2020-2021学年北师大版八年级上册数学《第1章-勾股定理》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年北师大版八年级上册数学《第1章勾股定理》单元测试卷一．选择题1．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．5km B．8km C．10km D．20km2．有5cm，13cm两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm3．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．3+6 C．2 D．124．下列给出的三条线段的长，不能组成直角三角形的是（）A．32、42、52 B．9、40、41 C．7、24、25 D．5、12、135．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，P为边AB上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则DE的最小值为（）A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.26．下列几组数，能作为直角三角形的三边长的有（）组．①3，4，5；②5，12，13；③6，7，8．A．0 B．1 C．2 D．37．下列各组数是勾股数的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．10，11，128．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝20时，b+c的值为（）A．162 B．200 C．242 D．2889．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（）A．6 B．7 C．12 D．1510．如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5m，则AB的长度为（）A．6m B．7m C．8m D．9m二．填空题11．三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数．12．一个直角三角形的两条直角边边长分别为10和24，则第三边长是．13．已知三角形的两条较短边的长分别为6和8，当第三边的长为时，此三角形是直角三角形．14．如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．15．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为．16．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③；④．其中说法正确的有．（只填序号）17．把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．18．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为19．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．20．如图，台风来时，一根树在离地2米处断裂，断裂部分与地面所夹锐角恰好为30度，树折断之前有米．三．解答题21．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．22．阅读下面材料：勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．23．如图圆柱外点A处有一蚂蚁，想去点P处吃蜂蜜，已知底面圆的直径AB为cm，圆柱高为12cm，P为BC的中点，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．24．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形ABCD的周长及面积；（2）连接BD，判断△BCD的形状．25．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m，求这块草坪的面积．26．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．（1）求证：BD⊥AC；（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题1．解：由题意可得：AB＝＝＝20（km），则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．故选：B．2．解：∵52+132＝，132﹣52＝122，∴木条长度适合的是12cm，故选：B．3．解：如图，AB＝＝2，故选：C．4．解：A、因为92+162≠252，所以三条线段不能组成直角三角形；B、因为92+402＝412，所以三条线段能组成直角三角形；C、因为72+242＝252，所以三条线段能组成直角三角形；D、因为52+122＝132，所以三条线段能组成直角三角形．故选：A．5．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，82+62＝102，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，连接CP，∵PD⊥AC于D，PE⊥CB于E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE＝CP＝＝4.8，故选：B．6．解：满足两边的平方和等于第三边的平方即可，即a2+b2＝c2，将上述数据代入即可发现，只有①②中的三个数满足条件，可以构成三角形．故选：C．7．解：A、42+52≠62，故此选项错误；B、52+72≠92，故此选项错误；C、52+122＝132，故此选项正确；D、102+112≠122，故此选项错误．故选：C．8．解：根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，故选：B．9．解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：25＝4×ab+1，所以2ab＝24，根据勾股定理，得a2+b2＝52，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，因为a+b＞0，所以a+b＝7，所以7+5＝12．所以一个直角三角形的周长是12．故选：C．10．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°．∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠BAD＝∠BAC＝60°；在△ABC中，AD＝3.5m，∠C＝30°，∴AB＝2AD＝7m．故选：B．二．填空题11．解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．故答案为6，8，10（答案不唯一）．12．解：∵直角三角形的两条直角边分别为10和24，∴第三边长＝＝26．故答案是：26．13．解：∵三角形的两条较短边的长分别为6和8，∴当第三边的长为＝10时，此三角形是直角三角形．故答案为：10．14．解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝10cm，故h＝16﹣10＝6cm．故h的取值范围是6≤h≤8．故答案是：6≤h≤8．15．解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；所以最短路径长为cm．故答案为：cm．16．解：①大正方形的面积是10，则其边长是，显然，利用勾股定理可得x2+y2＝10，故选项①正确；③小正方形的面积是2，则其边长是，根据图可发现y+＝x，即③x﹣y＝，故选项③正确；②根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×xy+2＝10，化简得②xy＝4，故选项②错误；④，则x+2y＝4，故此选项正确．故答案为：①③④．17．解：6﹣4＝2，2×2＝4．故图2中小正方形ABCD的面积为4．故答案为：4．18．解：如图，过点A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，解得x＝9，∴CD＝5，在Rt△ACD中，AD＝＝12，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84，故答案为：84．19．解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．20．解：∵AB＝2米，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，∴BC＝2AB＝2×2＝4（米），∴树折断之前有2+4＝6（米）；故答案为：6．三．解答题21．解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+ax+bx所以x＝．答：x与a、b、c的关系为x＝．（3）根据（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化简得a2+b2＝c2．22．解：正确．理由：∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c为勾股数．当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．23．解：已知如图：∵圆柱底面直径AB＝cm、母线BC＝12cm，P为BC的中点，∴圆柱底面圆的半径是cm，BP＝6cm，∴AB＝×2π×＝8（cm），在Rt△ABP中，AP＝＝10（cm），∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．24．解：（1）根据勾股定理得AB＝＝，AD＝＝，CD＝＝，BC＝＝2，故四边形ABCD的周长为+3+；面积为5×5﹣×1×5﹣×1×4﹣1﹣×1×2﹣×2×4＝14.5；（2）连接BD，∵BC＝2，CD＝，BD＝5，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴△BCD是直角三角形．25．解：连接AC，因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2AC2＝42+32AC2＝25，∴AC＝5