高考数学一轮复习：直线平面平行的判定与性质 学案

第四讲直线、平面平行的判定与性质

知识梳理•双基自测

园国画园

知识点一直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a------b------a------

图形

JL_/

百ua,房a.,a//a,au8,

条件dCla=0—a〃a

a〃b_acn=2

结论allab//a.aAa=0_all,

知识点二面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

7%aCb/%b/'1/3k/

图形

___/X/X/

_au£,6u£,a〃£,

_aPI£=0

条件aPlb=P,a.Cly=a,a〃£,au£

a//ct,b//a.£Ply=b

结论a〃£a〃£a//ba//a.

网画国医］

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若aA.(3,则a〃£”.

2.垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若bVa,则a〃6”.

3.平行于同一个平面的两个平面平行，即“若a〃f,£〃y,则a〃广

|双||基||自阿

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平

面.（X）

（2）平行于同一条直线的两个平面平行.（X）

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平

行.（X）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异

面.（J）

（5）若直线a与平面a内无数条直线平行，则a.（X）

（6）若a〃£,直线a〃a,则£.（X）

题组二走进教材

2.（必修2P58练习T3）设a,6是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则

a〃£的一个充分条件是（D）

A.存在一条直线a,a//a,a///3

B.存在一条直线a,aua,a〃£

C.存在两条平行直线a,b,aua,6u£,b//a

D.存在两条异面直线a,b,aua,6u£,a〃£,b//a

［解析］对于选项A,若存在一条直线a,a//a,a//H,则a〃£或a与£

相交，若。〃£,则存在一条直线a,使得a〃a,a〃£,所以选项A的内容是a

〃£的一个必要条件；同理，选项B,C的内容也是a〃£的一个必要条件而不是充

分条件；对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直

线，则有a〃£,所以选项D的内容是a〃£的一个充分条件.故选D.

题组三走向高考

3.（2019•课标全国II）设a,£为两个平面，则a〃£的充要条件是（B）

A.a内有无数条直线与B平行

B.a内有两条相交直线与£平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,£垂直于同一平面

4.（2017•课标全国I）如图，在下列四个正方体中，A,6为正方体的两个顶点，

肌”,0为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面解Q不平行的是（A）

MM

ABCD

［解析］B选项中，AB//MQ,且力由平面的V。，MK平面MNQ,贝”四〃平面的IQ;

C选项中，AB//MQ,且Afft平面MNQ,网t平面MNQ,则46〃平面MNQ;D选项中，AB

//NO,且力因平面MNQ,NQu平面MNQ,则46〃平面的M0.故选A.

5.（2017•天津，节选）如图，在三棱锥P—ABC中,2U底面ABC,N必。=90。.点

D,E,〃分别为棱功，PC,8c的中点，"是线段/。的中点，PA=AC=4,AB=2.

求证：MN〃牛&BDE.

［证明］解法一：连PN爻BE于H,连仞.

•:E、/I/分别为。C、8c的中点，

PH

为△%C的重心，.,.—=2,

HN

又久"分别为必、力。的中点，

..生_竺

,•酒2，••丽=而

J.DH//MN,

又Dk平面BDE,眼恒平面BDE,

...腑〃平面BDE.

解法二：取&?的中点H,连MH、NH,

N为BC的中点，NH//BE,

又NHi平面BDE,BEu平面BDE,

.•.M/〃平面BDE,

又&D、M分粘为PC、PA、)的中点,

PEPD

~EH=~DM=7,：'DE//MH'

又MH1平面BDE,

二MH//平面BDE,应平面BDE,又DECBE=E,

,平面的的7〃平面BDE,

...腑〃平面BDE.

解法三：(理)如图，以/为原点，分别以必应力方向为x车由、y车由、z车由正方

向建立空间直角坐标系.依题意可得4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),

P(0,0,2),£(0,2,2),MO,0,1),M1,2,0).

庆=(0,2,0),笳=(2,0,-2).

设〃=(x,y,N)为平面8班的法向量,

n•旅=0,|2y=0,

则j即

n-笳=0,2x-2z=0.

不妨设z=1,可得〃=(1,0,1).

又就/=(1,2,-1),可得加•"=().

因为MMt平面BDE,所以腑〃平面BDE.

考点突破•互动探究

考点一空间平行关系的基本问题——自主练透

»■例1（1）（2021•河南名校联盟质检改编）设有不同的直线a,。和不同的平

面a,£,给出下列四个命题中,其中正确的是(B)

①若a//a,b//a,则a//b②若a//a,a〃£,则a〃£

③若a,bA.a,则a//b④若a±a,a_L£,则a〃£

A.1B.2

C.3D.4

（2）（2021•辽宁省沈阳市质监）下列三个命题在“（）”处都缺少同一个条件，

补上这个条件使其构成真命题（其中/,勿为直线，a,B为平面），则此条件是./

aa,.

///m[忙a]/±/?7]

①m//a10/〃a；②///m}=>/〃a；③ml.a?=>/

//a.

[解析]（1）对于①，若a〃a,6〃a,则直线a和直线6可以相交也可以异面，

故①错误；对于②，若a〃a,a〃£,则平面a和平面£可以相交，故②错误；对

于③，若bla,则根据线面垂直性质定理，a//b,故③正确；对于④，若a

±a,a,£,则a〃£成立；故选B.

(2)①/〃/，加〃a=>/〃a或/ua,由/。a=>/〃a；②/。a,忙a,///m

=>/〃a；③Um,mA.a=>/〃a或/ua,由/«a=>/〃a.故答案为/«a.

〔变式训练1〕

（2021•吉林省吉林市调研改编）如图，正方体⑺一48G0中，E,F,G,//分

别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面力第不平行的是（C）

A.直线EFB.直线GH

C.平面EHFD.平面A\BG

［解析］首先直线仄GH、48都不在平面儿以内，由中点及正方体的性质知4

//AC,GH//A.O//AC,AyB//DyC,，直线优GH,48都与平面/勿平行，叉ACUAC,

由面面平行判定易知平面46G〃平面47队由EH"A&,四A平面4第=/,:.EH与

平面力第相交，从而平面日次与平面4cB相交，故选C.

考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究

角度1线面平行的判定

»■例2(2021•辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥夕一4成力中，PD1平面ABCD,

底面46缈为梯形，AB//CD,N必。=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为夕C的中点.

⑴证明：BE〃平面PAD;

⑵求三棱锥E-PBD的体积.

［解析］(1)证法一：如图，取出的中点尸，连接£F,FA.

由题意知上■为△出C的中位线，

1

Z.EF//CD,nEF=/D=2.

大,：AB〃CD,AB=2,CD=4,J.ABikEF,

...四边形4断为平行四边形，：.BE//AF.

又AFc平面PAD,BEX平面PAD,.•.的〃平面PAD.

证法二：延长"I、CB相交于H,连也

'：AB//CD,AB=2,CD=4,

.HBAB\

"~HC=~DC=2,

即B为的中点，

又F为外的中点，；.BE//PH,

又画平面PAD,Pk平面PAD,...南〃平面PAD,

证法三：取切的中点//,连BH,HE,

为PC中点，：.EH//PD,

又EHi平面PAD,Pg平面PAD,

〃平面PAD,

又由题意知幺夹，//,J.BH//AD,

又A上平面PAD,BHt平面PAD,

：.BH//平面以。又BHCEH=H,

：.平面BHE//平面PAD,：.BE//平面PAD.

⑵,:E为PC的中点,

V三棱锥E-PBD=V三棱锥E-BCD='^V三棱锥P-BCD.

丈：AD=AB,NBAD=60°,

・・・△/劭为等边三角形，：.BD=AB=2,

又・・•缈=4,ZBDC=ZBAD=6Q°,

BD1.BC.：.BC=[CU—B炉=2/.

•外，平面ABCD,

1114m

=r

*•*/三棱锥P-BCD~ZPD,wX2X5X2X2y3—4

名师点拨

判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(Ha,bua,a〃6na〃a).

(3)利用面面平行的性质定理(a〃£,auana〃£).

(4)利用面面平行的性质(a〃£,皿£,a〃。今a〃£).

(5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形.

角度2线面平行的性质

»■例3

如图，在多面体力比药中，DEL平面ABCD,AD//BC,平面BCEFC平面ADEF=EF,

NBAD=60°,AB=2,DE=EF=1.

(1)求证：BC//EF-,

⑵求三棱锥6一阳7的体积.

［解析］(1)证明：AD//BC,4比平面ADEF,

8R平面ADEF,：.BC//平面ADEF.

又直七平面BCEF,平面BCEFC平面ADEF=EF,：.BC//EF.

⑵过点8作BHLAD于点、H,

,：DEV平面ABCD,6忙平面ABCD,：.DEVBH.

•:ADu平面ADEF,

DEu平面ADEF,AD^DE=D,

.•.6"，平面ADEF.

：.BH是三棱锥B—DEF的高.

在仍中，N必〃=60°,AB=2,故

■:DE1平面ABCD,A上平面ABCD,：.DEVAD.

由（1）知6c〃优S^AD//BC,

J.AD//EF,：.DELEF,

[113

三棱锥6一的体积/=-X^X5/7=-X-X1X1xJ3=-V，

33zv6

名师点拨

空间中证明两条直线平行的常用方法

(1)利用线面平行的性质定理，即a〃a,auB,c?A/?=/?=>a//b.

(2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行.

(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行.

〔变式训练2〕

(1)(角度2)如图所示，四边形/反Q是平行四边形，点户是平面力成沙外一点，M

是出的中点，在力/上取一点G,过G和必作平面PAHG交平面BMD于GH.

求证：PA//GH.

(2)(角度1)(2020•广东佛山质检，节选)如图，四棱锥"一力成沙的底面/成沙是

平行四边形，E、尸分别为%的中点.

求证：£F〃平面PAB.

(3)(角度1)(2021•贵州黔东南州二模)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD建矩

形，平面以8_L平面/反沙，点E,尸分别为8a/P的中点.

①求证：&〃平面PCD；

②若AD=AP=PB=^AB=1.求三棱锥P-DEF的体积.

c

［解析］⑴证明：如图所示，连接/C交劭于点0,连接畋

•..四边形483是平行四边形,

是4C的中点,

又"是用的中点，J.PA//MO.

又欣七平面BMD,PAi平面BMD,

...勿〃平面BMD.

'：平面PAHGC平面BMD=GH,勿u平面PAHG,

：.PA//GH.

⑵解法一：取阳的中点//,连FH、HA,

1

•.•尸为QC的中点，...FH线产,

又四边形/仇沙为平行四边形，

J.BC^AD,从而6/幺夹，。

又三为47的中点，FH献EA,：.EF//AH,

又ERI平面PAB,HAu平面PAB,

，户〃平面PAB.

解法二：取勿的中点H,连FH,HE,

p

■:F为%的中点,

：.FH//BP,又6处平面/6,

:.FH/居面PAB,又三为47的中点，且四边形力8切为平行四边形,

：.HE//BA,又HBI平面PAB,

：.HE//平面DAB,又FHCEH=H,

平面厅7/〃平面PAB,

...斤〃平面PAB.

解法三：连络并延长交朋的延长线于“，连

E为平行四边形ABCD的边4〃的中点,

：./\CDE^/\HAE,

：.CE=EH,又尸为%的中点,

：.EF//PH,

又ERI平面PAB,PHc平面PAB,

...£F〃平面PAB.

⑶①证明：如图，取①中点G,连接GF,GC.

在△外，中，G,尸分另4为PD,AP的中点,

1

，GF^AD.

在矩形ABCD中，£为6c的中点，

1

CEi^AD,:.GF级EC,

...四边形仔GC是平行四边形，：.GC//EF.

,：GCc平面夕缈，平面PCD,

...斤〃平面PCD.

②•.•四边形⑺是矩形，

：.ADrAB,AD//BC.

又ADc平面PAD,B贝平面PAD,

...6C〃平面PAD.

,：平面PABX.平面ABCD,平面以6n平面ABCD=AB,平面ABCD,

：.ADV平面PAB,：.ADA-BP,平面PADV平面PAB.

AD=AP=PB=±AB=1,

■：AB=y[2,:.A户+P5=A百,

：.APVBP.,：AD^AP=A,

：.BPI平面PAD.,：BC//平面PAD,

...点三到平面必。的距离等于点8到平面必，的距离.

1111

,/S^PDF=-PF•/4P=-X-X1=-,

._」I,__

••V三棱锥/一弼=/三校悔■E-PDF=5?APDF•1=12,

1

・•.三棱锥"一〃£尸的体积为危.

考点三，两个平面平行的判定与性质——师生共研

►►■例4如图所示，在三棱柱/坟?一48G中，E,F,G,〃分别是力氏AC,48,

4G的中点，求证:

H

A,

7F

⑴6,C,H,G四点共面；

⑵平面£7%〃平面BCHG.

［证明］⑴因为G,〃分别是48,4G的中点，所以G//〃8G,又8G〃宓,

所以G//〃8a所以8,C,H,G四点共面.

⑵在△48C中，E,尸分另U为AB,AC的中点，

所以EF//BC,

因为际平面BCHG,B纪平面BCHG,

所以4〃平面BCHG.

又因为G,A分别为48,48的中点，

所以46幺爽砥，所以四边形4昂G是平行四边形，所以AB/GB.

因为4®平面BCHG,G8u平面BCHG,

所以4E〃平面BCHG.

又因为A,E^EF=E,

所以平面?4〃平面BCHG.

［引申1］在本例条件下，若〃为8G的中点，求证：仞〃平面48必.

［证明］如图所示，连接仞，46,

因为。为8G的中点,

H为4G的中点,

所以HD//A.B,

又的平面ARBA,

46u平面AyByBA,

所以仞〃平面AyByBA.

［引申2］在本例条件下，若九。分别为8G,8C的中点，求证：平面49〃平

面AGO.

［证明］如图所示，连接4C,4G交于点〃

因为四边形AyACCy是平行四边形，

所以"是4c的中点，连接初，

因为。为8c的中点，所以AyB//DM.

因为A、Bu平面46〃，

DMi平面484,

所以ZW〃平面4做.

又由三棱柱的性质知，〃G幺夹BD,

所以四边形BDCyDy为平行四边形，

所以DCy//BDy.

又，G6平面4曲，B伍u平面

所以0G〃平面ABB,

又因为。GH"Da,DM平面AGD,

所以平面49〃平面AGD.

___________

名师点拨

证明面面平行的方法有

(1)面面平行的定义.

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,

那么这两个平面平行.

(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.

(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.

性质

*判定

线〃线、处店、线〃面、性用'面〃面

性质在质t

判定

*(6)向量法：证明两平面的法向量平行.

〔变式训练3〕

(2021•南昌模拟)如图，在四棱锥夕一4成》中，ZABC=ZACD=90°,NBAC=

/8。=60°,外，平面/出双PA=2,AB=\.设M,4/分别为外，47的中点.

(1)求证：平面砌〃平面PAB-,

(2)求三棱锥夕一/6〃的体积.

［解析］(1)证明：•.速N分苑为PD,47的中点,

：.MN//PA,又MNi平面PAB,2fc平面PAB,

...腑〃平面PAB.

在就△/必中，N"〃=60°,CN=AN,

：.AACN=6Q°.

叉2BAC=60°,：.CN//AB.

'：CNi平面PAB,ABu平面PAB,

...C〃〃平面PAB.

又CNCMN=N,CN,切忙平面CMN,

，平面CMN“平&PAB.

(2)由(1)知，平面CMN〃平面PAB,

...点"到平面必8的距离等于点C到平面以8的距离.

'：AB=\,NABC=90°,N班"60°,：.BC=y[3,

■j[

=

**•二棱锥P—ABM的体积VVM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=~ZX~X1X2=

名师讲坛•素养提升

探索性问题求解策略

»■例5(2021•安徽皖北联考)如图，在四棱锥C-4眄中，四边形/阻»是

正方形，点仇尸分别是线段劭