人教版九年级数学下册知识点

九年级下册（人教版数学）知识点汇总

目录

反比例函数....................................................................................1

26.1反比例函数..........................................................................1

•反比例函数的定义..................................................................1

•反比例函数的图像..................................................................1

•反比例函数图像的对称性...........................................................1

•反比例函数的性质..................................................................1

•反比例函数系数k的几何意义.......................................................2

•反比例函数图像上点的坐标特征.....................................................2

•待定系数法求反比例函数解析式.....................................................2

•反比例函数与一次函数的交点问题...................................................3

26.2实际问题与反比例函数...............................................................3

•根据实际问题列反比例函数关系式...................................................3

•反比例函数的应用..................................................................3

相似..........................................................................................5

27.1图形的相似..........................................................................5

•相似图形...........................................................................5

27.2相似三角形..........................................................................5

•相似三角形的判定.................................................................5

•相似三角形的应用.................................................................5

•相似多边形的性质.................................................................5

•相似三角形的性质.................................................................6

•相似三角形的判定与性质...........................................................6

•作图一相似变换.....................................................................6

•射影定理..........................................................................6

27.3位似................................................................................7

•位似变换...........................................................................7

•作图-位似变换......................................................................7

锐角三角函数.................................................................................7

28.1锐角三角函数........................................................................8

•锐角三角函数的定义...............................................................8

•锐角三角函数的增减性.............................................................8

•同角三角函数的关系................................................................8

•互余两角三角函数的关系...........................................................8

•特殊角的三角函数值...............................................................9

28.2解直角三角形及其应用...............................................................9

•解直角三角形......................................................................9

•解直角三角形的应用...............................................................9

•解直角三角形的应用一坡度坡角问题..................................................9

•解直角三角形的应用一仰角俯角问题.................................................10

•解直角三角形的应用一方向角问题...................................................10

投影与视图...................................................................................10

29.1投影...............................................................................11

•平行投影..........................................................................11

•中心投影..........................................................................11

•视点、视角和盲区.................................................................11

29.2三视图.............................................................................11

•简单几何体的三视图..............................................................11

•简单组合体的三视图..............................................................12

•由三视图判定几何体...............................................................12

•作图一三视图......................................................................12

29.3课题学习、制作立体模型............................................................12

•课题学习制作立体模型............................................................13

II

反比例函数

26.1反比例函数

•反比例函数的定义

【反比例函数的概念】

形如回的函数称为反比例函数.其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数.

【反比例函数的判断】

•判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意

义去判断，其形式为团或回.

•反比例函数的图像

【反比例函数的图象】

反比例函数国的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线

①当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限

②k>0

•反比例函数图像的对称性

【反比例函数图象的对称性】

1.反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，

对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；一、三象限的角平分线y=x；

对称中心是：坐标原点.

•2.若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；

•3、反比例函数国与团的图象关于x轴,y轴对称.

•反比例函数的性质

1

斤的符号图像所过象限性质

二

在每个象限内，

左〉0第一、三象限

V随X的增大而减小

4

在每个象限内，

左VO第二、四象限

工F随x的增大而增大

0

•反比例函数系数k的几何意义

【反比例系数的几何意义】

1.在反比例函数国图象中任取一点，过这一个点向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定

值固

•2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面

积是回，且保持不变.

•反比例函数图像上点的坐标特征

【反比例函数图象上的点的坐标特征】

1.若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式

•2.若点回在反比例函数图象上，贝岫也一定在反比例函数图象上

•3.若点A(x,y)在反比例函数团的图像上，则xy=k

•待定系数法求反比例函数解析式

【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】

k

⑴设出含有待定系数的反比例函数解析式,一，伏为常数，k卢0)；

(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到待定系数的方程；

⑶解方程，求出待定系数；

⑷写出解析式.

2

•反比例函数与一次函数的交点问题

【反比例函数与一次函数的交点】

1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则

两者有交点，方程组无解，则两者无交点；

(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等

量关系.

2.判断正比例函数回和反比例函数团在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

⑴当kl与k2同号时，正比例函数国和反比例函数团在同一直角坐标系中有2个交点；

(2)当kl与k2异号时，正比例函数目和反比例函数团在同一直角坐标系中有0个交点.

26.2实际问题与反比例函数

•根据实际问题列反比例函数关系式

【列反比例函数关系式的一般解题思路】

根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实

际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析.首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到

反比例函数关系式.

根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完

成的.

注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围.

【根据实际问题列反比例函数的步骤】

步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系。

•步骤2：设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。

•步骤3：歹!］：由题目的已知条件列出方程，求出待定系数。

•反比例函数的应用

【利用反比例函数解决实际问题的步骤】

审：审清题意,找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系。

设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。

列：由题目的已知条件列出方程，求出待定系数。

写：写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围。

解：用函数的图象和性质解决实际问题。

3

［由题意画图象◄----------

______________________建立反比例_

，实际、一应用现实生舌中函数模型_,由图象榴析式

I问题厂〉的反比例关系------------------)----------------

运用反比例函数的性质

4

相似

27.1图形的相似

•相似图形

【相似图形的定义】

相似图形：我们把形状相同的图形称为相似图形.

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；

全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相同；

判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与图形的大小、位置无关，这也是相似图形的

本质.

27.2相似三角形

•相似三角形的判定

【相似三角形的判定定理】

1.平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时

要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.

2.三边法：三边成比例的两个三角形相似；

•3.两边及其夹角法：两组成比例且夹角相等的两个三角形相似；

•4、两角法：有两角相等的两个三角形相似.

•相似三角形的应用

【相似三角形的应用】

用相似解决实际生活中的问题，可依据实际问题的背景抽象出三角形，构建相似的模型，运用相似的性质

和判定得出数学问题的答案，从而求得实际问题的结果

1.利用影长测量物体的高度.其测量原理为：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性

质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.

•2、利用相似测量河的宽度（测量距离）.其测量原理为：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构

造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量

构造直角三角形.

•3、借助标杆或直尺测量物体的高度.

•相似多边形的性质

【相似多边形定义】

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形.相似多边形

对应边的比叫做相似比.

【相似多边形的性质】

5

①对应角相等；

•②对应边的比相等.

•相似三角形的性质

【相似三角形的定义】

如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似.

【相似三角形的性质】

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.

•（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

•相似三角形的判定与性质

【相似三角形的判定】

1.平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时

要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.

2.三边法：三边成比例的两个三角形相似；

3.两边及其夹角法：两组成比例且夹角相等的两个三角形相似；

4、两角法：有两角相等的两个三角形相似.

【相似三角形的性质】

1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2.相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.

•3、相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

•作图-相似变换

【相似变换的作图】

1.相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的

相似变换作图.如图所示：

•2.如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据.比较简单的是把原三角形的

三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.

•射影定理

6

【射影定理内容】

1.直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.

2、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

【射影定理数学语言】

团中,EI,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

①AD2=BD・DC

（2）AB2=BDBC

AC2=CDBC

A

BDC

27.3位似

•位似变换

【位似图形的定义】

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位

似中心.

注意：

①两个图形必须是相似图形；

②对应点的连线都经过同一点；

③对应边平行或者位于同一条直线上.

④位似图形上任意一对对应点,到位似中心的距离之比等于相似比

【位似图形与坐标】

•在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的

比等于k或-k.

•作图-位似变换

【画位似图形的一般步骤】

1.确定位似中心；

2.分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；

3.根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；

4、顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩

小.

7

锐角三角函数

28.1锐角三角函数

•锐角三角函数的定义

【正弦、余弦、正切的概念】

在团中，固

1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做团的正弦，记作回.

即斜边c

2.余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做回的余弦，记作回.

3.正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做回的正切，记作画

N-4的对边a

tanA=

即乙4的邻边=石

【锐角三角函数的定义】

•锐角A的正弦、余弦、正切都叫做回的锐角三角函数.

•锐角三角函数的增减性

【增减规律】

1.当角度在团间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

•2.当角度在团间变化时，团同tanA>0.

•注：锐角三角函数值都是正值.

•同角三角函数的关系

【平方关系】

sin2A-\-cos2A=1

【积的关系（正余弦与正切之间的关系）】

•一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即回或固

•互余两角三角函数的关系

【正余弦之间关系】

在直角三角形中,团时，正余弦之间的关系为：

①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即回;

②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即回;

也可以理解成若回，那么回或固

【互余两角正切之间关系】

8

•在直角三角形中,回时，一个角的正切值乘以其余角的正切值积为1,即回

•特殊角的三角函数值

30°,45。、60。角的三角函数值

30°45°60°

1

sina或正

222

1

cosa在立

222

taila也1后

3

28.2解直角三角形及其应用

•解直角三角形

【解直角三角形的概念】

一般地，在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.由直角三角形中除直角外的已

知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

【解直角三角形的类型与解法】

已知条件解法步骤图示

由tanA=7,求NA;

两直角边（如a,b）b

22

两zB=90°-zA,c=yja+bRt^ABC

边由sinA=-,求NA;

cB

斜边，一直角边（如）2

c,azB=90°-zA,b=Vc—a2一

一直角锐角，邻边（如NA,b）zB=90°-zA,a=b*tanA,c='一

cosAa

边边和

锐角，对边（如N）zB-90-zA,b------c-.......A

T兑角A,atanAsinAbc

角

斜边，锐角（如c,NA）zB=90°-zA,a=c*sinA,b=c*cosA

•解直角三角形的应用

【解三角函数应用题的一般过程】

1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.

•2、根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转

化得到实际问题的答案

•解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【坡度和坡角的定义】

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作团；

坡度：坡面的铅垂高度和水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，

【坡度与坡角的关系】

坡度等于坡角的正切值，即固坡角越大，坡度也就越大.

9

•解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【概念】

仰角和俯角：它们都是视线与水平线所成的角，如图，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下

方的角叫做俯角

•解直角三角形的应用-方向角问题

【方向角的定义】

指北或指南方向线与目标方向所成的小于90。的角叫做方向角.

【方向角的表示形式】

方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角都写成“北偏……•‘南偏……”的形式，而

一般不写成“西偏……东偏……”的形式.例如：北偏东30。，南偏东45。，其中南偏45。东习惯上又叫做

东南方向，北偏东45。习惯上又叫东北方向，北偏西45。习惯上又叫做西北方向，南偏西45。习惯上又叫西南

方向.

10

投影与视图

29.1投影

•平行投影

【平行投影的概念】

由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.

【平行投影的特征】

1.等高的物体垂直于地面放置时，在太阳光下，它们的影子一样长；

2.等长的物体平行于地面放置时，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度；

3、两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形

对应边成比例.

【平行投影的变化规律】

1.太阳光线下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，