2024-2025学年北京某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京交大附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各式：①道，②③®④汨，⑤尸”中，最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.在△ABC中，乙4,乙B,NC的对边分别为a,b,c,下列条件中可以判断乙4=90。的是（）

A.a=3,b=4,c=5B.a=6,b=5,c=4

C.a=2,b=",c="D.a=1,b=2,c=避

3.直线y=a%+b经过第一、二、四象限，则直线y=6%+。的图象只能是图中的（）

4.若关于久的一元二次方程/-3%+血=0有两个相等的实数根，则实数6的值为（）

9Q

A.-9B.――C.~7D.9

5.下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年

龄的统计量是（）

年龄/岁11121314

频数/名56

A,平均数B.方差C.中位数D.众数

6.如图，在长为60爪，宽为40nl的矩形耕地上，修筑同样宽的二条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向

与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为2024m2,问道路应为多宽？若

设道路宽为xzn,则下列方程正确的是()

A.40x60-40x2x-60x=2024

B.40x60-(40-x)(60-2x)=2024

C.(40-x)(60-2x)=2024

D.40X60-40X2x—60x—2x2=2024

7.如图1,在△ABC中，Z4=90°,AB=3,AC=4,P是边BC上的一个动点，过点P分另U作PD14B于

点D,PE1AC于点E,连接DE.如图2所示的图象中，”（辞■）是该图象的最低点,下列四组变量中，y与x之

间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（）

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y

A.点P与B的距离为x,点P与C的距离为y

B.点P与B的距离为x,点。与E的距离为y

C.点P与D的距离为久,点P与E的距离为y

D.点P与。的距离为无,点。与E的距离为y

8.如图，点A,B,C在同一条直线上，点8在点4C之间，点、D,E在直线AC同侧，AB<BC,

Z4=ZC=90°,4EAB咨4BCD,连接DE.设4B=a,BC=b,DE=c,给

出下面三个结论：

①a+b<c；

@a+b>yja2+b2；

③姆(a+6)>c.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.式子曲二I在实数范围内有意义，贝取的取值范围是

10.将直线y=kx+3向上平移3个单位长度后经过点（1,4）,则k的值是.

11.在口A8CD中，若乙4=4B+50°,则AB的度数为度.

12.已知x=2是一元二次方程/-2小久4-4=0的一个解，则根的值为

13.将抛物线y=2%2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为

14.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容90分、演讲能力80分、演讲效果90分，若按照演讲内容占50%,演

讲能力占40%,演讲效果占10%,计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为.

15.如图，矩形48CD的对角线AC、8。相交于点0,A.AOB=60。，AB=2,那

么BC的长是.

16.已知抛物线y=ax2+bx+c（a,比c是常数,a大0）经过点（一1,一1）和（0,1）,当x=一2时，与其对应的函

数值y>1,有下列结论：①abc>0；②关于x的方程a/+bx+c+1=。有两个不等的实数根；

③a>2；④若方程a/+bx+c=。的两根为x2>则的+x2<一2.其中正确的有.

三、计算题：本大题共1小题，共4分。

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17.解方程：X2-2X-3=0.

四、解答题：本题共U小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题4分）

计算：（2024-TT）0+CI）-1+|V3-2|-V27.

19.（本小题6分）

在数学课上，老师布置任务：利用尺规”作以线段2B为对角线的正方形”.

小丽的作法如下：

①分别以点4B为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于E、F两点；

②连接EF,与48交于点。；

③以点。为圆心，。力长为半径作弧，与EF交于C、D两点；

④分别连接线段"，BC,BD,D4所以四边形4DBC就是所求作的正方形.

根据小丽的作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•••OA=OB,OC=OD,

•••四边形4DBC为平行四边形.（）（填推理的依据）

OA=OB=OC=OD,即4B=CD,

■■四边形2DBC为矩形（填推理的依据）

CDAB,

•••四边形2DBC为正方形"填推理的依据）

AB

20.（本小题6分）

已知关于尤的一元二次方程/一（爪+3）x+2+m=0.

（1）求证：对于任意实数小，该方程总有实数根；

（2）若这个一元二次方程的一根大于2,求小的取值范围.

21.（本小题6分）

已知二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的部分对应值如下表：

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X-2-101234

y50-3-4-30m

(1)二次函数图象的开口方向,顶点坐标是,巾的值为;

(2)点P(—3,月)、Q(2)2)在函数图象上，yi丫2(填<、>、=)；

(3)当y<0时，x的取值范围是；

(4)关于x的一元二次方程ax2+以+c=5的解为.

22.(本小题5分)

在平面直角坐标系*。丫中，函数y=kx+b(k力0)与丫=-kx+3的图象交于点(2,1).

(1)求k,6的值；

(2)当久>2时，对于x的每一个值，函数y=力0)的值既大于函数丫=kx+b的值，也大于函数

y=-fcr+3的值，直接写出m的取值范围.

23.(本小题6分)

如图，在△ABC中，4CAB=90°,点、D,E分别是BC,4C的中点.连接DE并延长至点F,使得EF=DE.连

接”，CF,AD.

(1)求证：四边形力DCF是菱形；

(2)连接BF,若乙4cB=60。，AF=2,求BF的长.

24.(本小题5分)

某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.

(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描

述和分析.下面给出了部分信息.

①教师评委打分：

86889091919191929298

b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组：第1组82Wx<85,第2组85Wx<88,第3组

88<x<91,第4组91<久<94,第5组94Wx<97,第6组97WxW100)：

c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：

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平均数中位数众数

教师评委9191m

学生评委90.8n93

根据以上信息，回答下列问题：

①加的值为，n的值位于学生评委打分数据分组的第组；

②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为鼠则I91（填

“>”“=”或“<”）；

（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.

平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、

乙、丙三位选手的打分如下：

评委1评委2评委3评委4评委5

甲9390929392

乙9192929292

丙90949094k

若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k（k为整数）的值

为.

频数+

12

8

6

3

2

O

28588919497100打分

25.（本小题6分）

电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡8。上按水平距

离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米Q4B=CD=27米），以过点4的水

平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点。建立平面直角坐标系，如图所示.经测量，4。=40米，斜

坡高度12米（即8、。两点的铅直高度差）.

结合上面信息，回答问题：

(1)若以1米为一个单位长度，则。点坐标为,下垂电缆的抛物线表达式为.

(2)若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，

否则存在安全隐患(说明：直线G”1久轴分别交直线BD和抛物线于点口、G.点G距离坡面的铅直高度为G”

的长)，请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由.

26.(本小题6分)

在平面直角坐标系工。>中，点(%1即)，(久2，打)在抛物线丫=a/+6%+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为

x—t.

(1)若对于久I=l,X2=3,有m=71,求t的值；

(2)若对于t—l<小<32<X2<3,存在6>九，求t的取值范围.

27.(本小题6分)

已知：在正方形4BCD中，点E是BC延长线上一点，且CEKBC,连接DE,过点D作DE的垂线交直线4B于

点凡连接EF,取EF的中点G,连接CG.

(1)当CE时，

①补全图1；

②求证：4ADF会4CDE；

③用等式表示线段CD,CE,CG之间的数量关系，并证明.

(2)如图2,当CE>BC时，请你直接写出线段CD,CE,CG之间的数量关系.

E

图1图2

28.(本小题6分)

在平面直角坐标系工。了中，M为平面内一点.对于点P和图形加给出如下定义：若图形W上存在点Q,使得点

P与点Q关于点M对称，则称点P为图形M关于点M的“中心镜像对称点

(1)如图1,X(-l,l),B(2,l).

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①在点匕(一2,-1),22(。,一2)，P3(|,-l),24(2,-1)中，线段4B关于点M(0,0)的“中心镜像对称点”是

②若点P(l,-3)是线段48关于点的“中心镜像对称点”，请直接写出点M的横坐标a的取值范围；

(2)如图2,矩形CDEF中，C(2,-l),D(-2,-l),E(—2,l),F(2,l).若直线y=久+m上存在矩形CDEF关于

点2)的“中心镜像对称点”，请直接写出小的取值范围.

图1图2

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参考答案

1.5

2.C

3.0

4.C

5.C

6.C

7.5

8.D

9.x>2

10.-2

11.65

12.2

13.y=2(x-3)2+2

14.86分

15.24

16.①②③

17.解：将原方程左边分解因式，得

(%—3)(%+1)=0,

.・.%—3=。或久+1=0,

­•­=3,冷=—1.

18.解:(2024-71)°+|V3-2|-A/27

=1+3+(2—^/3)—3A/3

=1+3+2—y/^—3

=6-4

第8页，共15页

19.(1)解：图形如图所示:

(2)证明：0A=OB,0C=0D,

•••四边形2DBC为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),

•••0A=OB=0C=0D,即4B=CD,

•••四边形4DBC为矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，

CD1AB,

四边形2DBC为正方形(对角线垂直的矩形是正方形).

20.(1)证明：1.■关于x的一元二次方程/一(爪+3)x+2+m=0,

4=(m+3/一4X1X(2+m)=(m+I)2>0,

对于任意实数该方程总有实数根；

(2)解：设方程的两个实数根为尤1、冷，

_m+3+(m+1)

•1%=2'

•••m+2,%2=1，

・・•这个一元二次方程的一根大于2,

m+2>2,

解得：m>0,

•••m的取值范围根>0.

21.(1)向上；(1-4)；5；

(2)>；

(3)-1<%<3；

(4)%=-2或4.

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22.解:(1)v直线y=-kx+3点(2,1),

-2/c+3=1,

解得k=1，

将点(2,1)代入y=%+b得：2+h=1,

解得b=-l.

(2),•・当%>2时，对于％的每一个值，函数

y-mx(jn。0)的值既大于函数y=%-1的

值，也大于函数y=-％+3的值，

・•・m>1.

*，*TH的取值范围是租>1.

23.(1)证明：•・・点E是AC的中点，

AE—EC.

EF=DE,

・•・四边形ZDCF是平行四边形.

在△48C中，/乙48=90。，点。是BC的中点,

AD=BD=DC.

・・.四边形ADCF是菱形;

•••四边形/DCF是菱形，ACB=60°,AF=2,

・

..CF=DC=AF=2f2LACF=Z.ACD=60°,

・•・乙FCG=180°-^ACF-2LACD=60°,

・•・乙GFC=90°-zFCG=30°,

在△CFG中，Z.CGF=90°,Z.GFC=30°,

•••CG=1CF=1,

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・•.FG=yjCF2-CG2=B

BD=CD=2.

•*.BG-BD+CD+CG=5.

在△BFG中，乙BGF=90°

...BF=y/BG2+GF2=2^/7.

24.(1)91；4；

②<;

(2)甲选手的平均数为擀X(93+90+92+93+92)=92,

-1

乙选手的平均数为/X(91+92+92+92+92)=91.8,

•••丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，

丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，

•••5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92,

2

乙选手的方差眨=|x[4x(92-91.8)+(91—91.8)2]=016)

5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k,

・••乙选手的方差小于丙选手的方差，

丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，

93+90+92+93+92290+94+90+94+k>91+92+92+92+92,

.­-922k>91,

•••k为整数，

k(k为整数)的值为92,

25.(1)(20-15),y=-x2+-x；

(2)这种电缆的架设符合安全要求，理由如下：

由⑴可知：y=^x2+jx,5(-40-27),£>(20,-15),

设斜坡BD解析式为y=依+b,代入8(-40,-27),£((20-15),

—曰(—40k+b=-27

周倚：［20k+b=-15'

‘k=L

解得：〃一5

b=-19

斜坡BD解析式为y=|x-19,

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2

则电缆与坡面的铅直高度GH=焉久2+|x-(1x-19)=加2+9+19=击。+10)+18,

得>。，

.•.当芯=-10时，GH有最小值为18,GH最小=18>13.5,

这种电缆的架设符合安全要求；

26.解：(1),•,点(久1师)，(％2,九)在抛物线y=a"+b%+c(a>0)上，且第i=1,%2=3,m=n,

(2)va>0,

・•・当％之七时，y随汽的增大而增大；当工工时，y随工的增大而减小，

设抛物线上的四个点的坐标为BSzg)，。(2/c)，。(3,沏),

•・•点/关于对称轴久=的对称点为

1A(£+lfmA).

••・抛物线开口向上，点B是抛物线顶点，

••­mA>mB：

①当<［时，

tnc<nD,

,t+1<2.

・•・mA<nc,

•••不存在血>n,不符合题意；

②当时，

1VCW2nc<nD,

2<t+1<3.

・•・mA>nc,

・・・存在租>九，符合题意；

③当2Vy<3时，几的最小值为加中

••­mA>mB,

・・・存在加>?1,符合题意；

④当时，

3<4nD<nc,

・•・2<t-1<3,

.mA>nD,

・•・・存在zn>n,符合题意；

⑤当时，

1>4nD<nc,

t-1N39

第12页，共15页

•••mA<nD,不存在zn>?i,不符合题意;

综上所述，力的取值范围是l<tV4.

27.解：（1）①如图即为所求，

②证明：•・・四边形/BCD是正方形，

.・.AD=CD=AB=BC,/-ADC=cBCD=AD=LABC=90。，

・••乙DCE=180°-90°=90°=^DAF,

•••DF1DE,乙FDE=^ADC=90°,

即NADF+匕FDC=Z-FDC+乙CDE=90°,

•••Z-ADF=Z-CDE,

・•・△ADF^△CDE(ASA)；

③CG=#(CD-CE),理由如下：

在BC上取一点M,使得CM=CE,连接FM,

ADF^ACDE(ASA),

：.AF=CE；

CE=CM,点G是EF的中点，

CG是△EFM的中位线，

CG=^FM,

由②得AB=BC,CE=2F,Z.ABC=90°,

•••AF+BF