2025年高考数学重难点突破训练：指、对、幂数比较大小问题【八大题型】（含答案及解析）

重难点03指、对、塞数的大小比较问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用函数的性质比较大小】............................................................2

【题型2中间值法比较大小】...................................................................2

【题型3特殊值法比较大小】...................................................................3

【题型4作差法、作商法比较大小】............................................................3

【题型5构造函数法比较大小】.................................................................3

【题型6数形结合比较大小】...................................................................4

【题型7含变量问题比较大小】................................................................4

【题型8放缩法比较大小】.....................................................................5

►命题规律

1、指、对、基数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、累数

的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以

及指数函数、对数函数和嘉函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函

数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►方法技巧总结

【知识点1指、对、基数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数塞或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如〃和优2,利用指数函数夕=优的单调性；

②指数相同，底数不同时，如普和叶，利用哥函数y=单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log.西和log,均利用指数函数1。&无单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其

它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规

律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幕函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】（2024・湖南衡阳•模拟预测）已知。=3。，3,6=0.33,c=log0.33,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【变式1-1]（2024•四川自贡•三模）已知a=log23,b=1.202,c=0.521,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【变式1・2】（2024・贵州贵阳•三模）已知a=4°3力=（log4a）4,c=log4（log4Q），则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

a

【变式1-3]（2024•山东泰安・模拟预测）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,则a,瓦c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知a=e°\b=l-21g2,c=2-log310,则a,6,c的大小

关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

i

【变式2-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a=02/=]og65,c=log56,贝!]（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【变式2-2]（2024•山东潍坊・二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°,贝I]（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【变式2-3]（2024•天津北辰•三模）已知a=0.53」，=iOg090.3,c=logi1,则a,b,c的大小关系为

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】（2024•陕西商洛•模拟预测）设a=logo.50.6,b=O.49-0-3,c=O.6-0-6,则a,b,c的大小关系是

（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

b

【变式3・1］（23-24高二下•云南玉溪•期中）已知实数满足2。+。=2,2=V5,c=log163,则

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

4

【变式3-2］（2024•宁夏银川•二模）若a=log",b=（1）,c=log34,4=；则（）

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【变式3-3］（2024・天津和平一模）设0=2力=殁3-㈣9£=6尸，则有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【题型4作差法、作商法比较大小】

_i

【例4】（2023•四川成都•一模）若a=3Tb=（|）\c=logij,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

什ln2,ln3ln5

【变式4-1］（2023•贵州六盘水•模拟预测）右。=予n=—,C贝IJ（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【变式4-2］（2024•四川成都・二模）若a=ln26,6=41n2」n3,c=（l+ln3）2,贝|a,6,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【变式4-3]（2024•全国•模拟预测）若a=20,4,6=30,25,c=logo,70.5,贝心力,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】（2024•全国•模拟预测）已知。=吗，b=ln7xln2,c=,，则（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

..1tr一

【变式5-1]（2024•全国•模拟预测）设a=5Kb=-,c=log45,则6,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【变式5-2]（2024•天津和平•一模）已知a=logo,20.3力=logo.30.2,c=log23,贝Ua,6,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【变式5-3]（2023•河南•校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a?+log2a=0,2023^=log2023b,c=log7V6,

贝U（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【题型6数形结合比较大小】

【例6】（2024•河南•模拟预测）已知a=ln7i力=log3%c=SFln2,贝！Ja,瓦c的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【变式6-1]（2023•江西赣州•二模）若log3%=log4y=log5Z<—l,则（）

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【变式6-2]（2024•全国•模拟预测）已知a==1嗝①胪=现产则实数a力,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

y

【变式6-3]（2024•广东茂名・统考一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2工=3=log5z,贝！|x,y,z大小关系

正确的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【题型7含变量问题比较大小】

【例7】（23-24高三上•天津滨海新•阶段练习）设abc都是正数，且4。=6b=*,则下列结论错误的是

（）

-171

，-=--一

A.c<b<aB.ab+be=acC.4’•96=4°•9D.cba

【变式7-1]（2024•江西•模拟预测）若碇。=加时（。〉0）,则（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定

【变式7・2】（2023•全国•模拟预测）已知a,仇c均为不等于1的正实数，且Inc=alnbjna=bine,贝!Ja,瓦c的

大小关系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【变式7-31（2024•全国•模拟预测）已知正实数a,b,c满足e。+e-2a=e。+0一。,b=log23+log86,

c+log2c=2,贝!Ja,b,。的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2024・陕西西安・模拟预测）若。=。.311・5力=108312£=10826/=）—|,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

1

4

【变式8-1］（2023•河南郑州•模拟预测）已知Q=log35,b=2,1c=31og72+log87,则（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

____3o

【变式8-2］（2023上・安徽•高二校联考阶段练习）已知/=6—%c=log53—§og35,则（

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【变式8-3］（2024•全国•模拟预测）已知a=log8」4,b=log3,ie,c=ln2.1,,则（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

►过关测试

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）设a=log62,b=logi23,c=log405,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

2.（2024•安徽宿州•一模）已知3巾=4,a=2m-3,b=4m-5,则（

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

3.（2024•贵州毕节,一■模）已知a=31og83,b=-|logil6,c=log43,则Q,b,C的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

（•内蒙古赤峰•模拟预测）设（）（）（）贝（）

4.2023a=|,b=|,c=log3log34,U

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

i

5.（2024•云南昆明•模拟预测）已知a=&，6=ln2,c=log32,贝Ua,瓦c的大小关系为（）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

6.（2024•陕西宝鸡•一模）已知实数a,6,c满足号=号=?=2,贝|（）

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

7.（2023•湖南永州•一模）已知。=1。8311/=嬴££=^^,贝1］（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

8.（2023•陕西西安•一■模）已知函数/O）=-2居若2a=log2b=c,贝U（）

A.B.

C./（a）</（c）</（/>）D.

二、多选题

9.（2024•河南洛阳•模拟预测）下列正确的是（）

-001-0001

A.2->2-B.log2V3>log2Tt-1

-001

C.logi.gS<logli75D.log33.01>e

10.（2024・重庆・模拟预测）若6>c>l,0<a<l,则下列结论正确的是（）

aa

A.b<cB.log6a>logca

aa

C.cb<bcD.b\ogca>c\ogba

11.（2024•重庆•一模）己知3a=5。=15,则下列结论正确的是（）

A.lga>lgbB.a+b=ab

C.g）>（：）D.a+b>4

三、填空题

1

12.（2023•北京昌平・二模）3-2,2到og25三个数中最大的数是.

-1

13.（2024•北京通州•三模）已知a=2T，，b=logi-,c=log23,则三者大小关系为（按从小到大

顺序）

_V3广

14.（2023・吉林长春•模拟预测）已知a=log/,b=（¥）3,c=In则a,b,c的大小关系为.

四、解答题

15.（23-24高一•全国•随堂练习）已知x=lmr,y=log52,z=e~.

（1）比较x,j的大小；

（2）比较y,z的大小.

16.（23-24高三•全国•对口高考）（1）比较aYb与胪心似＞0力＞0）的大小;

（2）已知a＞2,比较log（a_i）a与loga（a+1）大小

17.(23-24高一•湖南•课后作业)比较a,b,c的大小：

22

(1)已知1＜久＜2,a=(log2x),b-log2%,c=log2(log2x);

(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.

18.（23-24高一上•广东江门•阶段练习）已知正实数x,乃z满足3'=4〃=62.

（1）求证：14=

（2）比较3x,4y,6z的大小.

2

19.（23-24高一上•广东广州•阶段练习）已知函数/（乂）=3

⑴判断并证明函数/(%)在区间(0,+8)上的单调性；

(2)已知Q=/(2。5)力=/(log25),C=/(0.25),试比较三个数Q,b,。的大小，并说明理由.

重难点03指、对、塞数的大小比较问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用函数的性质比较大小】............................................................2

【题型2中间值法比较大小】...................................................................3

【题型3特殊值法比较大小】...................................................................4

【题型4作差法、作商法比较大小】............................................................6

【题型5构造函数法比较大小】.................................................................7

【题型6数形结合比较大小】...................................................................9

【题型7含变量问题比较大小】................................................................12

【题型8放缩法比较大小】....................................................................14

►命题规律

1、指、对、基数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、累数

的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以

及指数函数、对数函数和嘉函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函

数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►方法技巧总结

【知识点1指、对、基数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数塞或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如〃和优2,利用指数函数夕=优的单调性；

②指数相同，底数不同时，如普和叶，利用哥函数y=单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log.西和log,均利用指数函数1。&无单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其

它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规

律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

（2）指数和幕函数结合来放缩；

（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】（2024・湖南衡阳•模拟预测）已知。=3。，3,6=0.33,c=log0.33,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.

【解答过程】a=30-3>3°=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=log0,33<log0,3l=0,.-.a>b>c.

故选：A.

【变式1-1]（2024・四川自贡・三模）已知a=log?,,6=1.2°，2,c=0.521,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.

【解答过程】因为y=Iog2x在xe（0,+8）上单调递增，

所以a=log2|<log2l=0即a<0；

因为y=1.2支为增函数，故b=1,202>1.20=1即b>1；

因为y=0.5*为减函数，故0<0,52,<05°=1即0<c<1,

综上a<c<b.

故选：A.

【变式1-2]（2024,贵州贵阳•三模）已知。=4。3力=（k）g4a）4,c=log4（log4a）,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1,利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1,利用对数函

数单调性得到c<0,则比较出大小.

【解答过程】因为a=40-3>4°=l,b=（log4a7=0.34<1,且0,34>0,则o<。<i,

c=log4（log4a）=log40.3<0,

所以a>b>c,

故选：A.

【变式1-3]（2024•山东泰安•模拟预测）已知a=log020.3,b=Ina,c=2。，贝!|a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】利用对数函数的单调性求得a力的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.

【解答过程】因为y=logo,2X在（0,+8）上单调递减，J3ffiy.logo,2l<logo,20.3<logo,20.2,即0<a<l,

因为y=Inx在（0,+8）上单调递增，所以lna<lnl,即6<0,

因为丫=2方在R上单调递增，所以2a>2。，即c>l,

综上，c>a>b.

故选：D.

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知a=e。'6=1-21g2,c=2-log310,则a,b,c的大小

关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0,1,分析判断即可.

【解答过程】由题意可得：a=eO,>eO=l,

b=1—2馆2=1—馆4,HO=lgl<lg4<lglO=l,则0<b<l,

因为logs】。>logs9=2,贝!|c=2-log310<0,

故选：B.

_1

【变式2-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a=G）2力=log65,c=log56,贝（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】取两个中间值1和*由。=五>|,b<log66=l,1=1唯5Vcv|即可比较三者大小.

2

【解答过程】a=0=Ve>J|=|,b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故选：C.

【变式2-2]（2024•山东潍坊•二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°，则（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.

【解答过程】a=e-1E(0,1),b=\ga=Ige-1=-Ige<0,c=e0=1,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式2-3](2024•天津北辰•三模)已知。=0.53以，b=logo9()3c=logi1,则a,b,c的大小关系为

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值分析大小即可.

【解答过程】因为y=0.5，在R上单调递减，则0.53]<0.51=今即a<(

又因为y=logo,9%在(0,+8)上单调递减，则logo.90.3>logo.90.9=1,即b>l；

可得c=logQ=log32,且y=log3%在(0,+8)上单调递增，

则t=log3V3<log32<log33=1,Bp|<c<lj

综上所述：a<c<b.

故选：D.

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】(2024•陕西商洛•模拟预测)设a=logo,50.6,匕=0.49一0-3,c=O.6-0-6,则a,b,c的大小关系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用基函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答过程】因为y=logo.5X在(0,+8)上单调递减,y,log0,5l<logo.sO-6<log0.50.5,即0<a<l.

因为y=处6在(0,+8)上单调递增，又0.49-S3=0.7-°-6=(y)06,G.6-Q(,=(|)06,

X|>y>l,所以(沪>0°.6>1。巴故c>6>L所以c>6>a.

故选：A.

b

【变式3-11(23-24高二下•云南玉溪•期中)已知实数满足2。+。=2,2+h=V5,c=log163,则

()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】由对数函数单调性得构造函数f（x）=2x+x,xeR,由函数的单调性得!<a<b及，即

可得出判断.

11

【解答过程】由对数函数单调性得，C=logi63<logi64=logi6162=

构造函数/(%)=2X+x,xeR,贝!J/(a)=2。+a=2,/(h)=2b+b=^5

因为y=2%和y=%单调递增，所以"%)单调递增，

因为2<后,即/(a)</(b),所以a<b,

又6)=2、；笺1<2,所以人砌>6)，即a*,

所以cVaVb,

故选：A.

【变式3-2](2024•宁夏银川•二模)若a=logj,c=log3?,d=[则()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.

【解答过程】因为a=lo/=log34>log33=l,(1)<=>1<b<1,

1

1

log34<logs=0=>c<0,

所以a>b>d>c.

故选：A.

【变式3-3］（2024・天津和平一模）设（90=2,6=1（^3—1（^9储=（9',则有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0,可得a最小，再利用板>03得出瓦C大小.

（解答过程［由信）=2可得a=Iogi2<logil=0,

33

_1

3

b-Iogi3-logi9=logij=log23>1,c=G）=2s=V2>0,

下面比较瓦c,

因为32>（21）2=8,所以3>2/

33

所以b=log23>log22?=

而c3=(V力3=2<(|)=曰，故c<|,所以c<b,

综上，b>c>a.

故选：B.

【题型4作差法、作商法比较大小】

_1

【例4】(2023•四川成者B-模)若口=3总6=(|尸，c=logij,则a,6,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a<l,0<b<l,O1,再作商比较a力的大小，从而可求

解.

【解答过程】因为0<。=3七<3。=1,0<b=(|)-5<(|)°=l,

-

a3^1,1111/1i\12/i\12/i\12o11

令广昂=3-Ex2-，=3mx23而(3五x2f=(3可x(2刁=3X2-4=2<1,即3^x21

(5)

<1,所以a<b,

又因为c=log?|=log房>log娠>log^=1,所以c>b>a.

故选：D.

【变式4-1](2023•贵州六盘水•模拟预测)若口=等，b=等，c=*贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=In%的单调性分别判断a,6和a,c的大小关系，即可判断出a,b,c

的大小关系.

【解答过程】因为b-a=苧一号=若陋=喋”>0,所以b>a；

DZOt>

-r-7mMln5ln221n5-51n2ln25—ln32八1rLr、i

又因为c—a=《--=---=---<0,所以a>c；

综上所述：c<a<b.

故选：C.

【变式4-2](2024•四川成都・二模)若Q=ln26,b=41n2」n3,c=(l+ln3)2,贝必，瓦c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解题思路】作差法比较a,6的大小，利用对数的性质比较a,c的大小.

【解答过程】a=ln26=(ln2+ln3)2,c=(Ine+ln3)2

因为ln2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=ln26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

则a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即b<a,

所以b<a<c.

故选：D.

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)若a=20-4,b=3S25,c=logo.70.5,则。力,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断见c范围，比较它们的大小；利用作商法比

较Q/的大小，即可得答案.

【解答过程】因为函数y=2、在R上单调递增，所以。=2。4<2。,5=鱼.

111

又狂瓢=(嘉皆MtT=(lir>l，所以

因为0.52=0.25<0.343,故0.5<V5J43=0.7前=log。/在(0,+8)上单调递减，

3o_

所以logo,70,5>logo.7O.72=->V2,所以a<c,

所以实数a,6,c的大小关系为b<a<c,

故选：B.

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】(2024•全国•模拟预测)已知a=ln|>b=ln7xln2,c=则()

ZInz

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】根据0<ln2<1得到c的值最大，然后构造函数/(%)=(l-ln2)lnx-ln2,根据/(%)的单调性和

f(8)<0得到a<b.

【解答过程】因为0<ln2vl,所以a=ln7—ln2<ln7,h<ln7,Oln7,故。的值最大.

下面比较a,b的大小.

构造函数/(%)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

显然/(、)在(0,+8)上单调递增.

因为/(8)=In8-ln2-ln8-ln2=In2(2-ln8)=In2(lne2-ln8)<0,所以a-b=/(7)<f(8)<0,所以a<b,

所以a<b<c.

故选：C.

、.1c_

【变式5-1］（2024•全国,模拟预测）设。=5了，b=-,c=log45,则Q,b,。的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.

【解答过程】先比较a和匕，构造函数y=/在上（o,+8）单调递增，

•・•（5,4=5>§i=G）4,.,♦>*即a>b；

又・.・4b=5,4c=41og45=log454,且4$=4x256>54=625,

45

.・.4c=log45<log44=5=4bf;.b>c,

：.a>b>c.

故选：A.

【变式5-2］（2024•天津和平•一模）已知a=logo.20.3力=logo.302c=log23,则a力,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得.

【解答过程】•.，OVa=logo.20.3Vl,b=log0,30.2>1,c=log23>1,

又9=logo3o.2-log32=瞽I.臀=鲁普，

/cbu.Dblg3—1lg3lg23—lg3

因为函数/■（%）=/-x=-；，在（0,3上单调递减，且/'（0）=0,又因为!>Ig3>lg2>0,

所以f（lg3）</（lg2）<0,所以黯<1，即需瑞<1，所以g<L

b<c,即aVb<c.

故选：C.

-fi

【变式5-3］（2023・河南•校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a?+log2a=0,2023=log2023^c=log7V6,

贝U（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.

【解答过程】设f。）=%2+log2X,/（%）在（0,+8）上单调递增，

又/©=一9<。，/（1）=1>°，所以!<。<1；

设g（“）=岛式

Tog2023%，9（%）在（0,+8）上单调递减,

1（1、2023

又以1）=痂>°&（2023）=（募）-l<0,所以IVh<2023,

因为C=l0g7V^Vl0g7V7=：，所以

综上可知，c<a<b.

故选：B.

【题型6数形结合比较大小】

【例6】（2024•河南•模拟预测）已知。=1口兀力=log3",c=VSn2,则a,hc的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】

利用对数函数和指数函数，基函数的性质求解.

【解答过程】•<,e<3<7T,a=loge7T>log37r=b>log33=1,即。>b>l,

va=InTT=ln（V7r）2ic=WFln2=ln2优

下面比较（航）2与2近的大小，构造函数y=%2与y=2X,

由指数函数y=2%与幕函数y=/的图像与单调性可知，

当无€(0,2)时，x2<2X；当％W(2,4)时,x2>2X

由％=低€(0,2),故(份)2V2正，故lmr<ln2赤，即aVc,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式6-1](2023•江西赣州•二模)若log3%=log4y=log5ZV-1,则()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3%

【解题思路】设log3%=log4y=log5Z=m<-1,得到X=3血/=4血/=56，画出图象,数形结合得到答

案.

mmm

【解答过程】令log3久=log4y=log5z=m<-1,则％=3,y=4,z=5,

3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1,其中m+1<0,

xx

在同一坐标系内画出y=35y=4,y=5f

广4%:^^：

y=5:

加+10x

故5z<4y<3%

故选：D.

【变式6-2］（2024•全国•模拟预测）已知a=（J,@y=logab,ac=log”，则实数a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得至Ija力,ce（o,l）,得到logab<l=logaa,

求出b>a,根据单调性得到c=G）“<（9"=a，从而得到答案.

【解答过程】令/0）=其在R上单调递减，

X/（o）=1>o,y（i）=1-i=-1<o,

由零点存在性定理得ae（0,1）,

则丫=logaX在（0,+8）上单调递减，

画出yi=g）与y=logaX的函数图象，

可以得到be（0,1）,

又丫2=a”在R上单调递减，画出=a*与丫3=logy的函数图象,

可以看出ce（0,1）,

因为（3<（1）=1,故log7<1=logad故b>a,

因为a,c6（0,1）,故a，>a1=a,

由a，=log2c得，c=<（|）=a.

综上，c<a<b.

故选：D.

【变式6