2024-2025学年湖北省武汉某中学九年级上学期第一次月考数学试题及答案

2024年九年级上学期数学9月同步练习

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.3的相反数是（）

11C

A.----B.-C.—3D.3

33

2.下列方程一定是一元二次方程的是（）

,1

A.%2-1=0B.x2+x+y=0C.x+—+1=0D.%2——=0

xx

3.如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）

4.一元二次方程必+3》一2=0根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定

5.某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支

配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（）

A.2.7(1+J=2.36B.2.36(1+x)2=2.7

C.2.7(1-x)2=2.36D.2.36(1-J=2.7

6.以下函数的图象的顶点坐标为(2,0)的是()

A.y=2x~+3B.y=—3(x—2)"C.y=—2(x+2)~D.y——r+2

7.已知，"，〃是一元二次方程/+3x-l=0的两个根，则（加+1）（"+1）的值（）

A.-3B.3C.1D.-1

8.已知二次函数丁=。/+法+。的图象如图所示，则点P（c,。）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.若"=4—_2%+17，N=3x?+2x+7，%为实数，则M与N的大小关系为（)

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A.M>NB.M<N

C.M=ND.M.N的大小关系与x的取值有关

10.若点A（-3,%）,8（1,y2）,CCm,%）在抛物线>="2+44工+。上，且%<y3c%，则相的

取值范围是（）

A.-3<m<1B.-5<%-1或-3<%<1

C.%<-3或%>1D.-5<»?<-3或-1<%<1

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.若关于刀的一元二次方程12一2》+m=0的一个根为尤=1,则相的值为.

12.点（-3,4）关于原点对称点为.

13.将抛物线y=/+l向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是

14.如图，在中，ZBAC=45°,ZC=15°,将△ABC绕点A逆时针旋转a角度（0°<a<180。）

得至【JZ\ADE,若DE〃A3,贝1Ja=_____度.

x2+2x（x<0）

15.已知关于x的函数y2c/二、，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵

-x+2x（x>0）

坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为”的点，恰好只有两个，则〃=1或-1；④点”（菁,加），N（x2,m）

是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4.其中正确的结论是.（填写序号）

16.已知二次函数y=x?-2nu+2根-1（相为常数），当该二次函数的图象与x轴交于点A、5两个点.若

线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是.

三、解答题（共8小题，72分）

17.解下列方程：

（1）x2-2x=1;

⑵x2+6x+5=0-

18.如图，在五边形A5CDE中，/EAB=NBCD=90°，AB=BC,ZABC=a,AE+CD=DE.

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（1）将口ABE绕点B顺时针旋转a,画出旋转后的口8cM,并证明。、C、”三点在一条直线上;

（2）求证：丛EBD沿丛MBD.

19.关于x的方程%2-2（左T）x+R=O有两个实数根xi,X2.

（1）求上的取值范围；

（2）请问是否存在实数k,使得Xl+X2=l-X1X2成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

20.抛物线y=V—4x+3与x轴交于43两点，A在3左侧，与V轴交于C点.

（1）C点坐标为,顶点坐标为；

（2）不等式炉一4x+3〉0的解集是;

（3）当x满足—2WxW3时，丁的取值范围____.

21.如图是由小正方形组成的10x10网格，每个小正方形的顶点叫做格点.4B、C三点是格点.仅用无

刻度直尺在给定网格中完成画图.

（1）在图1中，将线段A5绕A点逆时针旋转90P至AE,设A5的中点D,标出。点旋转后的对应点

F；

（2）在图2中，过B点作AC的平行线BG,在3G上取一点使=

22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价%为整数，且该商品的月销售量丁（件）

是售价x（元/件）的一次函藜，其售价（元/件）、月销售量y（件）月销售利润w（元）的部分对应值如下

表：［月销售利润=月销售量X（售价-进价）］

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售价X/（元/件）3035

月销售量y/件300250

月销售利润W/元45005000

（1）商品的进价为元/件，y关于％的函数表达式为；

（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；

（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠加元利润（瓶410）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42

元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m=.

23.在菱形A3CD中，ZABC=60°,3。为菱形的一条对角线.

图1图2

（1）如图1,过A作于点E交3。于点R,求证：FD=2BF；

（2）在（1）的条件下，若FE=2,则菱形A5CD面积为；

（3）如图2,M为菱形A3CD外一型点且CM=C5,连接AM,DM,BM,试探究

DM、BM、AM的数量关系，请写出三条线段的数量关系.（选择其中一种数量关系，并写出其证

明过程）

24.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=。/+加；—3（0。0）与x轴交于点A（-1,0）,B（3,0）,

与丁轴交于点C,。是该抛物线上的一利点.

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(2)如图1中，连接AC、BD,直线AC交直线3。于点G,若NCG3=45。，求此时。点坐标；

(3)如图2,连接3C,过。点作3c的平行线交该抛物线于点E(不与。重合)，连接CD、BE,直

线CD与直线BE交于点P,求点尸的横坐标.

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2024年九年级上学期数学9月同步练习

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.3的相反数是（）

11C

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数的定义是解题的关键.

根据相反数的定义即可直接选择.

【详解】解：3的相反数是-3.

故选：C.

2.下列方程一定是一元二次方程的是（）

A.%"-1=0B.x~+x+y=0C.xH1-1=0D.x"=0

XX

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式

方程叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义即可解答.

【详解】解：方程必+%+丁=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意；

11

方程x+—+1=0和方程V9——=0都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意;

XX

/一1=0符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意;

故选：A.

3.如图有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对

称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形

就叫做中心对称图形可得答案.

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【详解】A、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；

B、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；

C、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；

D、图形绕某一点旋转180°后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

4.一元二次方程炉+3%—2=0根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求得A="-4ac=9+8=17>0,根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解.

【详解】解：：一元二次方程必+3%—2=0中，a=l,b=3,c=-2,

A=/-4ac=9+8=17>0，

2

一元二次方程X+3X-2=0有两个不相等的实数根，

故选：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题

的关键.

5.某县2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支

配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（）

A.2.7（l+x）2=2.36B.2.36（1+x）2=2.7

C.2.7（1-x）2=2.36D.2.36（1-疗=2.7

【答案】B

【解析】

【分析】设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为工,根据题意列出一元二次方程即可.

【详解】解：设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,根据题意得，

2.36（l+x）2=2.7,

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键.

6.以下函数的图象的顶点坐标为（2,0）的是。

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A.y=2x?+3B.y=-3(x-2)?C.y——2(x+2)2D.y=-x?+2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易.因为抛物线y=a(x-五加+左，

顶点坐标是仇女)，根据这个模式求出每个函数的顶点坐标，再比较.

【详解】解：A、y=2/+3的顶点坐标是(0,3),不符合题意；

B、y=—3(x—2)2的顶点坐标是(2,0),符合题意;

C、y=-2(x+2)2的顶点坐标是(一2,0),不符合题意;

D、y=-好+2的顶点坐标是(0,2),不符合题意.

故选：B.

7.已知〃?，〃是一元二次方程一+3彳一1=0的两个根，则(m+1)(〃+1)的值()

A.-3B.3C.1D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.根据一元二次方程根与系数的关系得出加+〃=-3,

mn=-l,代入整理后的代数式，即可求解.

【详解】解：：山，〃是一元二次方程/+3尤-1=0的两个根，

m+n=—3,mn二一1,

(加+1)(〃+1)=mm+m+n+1=一1-3+1=-3,

故选：A.

8.已知二次函数丁=以2+法+。的图象如图所示，则点P(c,。)所在的象限是()

B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

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【解析】

【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限.首先根据二次函数的图象及性质

判断C和。的符号，从而得出点尸(C,。)所在象限.

【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

b

••〃>0,---->0,

2a

Z?<0,

二次函数的图象与y轴的交点在原点下方，

。<0,

...p(c,b)在第三象限，

故选：C.

9.若"=4%2_2x+17，N=3x?+2x+7，%为实数，则M与N的大小关系为()

A..M>NM<N

C.M=ND.M.N的大小关系与x的取值有关

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了整式的加减，配方法的应用.直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答

案.

【详解】解：=4必—2x+17，N=3f+2x+7，

：.M-N=4X2-2X+17-(3X2+2X+7)

=4X2-2X+17-3X2-2X-7

=x2-4x+10

=(x-2)'+6,

V(X-2)2>0,

.\(x-2)2+6>0,

：.M>N.

故选：A.

10.若点A(-3,%),2(1,y2),C(.m,%)在抛物线丫="2+4ax+c上，且％<为<%，则根的

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取值范围是（）

A.-3＜m＜1B.-5＜机＜-1或-3＜机＜1

C.根＜-3或相＞1D.-5＜m＜-3或-1＜相＜1

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x=-2,分a＜0和。＞0两种情况讨论，分别

根据图像上点的坐标特征得到关于m的不等式，然后解不等式即可解答.

4〃

【详解】解：抛物线丁=加+4。冗+。的对称轴为％=----=-2,

2a

,点A（-3,yi）,B（1,丁2）,C（m,券）在抛物线丁=〃%2+4〃%+。上，且yiV/V”,

・•・当〃V0,贝!］依+21Vl且防+2|〉3,（不存在）；

当〃＞0,则lV|m+2|V3,解得-5V-3或-1VnzV1.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键

是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.若关于刀的一元二次方程必-2》+m=0的一个根为尤=1，则相的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数

的值是解题的关键.把x=l代入一元二次方程得到1-2+加=0,然后解一次方程即可.

【详解】解：把x=l代入方程/一2》+m=0得1—2+加=0,

解得m=1.

故答案为：1

12.点（-3,4）关于原点对称点为.

【答案】（3,—4）

【解析】

【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，横、纵坐标互为相反数是解题

关键.根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答即可.

【详解】解：点（-3,4）关于原点。的对称点为（3,-4）.

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故答案为：(3,-4).

13.将抛物线、=炉+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是

【答案】y=(x-2)2+4

【解析】

【分析】此题主要考查了函数图象的平移.根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即

可.

【详解】解：函数y=/+i向右平移2个单位，得：y=(x—2)?+1；

再向上平移3个单位，得：y=(x-2)2+l+3,即y=(x—2『+4；

故答案为：J=(X-2)2+4.

14.如图，在中，ABAC=45°,ZC=15°,将△ABC绕点A逆时针旋转a角度(0。<a<180°)

得至【J4ADE,若DE〃AB,贝______度.

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质.先根据旋转的性质可得NE=NC=15。，再根据平行

线的性质可得N84E=NE=15。，然后根据角的和差可得NE4c=60。，由此即可得.

【详解】解：由旋转的性质得：NE=NC=15°,

DE//AB,

NBAE=NE=15。,

ABAC=45°,

NEAC=ABAC+ZBAE=60°,即旋转角为60°,

/.a=60°,

故答案为：60.

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x2+2x(x<0)

15.已知关于x的函数y2c/二、，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵

-%-+2x(x>0)

坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为”的点，恰好只有两个，则〃=1或-1；④点”(菁,加)，N(x2,m)

是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4.其中正确的结论是.(填写序号)

【答案】②③④

【解析】

【分析】本题考查了二次函数和图象和性质.根据题意画出草图，根据图象求解即可.

【详解】解：对于y=x2+2x=(x+l)2—i(xwo),

顶点坐标为A(-1,1),

令y=0,则X2+2X=0，解得X=0或X=—2,

与x轴的交点坐标为。(—2,0),0(0,0),

对于,=_/+2x=—(x-以+](x>0),顶点坐标为5(1,1),

令y=。，则必+2%=0，解得x=0或x=2,

与x轴的交点坐标为E(2,0),

观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误；

②函数图象上纵坐标为0的点有点。、。、E,共3个，结论②正确；

③满足纵坐标为”的点，恰好只有两个，即经过点A或2且平行于x轴两条直线与图象的交点，此时

〃二1或一1,结论③正确；

④点〃(玉,加)，N(%,根)是该函数图象上的两个点，由图象知，当根=0时，则的最大距离即

DE=4,结论④正确.

故答案为：②③④.

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16.已知二次函数丁=%2-27噂+2根-1（相为常数），当该二次函数的图象与x轴交于点A、3两个点.若

线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，则m的取值范围是.

【答案】—1.5（根<—1或3<根<3.5.

【解析】

【分析】本题考查了二次函数与％轴的交点问题.先求得二次函数的图象与工轴的交点坐标，再利用线段

A3上有且只有5个点的横坐标为整数，分两种讨论，分别列不等式组，计算即可求解.

【详解】解：令>=。，则%2-2加%+2加一1=0,

解得罚=1,x2=2m-l,

不妨设A（1,O）,则8（2加-1,0）,

当点B在点A左侧时，

由题意得-4<2m-1<-3,

解得-1.5

当点8在点A右侧时，

由题意得5<2m-1<6,

解得3<m<3.5；

综上，加的取值范围一1.5</九〈一1或34根<3.5.

故答案为：—1.5<〃2«-1或34根<3.5.

三、解答题（共8小题，72分）

17.解下列方程：

（1）x2-2x=l;

（2）x2+6x+5=0.

L答案]（1）X]=l+5/2,x2=1—V2；

（2）Xy——1,%2=-5.

【解析】

【分析】本题考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有配方法、公式法和因式分解法.

（1）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，再开平方求解即可；

（2）根据因式分解法将方程变为（x+l）（x+5）=0,将方程转化为两个一元一次方程求解即可.

【小问1详解】

第8页/共24页

解：尤2-2x=1,

配方得：X2-2X+1=1+1，即（x—=2,

x-1=+V2，

解得：x=l土血，

X1=1+V2，x2=1—V2；

【小问2详解】

解：x2+6x+5=0>

分解因式得：（x+l）（x+5）=0,

x+l=O或x+5=0,

得：,4=一5•

18.如图，在五边形ABCDE中，/EAB=/BCD=90°，AB=BC,ZABC=tz,AE+CD^DE.

（1）将口ABE绕点3顺时针旋转a,画出旋转后的口BCM,并证明。、C、M三点在一条直线上；

（2）求证：小EBDQ丛MBD.

【答案】（1）画图见解析，证明见解析

（2）见解析

【解析】

【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，利用旋转构造出全等

三角形时解本题的关键.

（1）先根据题意画出图形，再由旋转的性质可得==90°,由N8CO=90。，可得

ZBCM+ZBCD=130°；

（2）由旋转的性质可得3M=3E,AE=CM，再由AE+C。=OE可得CM+CO=DE,即：DM=DE,

最后通过“SSS”证明△砌注△掰切即可.

【小问1详解】

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如图所示,

•••将□A8E绕点B顺时针旋转a,AB=BC,NABC=a,

NEAB=NBCM=90°,

•••ZBCD=90°,

:.ZBCM+ZBCD=1SO°,

:.D、C、M三点在一条直线上；

【小问2详解】

1.将□A8E绕点B顺时针旋转a,得到△ACM,

：DBCM^BAE,

BM=BE,AE=CM,

■：AE+CD=DE,

CM+CD=DE,

即：DM=DE,

•••BD=BD,

:口EBD^MBD(SSS)；

19.关于x的方程x2-2（k-1）x+R=O有两个实数根xi,尤2.

（1）求左的取值范围；

（2）请问是否存在实数k,使得X1+无2=1-X1X2成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）k<-

2

（2）存在，k=-3

【解析】

【分析】（1）根据关于x的方程x2-2a-1）尤+R=0有两个实数根，A>0,代入计算求出发的取值范

围.

（2）根据根与系数的关系，xx=--,=根据题意列出等式，求出发的值，根据上的值是否

1+9aa

在取值范围内做出判断.

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【小问1详解】

解：•••关于尤的方程x2-2a-1)x+F=O有两个实数根

根据题意得A=4(左一I)?—4左②=4—8左20,

解得左

2

【小问2详解】

解：存在.

根据根与系数关系%+々=2伏—1),=k2,

*.*X1+X2=1-X1X2,

2(1)=-2,

解得尢=-3,左2=1，

,1

'：k<-.

2

存在实数k=-3,使得X1+X2=1-X1X2.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，要注意根据上的取值范

围来进取舍.

20.抛物线4x+3与x轴交于43两点，A在8左侧，与V轴交于C点.

(1)C点坐标为,顶点坐标为；

(2)不等式Y一4x+3〉0的解集是;

(3)当x满足—2<xW3时，丁的取值范围____.

【答案】⑴(0,3)；(2,-1)；

(2)x<l或x>3

(3)-l〈yW15.

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与两坐标轴的交点及不等式组，本题利用数形结合的思想是

关键，从图象中读出不等式组的解集和对应y的取值.

(1)配方可得抛物线顶点M的坐标；将x=0和>=。代入抛物线的解析式可求得点C的坐标；

(2)将y=。代入抛物线的解析式可求得A,8的坐标；画出草图，根据图象得出结论；

(3)计算得出当-2WxW3时对应的函数值，根据图象即可写出二次函数丁的取值范围.

【小问1详解】

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解：：y=f-4x+3=(x-2)'-1,

抛物线顶点M的坐标为(2,-1)；

把x=0代入y=d—4x+3得y=3；

C点坐标为(0,3)；

【小问2详解】

解：把y=。代入y=%2—4x+3得f-41+3=0，解得占=1,x2=3,

r.A点坐标为(1,0)、8点坐标为(3,0),

草图，如图所示；

由图象得：当％<1或x>3时，y〉0,则好一4%+3〉0;

故答案为：％<1或x>3；

【小问3详解】

解：由图象得：

当x=—2时，y=(-2)2—4x(—2)+3=4+8+3=15；

当x=2时，y最小=-1；

当x=3时，y=0；

所以丁取值范围：-lWyW15.

21.如图是由小正方形组成的10x10网格，每个小正方形的顶点叫做格点.4B、C三点是格点.仅用无

刻度直尺在给定网格中完成画图.

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（1）在图1中，将线段A5绕A点逆时针旋转9（P至AE,设A5的中点D,标出。点旋转后的对应点

F；

（2）在图2中，过B点作AC的平行线3G,在3G上取一点使=

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查作图-旋转变换，平行线的性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关

知识点是解答本题的关键.

（1）利用全等三角形的性质作出AE,线段A5与格线交点即为A5的中点。，线段AE与格线交点即为

AE的中点R；

（2）作平行四边形5CHG,得到3G〃AC,作正方形分别取A3和RE与格线的交点。和

N,作射线ON交3G于点此时MN是线段A3的垂直平分线，则NM43=/GA4=/CA3.

【小问1详解】

解：线段AE,以及点。和点尸如图1所示；

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22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价X为整数，且该商品的月销售量y（件）

是售价x（元/件）的一次函藜，其售价（元/件）、月销售量y（件）月销售利润W（元）的部分对应值如下

表：［月销售利润=月销售量x（售价-进价）］

售价X/（元/件）3035

月销售量y/件300250

月销售利润W/元45005000

（1）商品的进价为元/件，y关于％的函数表达式为；

（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；

（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠加元利润（加〈10）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42

元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则m=.

【答案】（1）15,y=—lOx+600；

（2）当该商品的售价是37.5元时，月销售利润最大，最大利润为5062.5元；

（3）5

【解析】

【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.

（1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；

（2）设该商品的月销售利润为卬元，根据利润=单件利润x销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出

函数最值；

（3）根据总利润=（单件利润-加）x销售量列出函数解析式，再根据xW42时，利用函数性质求解即

可.

【小问1详解】

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300x30-4500

解：由表中数据知，每件商品进价为=15(元/件),

300

设一次函数解析式为y=履+。,

30左+匕=300

根据题意,得4

35左+)=250

左=一10

解得:

5=600

所以〉与X的函数表达式为y=T0x+600；

故答案为：15,y=-10x+600；

【小问2详解】

解：设该商品的月销售利润为w元,

则w=(x-15)y

=(x-15)(-10x+600)

=-10x2+750%-9000

=-10(x-37.5)2+5062.5,

V-10<0,

...当x=37.5时，w最大，最大值为5062.5,

当该商品的售价是37.5元时，月销售利润最大，最大利润为5062.5元;

【小问3详解】

解：根据题意得：

w=(x-15-m)(-10x+600)=-10x2+(750+10m)x-9000-600m,

750+10m»「m

对称轴为直线尤=-2x(-10)=375+~,

'：m<lQ,

rrj

：.37.5+—<42.5,

2

V-10<0,

当尤=42时，w取得最大值为3960元,

(42-15-m)(-10x42+600)=3960,

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解得：m—5.

故答案为：5.

23.在菱形A3CD中，ZABC=60°,5。为菱形的一条对角线.

图1图2

(1)如图1,过A作AEL8C于点E交3。于点R,求证：FD=2BF；

(2)在(1)的条件下，若FE=2,则菱形A5CD面积为；

(3)如图2,M为菱形A3CD外一型点且CM=C5,连接AM,DM,BM,试探究

DM、BM、AM的数量关系，请写出三条线段的数量关系.(选择其中一种数量关系，并写出其证

明过程)

【答案】(1)见解析(2)24小

(3)DM=BM+43AM(答案不唯一)，理由见解析

【解析】

【分析】(1)利用菱形的性质以及直角三角形的性质求得5E=LA3=LA。，推出得

22

到£2=42=2,据此即可证明即=23/；

BFBE

AFAD

(2)同(1)求得口4。尸—仍产，得到户=卡=2,求得AE=4,AE=6,解直角三角形求得

BC=AB=46，利用菱形的面积公式即可求解；

(3)连接AC,延长到X,证明点3、M、A、。在以点C为圆心的血。上，利用圆心角与圆周角

的关系求得证明RtDMAN0RtnM4G(HL),求得NM=MG,再证明

RtOA^B^RtOAGD(HL),求得/ABN=/ADG,BN=DG,然后利用直角三角形的性质即可解决问

题.

【小问1详解】

证明：如图1中，

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•••四边形A3CD是菱形，ZABC=60°,AE1BC,

ZBAE=30°,AB=BC=AD,AD//BC,

BE——AB二一AD,

22

■:AD//BE,

：.UADF^QEBF,

FDAD

•.----------2,

BFBE

:.FD=2BF；

【小问2详解】

解：由（1）nADF^UEBF,

AFAD

•.--2,

EFBE

,:FE=2,

.・・AF=4,

AE=6,

・.,ZBAE=30°,

Ap6

cosZBAE=,即cos30°=,

ABAB

:•AB=46，BC=AB=4s/3,

$菱形ABCD=BC.AE=24#；

故答案为：2473；

【小问3详解】

解：DM=BM+43AM＞理由如下:

连接AC,延长8M到H,

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,/四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

AABC和□AC。都是等边三角形，

/•ZACB=ZACD=60°,

；CM=CB,

：.CB=CM=CA=CD,

点&M、A、。在以点C为圆心的口C上，

ZAMD=-ZACD=30°,ZMAB+/MBA=-(ZMCB+ZMCA)=30°,

ZHMA=ZMAB+ZMBA=30°,

ZAMD=ZAMH,

如图，过A作ANLBH点N,AG，DM于点G,

G\

VZAMN=ZAMG,AN1MN,AG1DM,

AN=AG,

NMNA=ZMGA=90°,AM=AM,AN=AG,

RtDWUV^RtnWG(HL),

NM=MG,

■：ZANB=ZAGD=90°,AN=AG,AB=AD,

RtOANB^RtnAGD(HL),

ZABN=ZADG,BN=DG,

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•/NBMD=ZBAD=120°,

ZNMG=60°,

NAMN=ZAMG=30°,

DM-BM=MG+DG-(BN-MN)=2MN=,

DM=BM"AM-

【点睛】本题考查菱形的性质，圆心角与圆周角，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质,

直角三角形的性质，解直角三角形等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

24.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线,=。/+加；—3(。。0)与x轴交于点A(-1,0),5(3,0),

与丁轴交于点C,。是该抛物线上的一利点.

(2)如图1中，连接AC、BD,直线AC交直线5。于点G,若NCGB=45°,求此时。点坐标；

(3)如图2,连接BC,过。点作的平行线交该抛物线于点E(不与。重合)，连接C。、BE,直

线CD与直线BE交于点P,求点尸的横坐标.

【答案】(1)(0,-3),y=x2-2x-3,(1,-4)；

(2)此时D点坐标(1,-4)或4

3

(3)点尸的横坐标为一.

2

【解析】

【分析】(1)当％=0时，求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，最后配方即可求出顶

点坐标;

(2)先求出直线AC解析式为y=-3%-3,然后分当G在直线下方时和当G在直线下方时两

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种情况分，由相似三角形的判定与性质即可求解;

（3）设石（加,加2-2"2-3）,-2〃一3）,然后求出直线3c解析式为y=x-3,由

DE//BC,设直线DE解析式为F=x+大，联立得x+f=x2—2x—3,整理得:

必_3%—3—=0,根据两根关系可得机+〃=3,则。（3—〃z,〃/—4〃。，分别出直线CD解析式为

y=(m+l)x-3m-3

y=(l-rn)x-3,直线BE解析式为y=(加+l)x-3m-3,联立得＜,最后解方程

y={\-m)x-3

即可求解.

【小问1详解】

解：由抛物线y=。％2+8才-3,当x=0时，y=-3,

.\C(0,-3),

..•抛物线与x轴交于点A(—1,0),8(3,0),

a—b—3=0\a—\

■,[9a+3Z?-3=0,解得：^=-2'

抛物线解析式为y=x2—2%—3,

由,=%2_2%_3=(%_1)--4,

顶点坐标为(L-4),

故答案为：(0,-3),y=x2-2x-3,(1,-4)；

【小问2详解】

解:由(1)得：C(0,-3),

设直线AC解析式为y=mix+ni,

-rru+%=0fm.=-3

・・.o,解得：\,

nx——3=—3

・・・直线AC解析式为y=