工程物理 - 弯曲变形

1第

6

章弯曲变形

弯曲变形基本方程

计算梁位移的方法

简单静不定梁分析

梁的刚度条件与设计本章主要研究：2§1

引言

§2

梁变形基本方程

§3

计算梁位移的积分法

§4

计算梁位移的奇异函数法

§5

计算梁位移的叠加法

§6

简单静不定梁§7

梁的刚度条件与合理设计3§1引言

弯曲变形及其特点

挠度与转角4

弯曲变形及其特点

挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,

因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础5

挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）6§2

梁变形基本方程

挠曲轴微分方程

挠曲轴近似微分方程7

挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）

w－弯矩引起的挠度

smax<sp－挠曲轴微分方程8

挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴

w

向上应用条件：坐标轴

w

向下时：9§3

计算梁位移的积分法

挠曲轴微分方程的积分与边界条件

积分法求梁位移

挠曲轴的绘制

例题10

挠曲轴微分方程的积分与边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数11

积分法求梁位移qA

=?EI=

常数

建立挠曲轴近似微分方程并积分

利用边界条件确定积分常数由条件

(1),(2)

与式

(b)

，得

计算转角（

）12

挠曲轴的绘制绘制依据

满足基本方程

满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤

画

M图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的

凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状13

例题例

3-1用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段143.最大挠度分析（

）当a>b

时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数发生在AC段15例

3-2

建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：16F=qa例

3-3绘制挠曲轴的大致形状F=qa17§4

计算梁位移的奇异函数法

奇异函数

弯矩通用方程

梁位移通用方程

例题18

奇异函数当需分段建立

M

或

EI

方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算定义奇异函数（或麦考利函数）19

弯矩通用方程用奇异函数建立最后梁段

DE

的弯矩方程：适用于各梁段。例如对于

BC

段（l1,l2）20

梁位移通用方程适用于任一梁段,仅包括两个积分常数,由边界条件确定21

例题例

4-1用奇异函数法计算qA，EI为常数解：1.建立梁位移通用方程222.确定积分常数（

）3.计算转角23例

4-2用奇异函数法计算wA，EI为常数解：（

）24例

4-3建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件解：25§5

计算梁位移的叠加法

叠加法

逐段分析求和法

例题26

叠加法方法分解载荷分别计算位移

求位移之和

当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和27理论依据上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形,比例极限内）（小变形）叠加法适用条件：小变形，比例极限内28

逐段分析求和法

分解梁

分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移

求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体29

例题例

5-1q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求wB=?解：(

)(

)30例

5-2解：(

)(

)(

)31例

5-3图示组合梁，EI=常数，求

wB与qA(

)(

)解：32例

5-4图示刚架，求截面

C的铅垂位移解：33例

5-5求自由端位移d挠曲轴与外力作用面不重合一般情况下解：34§6

简单静不定梁

静不定度与多余约束

简单静不定梁分析方法

例题35

静不定度与多余约束多余约束

凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度

＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3

=

1度静不定5-3

=

2度静不定静不定梁

支反力（含力偶）数超过平衡方程数的梁36

简单静不定梁分析方法选

FBy

为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程1度静不定算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数37

判断梁的静不定度

用多余力

代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－相当系统

计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程

由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力

通过相当系统计算内力、位移与应力等依据－综合考虑三方面关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统注意:相当系统有多种选择38

例题例6-1求支反力解：1.

问题分析2.

解静不定水平反力忽略不计,2多余未知力39例

6-2悬臂梁

AB，用短梁

DG

加固，试分析加固效果解：1.静不定分析402.加固效果分析（刚度）减少

50%减少39.9%3.加固效果分析（强度）41例6-3图示杆梁结构，试求杆

BC

的轴力解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计42例

5-4直径为d的圆截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：43§7

梁的刚度条件与合理设计

梁的刚度条件

梁的合理刚度设计

例题44

梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处:45

梁的合理刚度设计

横截面形状的合理选择

材料的合理选择使用较小的截面面积

A，获得较大惯性矩

I

的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是

E

，为提高刚度，宜选用E

较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的

E

基本相同46

梁跨度的合理选取跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如

l

缩短

20％，dmax

将减少

48.8%47

合