2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直一同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价三十二平面与平面垂直(一)(15分钟30分)1.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β ()A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m【解析】选A.因为l⊥β,l⊂α,所以α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.【补偿训练】已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是 ()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β【解析】选D.由a∥α,知α内必有直线l与a平行.而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定【解析】选B.由PB⊥α,得PB⊥AC,又PC⊥AC,且PB∩PC=P,故AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,则△ABC为直角三角形.3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为 ()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.不确定【解析】选D.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D-AA1-E与二面角B14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,则平面EBD与平面AA1C1【解析】如图,在正方体中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,所以BD⊥平面AA1C1C所以平面EBD⊥平面AA1C答案:垂直5.以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为.

【解析】如图所示,是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱,折成直二面角后的图形,折叠后AD⊥CD,BD⊥DC,∠ADB即所成二面角的平面角,故∠ADB=90°.设AD=a,则有BD=CD=a,所以AB=AC=BC=QUOTEa,所以△ABC是等边三角形,所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC,BC的夹角为60°.答案:60°6.(2024·合肥高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1(1)求证:DB1⊥AC;(2)求证:平面A1B1CD⊥平面ACD1.【证明】(1)连接BD、B1D1,因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD、DD1⊂平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,又DB1⊂平面DBB1D1,所以DB1⊥AC.(2)由(1)同理可得DB1⊥AD1,又AD1∩AC=A,AD1,AC⊂平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,又DB1⊂平面A1B1CD,所以平面A1B1CD⊥平面ACD1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.假如直线l,m与平面α,β,γ满意:β∩γ=l,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有 ()A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ【解析】选A.B错,有可能m与β相交;C错,有可能m与β相交;D错,有可能α与β相交.2.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为 ()A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB【解析】选C.因为AB为圆的直径,所以AC⊥BC.因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.3.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则肯定与平面PBD垂直的平面是 ()A.平面SAB B.平面SACC.平面SCD D.平面ABCD【解析】选B.因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.因为SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面SAC.4.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C=QUOTEa.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,若要使得平面MBD⊥平面PCD,则应补充的一个条件可以是 ()A.MD⊥MB B.MD⊥PCC.AB⊥AD D.BM⊥PC【解析】选BD.连接AC,BD,BM,MD.因为在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,所以BD⊥PA,BD⊥AC,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC属于平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.6.(2024·抚顺高一检测)已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD,则在折叠过程中,能出现 ()A.BD⊥ACB.平面ABD⊥平面CBDC.VA-CBD=QUOTED.AB⊥CD【解析】选ABC.设正方形中心为O,则BD⊥OC,BD⊥OA,且OC∩OA=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,故A正确;因为∠AOC为二面角A-BD-C的平面角,所以当∠AOC=QUOTE时,平面ABD⊥平面CBD,故B正确;当∠AOC=QUOTE时,VA-BCD取得最大值为QUOTES△BCD·OA=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE,所以三棱锥A-BCD的体积的取值范围是QUOTE,故C正确;若AB⊥CD,又BC⊥CD,则CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以AD>CD,明显这与AD=CD冲突,故AB与CD不垂直.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.

【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ=QUOTE=QUOTE·QUOTE=sin30°·sin60°=QUOTE.答案:QUOTE8.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(填序号).

①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°.【解析】因为AD∥BC,PB与BC不垂直,故PB与AD不垂直,①不正确;由PA⊥AB,AE⊥AB,PA∩AE=A,得AB⊥平面PAE,因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,②正确;延长CB,EA,两者相交,因此BC与平面PAE相交,③不正确;由于PA⊥平面ABC,所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角,由PA=2AB,AD=2AB,得PA=AD,所以∠PDA=45°,④正确.答案:②④四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB.若二面角C1【解析】因为AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1又EF∥AB,所以C1F所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.10.(2024·新乡高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=1,AB=2.(1)证明:平面PAC⊥平面PBC;(2)求点D到平面PBC的距离.【解析】(1)由已知得AC=QUOTE=QUOTE,BC=QUOTE=QUOTE,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)得BC⊥平面PAC,BC⊥AC,BC=QUOTE,所以PC=QUOTE=QUOTE,设点D到平面PBC的距离为d,因为VP-BCD=VD-PBC,所以QUOTE×QUOTE×DC×AD×PA=QUOTE×QUOTE×PC×BC×d,所以QUOTE×QUOTE×1×1×1=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×d,解得d=QUOTE,所以点D到平面PBC的距离为QUOTE.1.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,相互垂直的面有对.

【解析】因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.答案:32.如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)如图所示,连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,所以AC=2DF.因为G是AC的中点,所以DF∥GC,且DF=GC,所以四边