函数的基本概念及其性质（解析式定义域值域）-2025年高考数学复习突破（新高考专用）

专题2-1函数的基本概念（解析式，定义域，值域）

近4年考情（2020-2024）

考题统计考点分析考点要求

函数的解析式与定义域、值域问

2021年浙江卷：第12题，5分题是高考数学的必考内容.从近

（1）了解函数的含义，会求

几年的高考情况来看，鬲考对函

简单函数的定义域和值域

年浙江卷：第题，分数的概念考查相对稳定，考查内

2022145（2）会根据不同的需要选择

容、频率、题型、难度均变化不

恰当的方法（图象法、列表

大，函数的解析式在高考中较少

年北京卷：第题，分法、解析法）表示函数

2023115单独考查，多在解答题中出现.

（3）了解简单的分段函数，

曲考对本节的考查不会有大的

并会应用

2024年上海卷，第2题,5分变化，仍将以分段函数、定义域、

值域及最值为主.

模块一卜热点题型解读（目录）

［题型1］函数的概念.......................................................................2

【题型2】同一函数的判断.................................................................3

【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）.............................4

【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）.................................................4

【题型5】求嵌套函数的解析式（换元或配凑）..............................................5

【题型6】求具体函数的定义域..............................................................6

【题型7】已知定义域求参数................................................................7

【题型8】抽象函数的定义域问题............................................................8

【题型9】分离常数法求值域................................................................9

【题型10］换元法求函数的值域.............................................................9

【题型11］对勾函数值域问题..............................................................10

【题型12］已知值域求参数范围............................................................11

【题型13］分段函数及其应用..............................................................12

模块二,，核心题型•举一反三

［题型1］函数的概念

基础知识

一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应

关系力在集合8中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称力A—8为从集合A到集合8的一个

函数，记作y=fix）.

1.下列关系中是函数关系的是（）

A.等边三角形的边长和周长关系B.电脑的销售额和利润的关系

C.玉米的产量和施肥量的关系D.日光灯的产量和单位生产成本关系

2.下列图象中，表示函数关系y=/（x）的是（）

A.3B.4C.5D.6

【巩固练习1）下列图象中，能表示函数y=/（x）图象的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①③

【巩固练习2】设集合M={x|0Wx42},N={y|04y42}.下列四个图象中能表示从集合加到集合

N的函数关系的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【题型2】同一函数的判断

基础知识

两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同;2.解析式相同.

aII（BBMiI11

4.（2024・重庆・二模）下列函数中，与y=》是相同的函数是

A.y=Vx2B.y=IglOx

x2------------------------------

C.y=-D.y=1（x-1）2+1

【巩固练习1]（2024・山东•一模）下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A./(%)=elnx,g(x)=x

B./W=^，5(X)=X-2

C-"x)=|^,g(x)=sinx

D./(%)=\x\,g{x)=y[x^

【巩固练习21(2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)下列各组函数中，表示同一个函数的是()

x2

A./(%)=x,g(x)=-B.f(x)=x(xG/?);<g(x)=x(xGZ)

c.7■(久)=|x|,g(x)=D.f(x)=x,g(x)=(«)2

【题型3】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式）

基础知识

待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法来求解.

5.若二次函数7U）满足/（x+D—八x）=2x,且犬0）=2.求/（X）的解析式

【巩固练习1】已知二次函数满足〃x+l）=〃x）—2x+2,且"0）=2.求的解析式

【巩固练习2】已知函数/■（久）=———2x+3,贝U/（x+1）=

【巩固练习3】（2024•广东东莞•二模）已知函数/（久）=a%一b（a〉0）,/（/（%））=4x-3,则

f(2)=

【题型4】建立方程组求解析式（方程思想）

基础知识

已知关于/U）与或式㈤等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过

解方程组求出於:）.

6.（广东深圳实验校考）已知函数尸〃x）满足2/（X）+"；|=2X,xeR且xwO,则

/W=■

1Y

【巩固练习1】(广东广雅中学校考)已知/(与=4,贝叶(x)=_________.

X1-x

【巩固练习2】若对任意实数x,均有/(x)-2f(-x)=9x+2,求人尤).

【巩固练习3】已知定义在R上的函数满足/(力+^(-力=/+%，则函数八%)的解析式

〃x)=-

【题型5】求嵌套函数的解析式(换元或配凑)

基础知识

换元法：已知复合函数式g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

配凑法：由已知条件式g(x))=F(x),可将尸⑴改写成关于g(x)的表达式，然后以工替代g(x),便得/(%)

的表达式.

7.函数/(%)满足若f(g(%))=9%+3,g(%)=3%+l,则/(%)=()

A./(%)=3%B./(x)=3

C./(%)=27%+10D./(x)=27x+12

8.若函数/[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+l,则等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3%

【巩固练习i]已知函数/xi—%)=M(久力0%则/'(£)=()

A.-^--1(%0)B.

(x-1)2(x-1)2

C.(x-1)2-l('x07)D.(x-1)2'1")

【巩固练习2】已知函数/(x)满足：/1―£)=/+。则/0)的解析式为()

A./(%)=x2+2B./(x)=x2

C./(%)=x2+2(%。0)D./(%)=X2—2(%W0)

【巩固练习3]设函数(1+£|=2X+1,则的表达式为()

1+X/\1+X7\X/\

A.------(%。1)B.------(%1)C.-----D.吕…)

1-xx-11+X

【题型6】求具体函数的定义域

基础知识

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等

式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

9.函数y(x)="3一：+(x—2)°的定义域为

(x-1万

〃2x)

10.已知函数f(x)的定义域为［3,6］,则函数，一Jbgj2一x)的定义域为

【巩固练习1］函数&)=后的定义域为()

A.(-00,3]B.(l,+oo)C.(1,3]D.(-oo,l)U[3,+oo)

【巩固练习2】函数/(x)=-^—+(2x—1)°的定义域为()

y/1-x

【巩固练习3】(2。24•山东泰安三模)已知函数/(")=品，则函数筌的定义域为()

A.(-00,1)B.(-00,-1)

c.(—8,-l)u(—l,0)D.(-8,-l)u(—l,l)

【题型7】已知定义域求参数

基础知识

函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义

域求参数.

一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的

值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较

容易.

11.若函数外吗=7「的定义域为R，则实数上的取值范围是()

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(0,4]

2X-3

12.若函数/(x)=/:的定义域为R,则实数a的取值范围是__________.

7ax+ax+]

【巩固练习1】已知函数f(x)=dmx2+--3)x+1的定义域为R,则实数入的取值范围是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-co,1]u[9,+oo)D.{3}

【巩固练习2】已知函数/(%)=J(a2—1)/+(a+l)x+1的定义域为R,则实数。的取值范围为

()

A.[-1)|]B.(-00,-1)u[|,+0°)

C.[|，+°°)D.(-co,-l]u[1，+°°)

【巩固练习3]已知函数/(%)的定义域{%|小一4a<Xv小一8}是关于式的不等式

(x+〃+2)(x—2)>0的解集的子集，则实数a的取值范围是()

A.[2+V6,+8)B.(—oo,2]u[2+V6,+00)

C.(2,2+伺D.(2,3]

【题型8】抽象函数的定义域问题

基础知识

求抽象函数定义域的方法

⑴若已知函数於）的定义域为则复合函数月g（x）]的定义域可由不等式aWg（x）@求出.

（2）若已知函数力g（x）]的定义域为[a,勿，则式x）的定义域为g（x）在尤e[a,b]上的值域.

总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）.

13.已知函数y=〃x+l）的定义域为口，2],则函数y=〃2x-l）的定义域为（）

"11「3"I

A.—,1B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

14.已知函数丫=/（》+1）的定义域是[-2,3],则y=/（x—l）的定义域是（）

A.[-2,3]B.[-14]C.[0,5]D.MJ]

15.已知函数'=/（刈的定义域为[-2,3],则函数y="2x：l）的定义域为（）

X+1

33

A.[-?1]B.E-p-DuC-U]C,[-3,7]D.启-1)5T7]

【巩固练习1】已知函数y=/（x—1）的定义域为口，2],则函数y=/（2x-l）的定义域为

【巩固练习2】已知函数y=/（x+D的定义域为[-L5],则函数y=f（2d）的定义域为（）

A.[0,3]B.[2,50]C.[-A/3,^/3]D.[-3,右]

【巩固练习3】已知函数y=/（2）的定义域是[-1』，则函数"logs力的定义域是（）

A.[-1,1]B.-1,3C.[1,3]D.[V3,9]

【巩固练习4]（2024•陕西西安・一模）若函数/（£）的定义域是[0,4],则函数g（x）=竽的定义域是

A.[0,2]B.(0,2)C.[0,2)D.(0,2]

【题型9】分离常数法求值域

基础知识

一次分式函数：分离常数法+图像法，形如〃x）=竺土9（ac/o）的函数

cx+d

第一步：分离常数，将分子变为常数

a,,ad7ad1ad

，/、ax+b1（cx+d）+0—二ra分离出常数巴和分子为常数的分式"一下

/（%）=---------=------------------------—=-+-----—,c------

cx+dcx+dccx+dcx+d

第二步：结合反比例函数y=L的值域求函数/（%）的值域.

CX

16.函数丁=生口的值域为

X

Y—?

【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若-[。,2],则函数y="的值域为（）

A.[-2,0]B.(-«>,-2]U[0,+w)C.[0,1]D.[-2,1)

3r+2

【巩固练习2】函数丫=+/的值域为

X-1

【题型10]换元法求函数的值域

基础知识

求根式型函数值域：换元法

形如y=ax+b+y/cx+d(acH0)的函数

第一步：把函数中的根式Ju+d设为一个变量t,并用t表示x,求出t的取值范围.

第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数.

第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域.

17.函数f(x)=—x+2五的值域是.

【巩固练习1](湖南长沙•高一长郡中学校考)函数y=2x+4A/T工的值域为()

A.(一8,8]B.(-00,-8]

C.[2,+co)D.[4,+oo)

【巩固练习2】函数/(x)=2+2,8-十的值域为()

A.(-a),4V2]B.[Y0,9]

C.(3,9]D.(-00,8]

【巩固练习3】(2024・湖北•三模)函数y=%—,4%—4的值域为().

A.[2-2V2,4]B.[0,4]C.[0,2+2V2]D.[2—2企,2+2回

【题型11]对勾函数值域问题

基础知识

h

对于对勾函数y=or+—(〃,/?>0),是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现(看

x

课本上好像也没有叫对勾函数)，可以通过图像法或构造基本不等式来求值域

18.求函数y=x+的值域.

X

19.求函数y=2%+'的值域.

x

(1)XG(—J+00)(2)xE.[-3,——]

3

【巩固练习1］求函数＞=%+—+2的值域.

4

【巩固练习2］求函数＞=%+—的值域.

(1)XG(1,+CO)(2)xe(~94)

【题型12］已知值域求参数范围

基础知识

这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值。这个例题中，可以通过

判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式一元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关

系求得参数。

1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析。

2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别

不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数，我们要get到的是：为了让值域能达到

XX,我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提供

的少了那可就真不够了。

3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合。

20.若函数/(x)=J2尤2_忆+3的值域为域+8)，则实数冽的取值范围是().

A.(-00,-2"]B.(-oo,-2遥]U12#,+oo)

C.|^—2-\/6,25/6JD.^2-$/6,+ooj

21.（2023上.宁波•余姚中学高一校考）已知函数〃x）=log2（2-x）的值域为（-85，则函数

的定义域为

【巩固练习1】（襄阳市第一中月考）已知函数/（x）=〃？-4x+3的值域为［0,+8），求实数上的取

值范围_____.

【巩固练习2】（2023•山东省实验中学校考）已知函数丫=，加+法+c的定义域与值域均为［0』,

则实数。的取值为（）

A.-4B.-2C.1D.1

【题型13］分段函数及其应用

基础知识

分段函数问题往往需要进行分类讨论，