数理统计 - 多维随机变量及其分布

PAGE2第三章多维随机变量及其分布一、基本内容与公式1.二维随机变量的概念设随机试验的样本空间为,而是定义在上的两个随机变量,称为定义在上的二维随机变量。2.二维随机变量的分布函数设是二维随机变量,对任意实数,二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.3.联合分布函数的性质:且对任意固定的对任意固定的关于和均为单调非减函数,即对任意固定的当对任意固定的当关于和均为右连续,即4.二维离散型随机变量及其概率分布若二维随机变量只取有限个或可数个值,称为二维离散型随机变量.为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.二维离散型随机变量的概率分布(分布律),其中满足：1）；2）二维离散型随机变量的分布函数6.二维连续型随机变量及其概率密度为连续型随机变量的分布函数。为连续型随机变量的概率密度。7.概率密度函数的性质落入内的概率为8.边缘分布函数关于的边缘分布函数：关于的边缘分布函数：9.离散型随机变量的边缘分布关于的边缘分布律：关于的边缘分布律：关于的边缘分布函数：关于的边缘分布函数：10.连续型随机变量的边缘分布关于的边缘分布密度：关于的边缘分布密度：关于的边缘分布函数:关于的边缘分布函数:11.几个常用二维随机变量的分布二维均匀分布：在上服从均匀分布，的面积为.其概率密度二维正态分布服从参数为的二维正态分布，其概率密度为：其中均为常数,且.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布。随机变量的独立性离散型：对一切均成立：连续型：对一切均成立：13.两个独立随机变量的和分布：离散型：当独立，的概率分布为：设，则；设，则连续型：当独立，有设，则二、教学基本要求1．理解二元随机变量的含义及其实际意义。2．熟悉二元随机变量的分布函数的定义和性质。3．熟悉二元离散型随机变量的联合分布的定义和性质。4．会求二元离散型随机变量的联合分布。5．熟悉二元连续型随机变量的概率密度函数的定义和性质。6．理解二元随机变量的边缘分布的含义。7．会求二元离散型、连续型随机变量的边缘概率分布和边缘密度函数。8．了解二元均匀分布和二元正态分布。9．理解两个随机变量相互独立的定义及判断方法，会利用随机变量的相互独立性求二元随机变量的概率分布或概率密度。10．会求两个独立的随机变量的和分布。教学重点：两元随机变量的联合分布和边缘分布；随机变量落在区域内概率的计算。两元随机变量独立的条件；两个独立随机变量和分布及最大最小分布。教学难点：两元连续型随机变量的联合分布及边缘分布。三、典型例题分析例1设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1~中等可能地取一整数值，试求的联合概率分布律和边缘分布。解：显然，可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1，2，3；但只可取（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）这十组数，所以根据概率乘法和古典概率计算公式可得，；；；；；；；；于是，的联合分布为：012300001002031边缘分布为：01230123例2把三个相同的球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落入第一号盒子中的球的个数为，落入第二号盒子中的球的个数为，试求随机变量的概率分布和边缘分布。解：显然的可能取值为：０，１，２，３；同样的可能取值为：０，１，２，３；于是，由概率乘法公式得：；；；；；；，于是012301020030001例3设二维随机变量的联合概率分布为YX010.30.10.110.050.2020.200.05求：及解：＝＋＋＋０＝。。例4设有二元实变量函数，问它是否可成为某二元随机变量的分布函数？解：一个二元函数要成为某一随机变量的分布函数必须满足分布函数的性质。若我们在平面上取四点：，有所以不可能是某一随机变量的分布函数。例5设随机变量等可能的取值（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），求的联合分布函数。0101解：1）显然，当或，有；2）；3）；4）；5）于是所求的分布函数为：例6设二维随机变量的分布函数为(1)试确定常数；(2)的联合分布密度；（3）边缘分布密度；（4）求。解：（1）由联合分布函数的性质，；；；由于，故意解得：；再由。所以，分布函数。（2）联合密度函数为：。（3）边缘密度函数,,(4).例7求常数A；（2）求联合分布函数；（3）求边缘密度；并问是否独立？（4）求；（5）求。解：（1）由于，得。（2）当或时，因为，所以，。当时，；所以，。（3）边缘密度函数为：；；由于，所以独立。（4）。（5）。例8二元随机变量若在矩形区域内的任一点有相同的分布密度，即分布密度在此区域上为常量。求（1）联合分布密度；（2）判断随机变量是否独立？（3）求联合分布函数。解：（1）由题意，在矩形区域上分布密度为，由概率密度的性质，得，所以，。当时，有；；于是，的边缘密度函数为由于，所以独立。分布函数，将整个平面分成五个区域来计算。区域1：或，此时，所以；区域2：时，此时；区域3：时，此时有；区域4：时，此时有；区域5：时，此时有。综上所述，得的联合密度函数为。例9以分别表示二个电子元件的寿命，设的联合密度函数为，试求从开始使用起，在200小时内，以下事件的概率：仅第一个电子元件坏掉；（2）2个电子元件坏；（3）至少有一个电子元件坏；（4）至多有一个电子元件坏。解：（1）仅第一个电子元件坏可表示为：，于是。（2）2个电子元件坏可表示为：，于是。（3）至少有一个电子元件坏可表示为：或，于是。（4）至多有一个电子元件坏可表示为：，于是。例10设随机变量和具有联合概率密度，求边缘概率密度.解：；。说明：二维均匀分布的边缘分布密度不再是均匀分布。例11设随机变量和的概率密度为。问和是否独立？解：由联合分布知，其边缘分布为：；由于，于是，和不独立。例12设随机变量和相互独立，且分别具有下列概率分布：，求随机变量的联合分布律。解：因为和相互独立，于是,由得:013例13设X和Y相互独立，且都在上服从均匀分布，试求二次方程有实根的概率。解：因为X和Y服从均匀分布，所以它们的分布密度函数分别为：由于它们相互独立，所以X和Y的联合分布为：；又因为二次方程有实根的条件为，所以方程有实根的概率为：。例14设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次，用X表示两次中硬币出现的正面的次数，Y表示两次中骰子点数不超过4的次数。试求X，Y的联合概率分布，并求：（1）Z=X+Y；（2）Max(X,Y)；（3）Min(X,Y)；*（4）ln(1+XY).解：由题意，X和Y相互独立，且都服从B（2，p）分布。故有于是它们的联合分布为：Y012012(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)X+Y012123234Max(X,Y)012112222Min(X,Y)000011012ln(1+XY)0000ln2ln30ln3ln5P所以，（1）Z=X+Y的概率分布为：Z=X+Y01234P（2）Z=Max(X,Y)的概率分布