尸。=尸石，连接尸。，如图所示:

•・•£/是SEF的中线，

・•・PD=PF,

在△尸QE和△尸尸0中,

PD=PF

<ZDPE=ZFPQ,

PE=PQ

・•・八PDEaPFQ(SAS),

,・.DE=FQ=5,

^PE=PQ=x,

在△尸0£中，由三边关系可得斯一尸0<0E<E尸+尸0,即8-5<2%<8+5,

313

:.—<%<—：

22

(3)证明：延长40至点使=连接W,如图所示：

AM=2AD,

•・•力。是△4SC的中线,

答案第6页，共42页

；,BD=CD,

在△的VZO和△C4D中，

'MD=AD

<ZBDM=ZCDA,

BD=CD

.•.△BMZ)%GW(SAS),

BM=CA,ZDBM=ZDCA,

•・•ABAC=NACB,AACQ=ABAC+/ABC,ZMBA=/DBM+AABC,

：.AACQ=AMBA,

在△zc。和ajv侬中，

'CA=BM

<ZACQ=ZMBA,

QC=AB

.-.AACQ^MBA(SAS),

,-.AQ=AM=2AD,

14.见解析

【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长4。至点区使DE=D4,

连接C£,证明△/助之得出45=EC,进而根据三角形的三边关系，即可得证.

【详解】证明：如图，延长4D至点使DE=D4,连接CE,

在中，

DE=DA

<ZADB=ZCDE

BD=CD

小ABDmAECD,

・•.AB=EC.

在中，AC+EC>AE,

・•.AB+AC>2AD,

即AD<^AC+AB).

答案第7页，共42页

A

E

15.(1)\<AD<5-(2)BE+CF>EF,见解析；(3)AF+CF=AB,见解析

【分析】(1)由己知得出+即6-4<N£<6+4,为NE的一半,

即可得出答案；

(2)延长FD至点/，使。河=。尸，连接a0,EM,可得ABMD咨ACFD,得出

BM=CF,由线段垂直平分线的性质得出EM=所，在ABME中，由三角形的三边关系得

出BE+BM>EM即可得出结论；

(3)延长AE,DF交于点G,根据平行和角平分线可证AF=FG,也可证得4ABE空AGCE,

从而可得A8=CG,即可得到结论.

【详解】解：(1)如图①，延长4D到点E,使DE=AD,连接BE,

•••D是2c的中点，

BD=CD,

ZADC=ZBDE,

.•.A/CZ）段A£&D（SAS）,

BE=AC=4,

在△ZBE中，AB-BE<AE<AB+BE,

***6—4<A,E<6+4,,

.•・2<AE<10,

.,.1<AD<5,

答案第8页，共42页

故答案为：

(2)BE+CF>EF,理由如下：

延长尸。至点使DM=DF,连接9、EM,如图②所示.

A

同(1)得：丝△CFD(SAS),

；,BM=CF,

•；DEIDF,DM=DF,

・•.EM=EF,

在中，由三角形的三边关系得:

BE+BM>EM,

；,BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下：

如图③，延长Z£,DF交于息G,

•・•AB//CD,

：./BAG=NG,

在和^GCE中,

CE=BE,

</BAG=/G,,

ZAEB=ZGEC

答案第9页，共42页

.•.△/BE绦GEC(AAS),

CG=AB,

•.•/E是NA4厂的平分线，

/BAG=ZGAF,

■.ZFAG=ZG,

AF=GF,

■:FG+CF=CG,

AF+CF=AB.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线一倍长中线法、全

等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通

过作辅助线证明三角形全等是解题的关键.

16.(1)1</。<5

Q)EF=2AD,证明见解析

(3)见解析

【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系.

(1)由作图可得/E=24D,根据“SAS”证得△/DC也△功澄，得至lj8E=/C=4,在“BE

中，根据三角形的三边关系有+代入即可求解；

(2)延长40到使得。M=4D,连接BN,则/M=2AD,由(1)同理可证

„BDM^ACAD(SAS),得到3河=/。=/尸，BM//AC,从而+N8/C=180。，又

NR4C+/F4E=180。,因此=进而得证/(SAS),故

EF=AM=2AD；

(3)取8c的中点为M,连接并延长至N,使AM=MN,连接BN、DN,证得

AACMANBM(SAS)得至IjAC=NB,证得xAEMANDM(SAS)得至ijAE=ND.

延长/。交BN于R由三角形的三边关系得到4B+3N>4D+DN,即

AB+AC>AD+AE.

【详解】(1)■.-DE=AD,

.-.AE=AD+DE=2AD

・•・ND是8c边上的中线，

答案第10页，共42页

:,BD=CD,

在△，Z)C和AEDB中,

CD=BD

<ZADC=ZEDB,

AD=ED

.-.^ADC^EDB(SAS)f

BE=AC=4,

•・•在△力BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即6—4<2/。<6+4,

.,.1<AD<5.

故答案为：

(2)EF=2AD,

理由：如图，延长4。到使得。河=40,连接敏,

M

图2

・•.AM=AD+DM=2AD,

・・・4。是△Z3C的中线，

・•.BD=CD,

在2BDM和△C/X4中

BD=CD

</BDM=ZCDA

DM=DA

.•.△5Q"%CrU(SAS),

答案第11页，共42页

・•.BM=AC,

-AC=AF,

・•・BM=AF,

•・•^BDM^CAD,

ZMBD=ZACD,

・•.BM//AC,

ZABM+ABAC=1^0°,

•••N3ZE+NG4尸=180。,

・•.ABAC+ZFAE=360°-(/BAE+ZCAF)=360°-180°=180°,

・•・AABM=ZFAE,

在和尸中

AB=AE

<NABM=NEAF,

BM=AF

.•.△45河段△£/尸(SAS),

・•・AM=EF,

•・.AM=2AD,

・•.EF=2AD；

(3)取BC的中点为"，连接ZM并延长至N,使连接BN、DN,

A

图3

・・•点M是5。的中点,

：.CM=BM,

答案第12页，共42页

在和ATVSM中,

CM=BM

<NAMC=ZNMB

AM=NM

.•.AACM\NBM（SAS）,

AC=NB

BD=CE,

.-.BM-BD=CM-CE,BPDM=EM,

在和河中，

'EM=DM

<NAME=ZNMD

AM=NM

.-.^AEM^NDM（SAS）,

AE=ND,

延长AD交BN于F,

则AB+8/S.FN+DF>DN,

：.AB+BF+FN+DF>AD+DF+DN,

：.AB+BN>AD+DN,

即AB+AC>AD+AE.

17.（1）EF=BE+DF,证明见解析（2）EF=BE-DF,证明见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质.本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过

旋转构造全等三角形.

（1）结论：E尸尸.将△2。尸绕点A顺时针旋转，使4D与重合，得到

△ABF',然后求出/E4P=NE4F=45。，利用“边角边”证明△/防和全等，根据

全等三角形对应边相等可得斯=EF',从而得解；

（2）结论：EF=BE-DF,证明方法同法（1）.

【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF.

理由：如图1,将尸绕点A顺时针旋转，使/。与48重合，得到

答案第13页，共42页

则：ZF'AB=ZDAF,ZABF'=ZD=90°,AF=AF',BF'=DF,

ZABF'+ZABC=\30°,即：尸，氏E三点共线，

ZEAF=45°,

ZDAF+ZBAE=90°-ZEAF=45°,

ZBAF'+ZBAE=45°,

ZEAF'=ZEAF=45°,

在△/£尸和中，

'AF=AF'

<ZEAF=NEAF',

AE=AE

丝△£/尸(SAS),

.­.EF=EF',

又EF'=BE+BF',

:.EF=BE+DF.

(2)结论：EF=BE-DF.

理由：如图2,将尸绕点A顺时针旋转，使AD与48重合，得至IJA/W,

图2

则：BF'=DF,AF'=AF,

同法(1)可得：A4EF咨AAEF^SAS),

EF=EF',

答案第14页，共42页

又EF'=BE-BF'=BE-DF,

:.EF=BE-DF.

18.(1)①见详解②见详解

Q)DE=AD-BE,证明见详解

⑶DE=AD-BE

【分析】(1)①由N/CB=90。，得N/CD+/BCE=90。，而4D_LACV于。，2E_LMV于

E,则/40。=/。即=90。，根据等角的余角相等得到44。=/。8£,易得

AADC^ACEB(AAS).②因为△/DCgzXCE8(AAS),所以/D=CE,DC=BE,即可

得至U=DC+CE=BE+ND；

(2)根据等角的余角相等得到44co=NC8E,易得△/DC之△CEB,得到/O=CE,

DC=BE,所以DE=CE-CD=AD-BE；

(3)DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=AD-BE证明的方法与(2)相同.

【详解】(1)证明：①,:NACB=90°,

.-.ZACD+Z.BCE=90°,

因为4D_LTW于。，BE1MN于■E,

：.NADC=ZCEB=90°,NBCE+NCBE=90°,

ZACD=ZCBE,

在△4DC和ACEB中，

'AADC=ZCEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

AADC^^XCEB(AAS),

②由①知AADC2ACEB,

AD=CE,DC=BE,

：.DE=DC+CE=BE+AD-,

(2)解：DE=AD-BE,

在△NOC和ACEB中，

ZADC=ZCEB=90°

<NACD=ZCBE,

AC=CB

答案第15页，共42页

...AADC0△CEB(AAS),

AD=CE,DC=BE,

；.DE=CE-CD=AD-BE；

(3)解：结论：DE=BE-AD.

与(2)同法可得△4DCgZ\CE8(44S),

AD=CE,DC=BE,

：.DE=CD-CE=BE-AD.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对

应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.也考查了直角三角形全等的判定与性质.

19.(1)见解析；(2)结论斯=+不成立，应当是斯=BE-FD理由见解析

【分析】(1)延长砂到点G,使BG=DF,连接/G,由全等三角形的判定和性质得出

AABG^AADF(SAS),AG=AF,Z1=Z2,继续利用全等三角形的判定得出

AAEG^AAEF(SAS),结合图形及题意即可证明；

(2)在BE上截取2G,使BG=DP,连接4G,结合图形利用全等三角形的判定得出

△/BG之尸(SAS),再次使用全等三角形的判定得出尸(SAS),利用全等

三角形的性质即可证明.

【详解】(1)证明：如图①，延长班到点G,使BG=DF,连接/G.

又•:ZABG=/ABC=ZD=90°,AB=AD,

/\ABGg△NOb(SAS),

AG=AF,N1=Z2,

V-.-AEAF=-ZBAD,

2

Z1+Z3=Z2+Z3=AEAF=-ZBAD,

2

NG4E=/LEAF,

又•••AE=AE,

.•.△/EGJ4E产(SAS),

EG=EF，

•：EG=BE+BG=BE+DF,