《平面的基本性质》课堂教学实录

第1页共16页《平面的基本性质》课堂教学实录（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是．[]2．下列推断中，错误的是[]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计《平面的基本性质》课堂教学实录（二）平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．一、素质教育目标（一）知识教学点掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2．3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．（二）能力训练点通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．（三）德育渗透点通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．二、教学重点、难点、疑问及解决办法1．教学重点（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．（2）证明过程的书写格式与规则．2．教学难点（1）画出符合题意的图形．（2）选择恰当的公理或推论作为论据．3．解决办法（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．三、学生活动设计动手画图并证明．四、教学步骤（一）明确目标1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”．2．论据正确，论证严谨，书写规范．3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．（二）整体感知立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．（三）重点、难点的学习与目标完成过程A．复习与讲评师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）师：具备哪些条件可以确定一个平面？（生4人回答，教师板画图1－21示意．）师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．已知：直线a∥b．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．∵a∥b，∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．假设过a和b还有一个平面β，则A∈β．那么过b和b外一点A有两个平面α和β．这与推论1矛盾．注：证唯一性，用了“反证法”．B．例题与练习师：先看怎样证几条线共面．例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．求证：a、b、c、d共面．证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本题的方法是“同一法”．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．求证：a、b、c、d共面证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α（推论2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四线共面．注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求证：B、D、P三点共线．证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即B、D、P三点共线．注