2024-2025版高中数学第三章不等式3.3.2.2简单线性规划的应用学案新人教A版必修5

PAGE第2课时简洁线性规划的应用学习目标1.能从实际问题中抽象出线性规划问题,并加以解决.(数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算)2.会求解线性规划的最优整数解问题.(数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算).关键实力·合作学习类型一线性规划的实际应用问题(数学抽象、数学建模、数学运算)【典例】某家具厂有木料90m3,五合板600m2,打算加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌须要木料0.1m3,五合板2m2,生产每个书橱须要木料【思路导引】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解.【解析】设生产书桌x张,生产书橱y个,利润为z元,则目标函数为z=80x+120y,依据题意知,约束条件为QUOTE即QUOTE画出可行域为如图所示对应的整数点,作直线l:80x+120y=0,并平移直线l,由图可知,当直线l过点C时,z取得最大值,解QUOTE得C(100,400),所以zmax=80×100+120×400=56000,即生产100张书桌,400个书橱,可获得最大利润.(变结论)例题中的条件不变,假如只支配生产书桌可获利润多少?假如只支配生产书橱呢?【解析】(1)若只生产书桌,则y=0,此时目标函数z=80x,由例题解析图可知zmax=80×300=24000,即只生产书桌,可获利润24000元.(2)若只生产书橱,则x=0,此时目标函数z=120y,由例题解析图可知zmax=120×450=54000,即只生产书橱,可获利润54000元.线性规划的实际问题的数学模型(1)列表定条件:须要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件.(2)定目标函数:写出所探讨的目标函数.(3)数形结合求最值:解线性规划应用题时,先转化为简洁的线性规划问题,再按作图、平移、求值的步骤完成即可.【补偿训练】某公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,须要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,须要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨,假如A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,设公司支配一天内支配生产A产品x吨,B产品y吨.(1)用x,y列出满意条件的数学关系式,并在如图所示的坐标系中画出相应的平面区域;(2)该公司每天需生产A,B产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少?【解析】(1)由题意可得,QUOTE可行域如图所示.(2)设利润z=300x+200y,由QUOTE可得x=40,y=10,结合图形可得x=40,y=10时,zmax=14000.答:该公司每天需生产A,B产品分别为40吨,10吨可获得最大利润,最大利润为14000元.【拓展延长】解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——细致阅读,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——利用线性规划求解.(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.【拓展训练】某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2m【解题指南】可先设出变量,写出目标函数和约束条件,转化为线性规划问题来求解.【解析】设须要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,由题意可得QUOTE所用原料的总面积为z=3x+2y,可行域为如图阴影部分对应的整数点.在一组平行直线z=3x+2y中,经过可行域内的点且在y轴上截距最小的直线过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1),所以最优解为x=2,y=1.所以运用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.类型二线性规划中的最优整数解问题(逻辑推理、数学运算)【典例】某校今年支配聘请女老师x人,男老师y人,若x,y满意(1)在如图所示的坐标系中作出可行域;(2)求该学校今年支配聘请的老师人数最多多少人?最少多少人?四步内容理解题意条件:已知线性约束条件QUOTE,结论:(1)作出可行域;(2)支配聘请的老师人数最多多少人?最少多少人?思路探求作出可行域,求出可行域内满意条件的整点.书写表达(1)作出不等式组对应的平面区域为如图阴影部分对应的整数点:(注:图中直线2x-y=5和x=6为虚线)(2)设z=x+y,则y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.但此时z最大值取不到,由图象可知当直线经过整点E(5,4)时,z=x+y取得最大值,经过点F(4,2)时,z=x+y取得最小值.代入目标函数z=x+y,得zmax=5+4=9,zmin=4+2=6.故该学校今年支配聘请的老师人数最多9人,最少6人.题后反思当边界的交点不是可行域内的点时,须要另外求区域内的整数解,一般在交点的旁边.找寻整点最优解的三种方法(1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最终经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.(2)小范围搜寻法:将求出的非整点最优解旁边的整点都求出来,代入目标函数,干脆求出目标函数的最大(小)值.(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最终筛选出整点最优解.某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车,4辆载重量为10吨的B型卡车,有9名驾驶员.在建筑某段高速马路的工程中,此公司承包了每天运输360吨沥青的任务.已知每辆卡车每天来回次数为:A型车8次,B型车6次,每辆卡车每天来回的成本费为:A型车160元,B型车280元.每天派出A型车与B型车各多少辆时,公司花的成本费最低?【解析】设公司每天所花成本费为z元,每天派出A型车x辆,B型车y辆,则z=160x+280y,x,y满意的约束条件为QUOTE作出不等式组的可行域为如图阴影部分对应的整数点.作直线l:160x+280y=0,即l:4x+7y=0.将l向右上方移至l1位置时,直线l1经过可行域上的M点,由图可知此时z取得最小值.由方程组QUOTE解得QUOTE但y=0.4不是整数,故取x=7,y=1,此时z取得最小值.所以,当每天派出A型车7辆、B型车1辆时,公司所花费用最低.【拓展延长】在实际应用问题中,有些最优解往往须要整数解(比如人数、车辆数等),而干脆依据约束条件得到的不肯定是整数解,可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应详细状况详细分析.调整优值法时,先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程学问调整最优值,最终筛选出最优解.【拓展训练】某人有楼房一幢,室内面积共180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间【解析】设隔出大房间x间,小房间y间,获得收益为z元,则QUOTE即QUOTE则目标函数为z=200x+150y=50(4x+3y),作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分内的整点.作直线l:4x+3y=0,当直线l经过平移过点AQUOTE时,4x+3y取得最大值,由于A点的坐标不是整数,而x,y∈N,所以点A不是最优解.调整最优解:由x,y∈N,知4x+3y≤37.令4x+3y=37,即y=QUOTE,代入约束条件①②,解得QUOTE≤x≤3.由于x∈N,得x=3,但此时y=QUOTE∉N.再次调整最优解:令4x+3y=36.即y=QUOTE,代入约束条件①②,解得0≤x≤4(x∈N).当x=0时,y=12;当x=1时,y=10QUOTE;当x=2时,y=9QUOTE;当x=3时,y=8;当x=4时,y=6QUOTE.所以最优解为(0,12)和(3,8),这时zmax=1800.答:应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益.【补偿训练】两类药片有效成分如表:成分药品阿司匹林/mg小苏打/mg可卡因/mg每片价格/元A(1片)2510.1B(1片)1760.2若要求至少供应12mg阿司匹林,70mg小苏打,28mg可卡因,两类药的最小总数是多少?怎样搭配价格最低?【解析】设需用A和B两种药品分别为x片和y片,药品总数为z片,价格为L元.由题意,得约束条件QUOTE线性目标函数为:药品总数z=x+y.价格L=0.1x+0.2y.由不等式组作可行域如图,取阴影部分的整点,作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置,l经过点A时z有最小值.由QUOTE解得点A坐标为QUOTE.而点A不是整数点,故不能作为最优解.此时,过点A的直线为lA:x+y=QUOTE,可行域内与直线lA距离最近的整点有(1,10),(2,9),(3,8),使zmin=11,即药品总数为11片,而相应价格为L1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0,L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小,所以Lmin=1.9(元),所以药品最小总数为11片,其中3片A种药、8片B种药搭配的价格最低.类型三线性规划的综合应用(数学抽象、逻辑推理、数学建模)角度1与向量相关的问题【典例】已知向量a=(1,3),b=(x,y),且变量x,y满意QUOTE则z=a·b的最大值为.

【思路导引】利用向量运算确定目标函数后求最值.【解析】由变量x,y满意QUOTE作出可行域如图,联立QUOTE解得AQUOTE,因为向量a=(1,3),b=(x,y),所以z=a·b=x+3y,化为y=-QUOTEx+QUOTE,由图可知,当直线y=-QUOTEx+QUOTE过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为6.答案:6本例中若a=(2,1),试求z=a·b的最小值.【解析】z=a·b=2x+y,即y=-2x+z,则当直线l:y=-2x+z平移到点(0,0)时,z取得最小值zmin=2×0+0=0.角度2与方程的根有关的问题

【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则a+2b-3的值域为.

【思路导引】依据一元二次方程根的分布,利用对应的函数在区间端点处取值正负确定限制条件,再利用线性规划求值域.【解析】依据题意,令f(x)=x2+ax+b,由方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则有QUOTE画出对应的可行域,如图所示,△ABC的区域(不含边界).其中,A(-1,0)、B(-2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,当a=-2,b=0时,z=(-2)-3=-5,取得最小值,当a=-3,b=2时,z=(-3)+2×2-3=-2,取得最大值;故a+2b-3的值域为(-5,-2).答案:(-5,-2)已知一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在[-2,-1]内,另一个根在[1,2]内,求a+b的取值范围.【解析】设f(x)=x2+ax+b,因为一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在[-2,-1]内,另一个根在[1,2]内,所以QUOTE即QUOTE作出不等式组对应的平面区域如图:则以a,b为坐标轴的点(a,b)的存在区域为四边形ABCD及其内部,设z=a+b,即b=-a+z,平移直线b=-a+z,由图象知当直线b=-a+z经过点B(0,-4)时,直线b=-a+z的截距最小,此时z最小,z=0-4=-4,当直线b=-a+z与直线CD:a+b+1=0重合时,直线b=-a+z的截距最大,此时z=-1,即-4≤z≤-1,即a+b的取值范围是[-4,-1].1.与向量有关的问题向量一般作为工具,利用向量的运算可得目标函数或限制条件,再利用线性规划学问解题.2.与方程的根有关的问题若已知一元二次方程根的分布,可利用对应的二次函数求约束条件,方程的根即函数的零点,依据零点的位置,转化为区间端点处函数的正负,即为约束条件.1.设x,y满意约束条件QUOTE向量a=(2x,1),b=(1,m-y),则满意a⊥b的实数m的最小值为()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a⊥b,得m=y-2x,依据约束条件画出可行域,因为m=y-2x,所以y=2x+m,将m的最小值转化为直线y=2x+m在y轴上的截距,当直线y=2x+m经过点A时,m最小,由QUOTE解得AQUOTE,所以满意a⊥b的实数m的最小值为:-2×QUOTE+QUOTE=-QUOTE.2.已知α,β是方程x2+ax+2b=0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a,b∈R,求QUOTE的最大值和最小值.【解析】因为QUOTE所以QUOTE因为0≤α≤1,1≤β≤2,所以1≤α+β≤3,0≤αβ≤2,所以QUOTE建立平面直角坐标系aOb,则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.令k=QUOTE,可以看成动点P(a,b)与定点A(1,3)的连线的斜率.因为kAB=QUOTE,kAC=QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE≤QUOTE.故QUOTE的最大值是QUOTE,最小值是QUOTE.课堂检测·素养达标学1.(教材二次开发:例题改编)某旅行社租用A,B两种型号的客车支配900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为()A.31200元 B.36000元C.36800元 D.38400元【解析】选C.设租用A型车x辆,B型车y辆,目标函数为z=1600x+2400y,则约束条件为QUOTE作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点(5,12)时,有最小值zmin=36800(元).2.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.

【解析】设购买A,B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则z=3x+6y.由题意,约束条件为QUOTE作出可行域,如图所示,由图可知,目标函数z=3x+6y在点A(1,2)处取得最小值zmin=3×1+6×2=15.答案:153.已知点A(3,-1),点P(x,y)满意线性约束条件QUOTEO为坐标原点,则在方向上的投影的取值范围为.

【解析】因为A(3,-1),P(x