广西贵港桂平市2024年八年级上学期数学期中以及参考答案

广西贵港桂平市2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

一、选择题

12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确。

L（3分）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）

A.3cm,5cm,10cmB.5cm,4cm,8cm

C.2cm,4cm,6cmD.3cm,3cm,7cm

【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之

和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断.

【解答】解：A、3+5<10,长度是3cm,5cm.10cm的小木棒不能构成三角形，故A不

符合题意；

B、5+4>8,长度是4cm,5cm,8cm的小木棒能构成三角形，故B符合题意；

C、2+4=6,长度是2cm,4cm,6cm的小木棒不能构成三角形，故C不符合题意；

D、3+3<7,长度是3cm,3cm,7cm的小木棒不能构成三角形，故D不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.

2.（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（）

x+1

A.x#=—1B.xwOC.x^=1D.xw2

【分析】根据分式有意义的条件解答即可.

【解答】解：因为分式上有意义，

x+1

1/26

所以X+1小0,

解得X*-1.

故选：A.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关

键.

3.（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴

含的道理是（）

A.两点之间线段最短

B.三角形具有稳定性

C.经过两点有且只有一条直线

D.垂线段最短

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.

【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理

是三角形具有稳定性，

故选：B.

【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小

就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中.

4.（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5pm（1pm=0.000001m）的颗粒物，也称为

2/26

可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响,

2.5pm用科学记数法可表示为（）

A.25xl0-5mB.2.5xlQ-5m

C.2.5xl0-6mD.0.25xl0-7m

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为QXlO-n,与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数属，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的

0的个数所决定.据此解答即可.

【解答】解：2.5|jm=2.5x0.000001m=2.5x10-6m;

故选：C.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为QX10-n,其中n

为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

5.（3分）下列运算正确的是（）

23

A.Q+Q2=Q3B.a,a=a

-1

C.C|6+Q2=Q3D.（a）3=Q3

【分析】按照整式属的运算法则逐一计算进行辨别.

【解答】解：因为Q与。2不是同类项，

所以选项A不符合题意；

因为Q,Q2=Q3,

所以选项B符合题意；

因为a6-4-a2=a4,

所以选项C不符合题意;

3/26

因为（Qf3=（1）3=1

3

aa

所以选项D不符合题意，

故选：B.

【点评】此题考查了整式属的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则.

6.（3分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量,

其中OA=OD,OB=OC,测得AB=5厘米，EF=6厘米，圆形容器的壁厚是（）

A.5厘米B.6厘米C.1厘米D.1■厘米

2

【分析】利用三角形全等的SAS定理证明△COD/aBOA,根据全等三角形的性质求出

CD,进而求出圆形容器的壁厚.

【解答】解：在△COD和△BOA中，

'0D=0A

-ZC0D=ZB0A,

LOC=OB

所以△COD会aBOA（SAS）,

所以CD=AB=5厘米，

所以圆形容器的壁厚为：（6-5）+2=▲（厘米），

故选：D.

4/26

【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.

7.（3分）把分式方程上+2=化为整式方程，正确的是（）

x-22~x

A.x+2=1B.x+2（x-2）=1

C.x+2（x-2）=-1D.x+2=-1

【分析】方程两边都乘以X-2可得答案.

【解答】解：方程两边都乘以x-2可得：x+2（x-2）=-1,

故选：C.

【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤.

8.（3分）下列命题中，是假命题的是（）

A.三个角都是60°的三角形是等边三角形

B.两个锐角的和是钝角

C.若|Q|=3,则。=±3

D.在同一平面内，若直线all,bll,贝1Ja//b

【分析】根据等边三角形的判定，平行线的判定，绝对值的定义，角的和差定义一一判断即可、

【解答】解：A、三个角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题，本选项不符合题意；

B、两个锐角的和是钝角，是假命题，30°+30°=60°,60°是锐角，本选项符合题意；

C、若|Q|=3,则。=±3,是真命题，本选项不符合题意；

D、在同一平面内，若直线all,bll,贝是真命题，本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查命题与定理，等边三角形的判定，平行线的判定，绝对值的性质等知识，解

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题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型.

9.（3分）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需

的时间相同.已知水流速度是速度2km/h,则轮船在静水中航行的速度是（）

A.25km/hB.24km/hC.23km/hD.22km/h

【分析】设轮船在静水中航行的速度是xkm/h,则轮船顺水航行速度为（x+2）km/h,轮船

逆水航行速度为（x-2）km/h,利用时间=路程+速度，结合顺水航行速度81km/h所需的

时间与逆水航行速度69km/h所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即

可得出结论.

【解答】解：设轮船在静水中航行的速度是xkm/h,则轮船顺水航行速度为（x+2）km/h,

轮船逆水航行速度为（x-2）km/h,

依题意得：旦=图-,

x+2x-2

解得：x=25,

经检验，x=25是原方程的解，且符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

10.（3分）若解分式方程三11=产生增根，则m=（）

x+4x+4

A.1B.0C.-4D.-5

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为

整式方程的方程即可求出m的值.

【解答】解：方程两边都乘（x+4）,得

6/26

x-1=m,

因为原方程增根为x=-4,

所以把x=-4代入整式方程，得m=-5,

故选：D.

【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：

①化分式方程为整式方程；

②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

11.（3分）如图，^ABC中，点D,E分别在/ABC和NACB的平分线上，连接BD,DE,

EC,若ND+/E=295°,则NA等于（）

A.65°B.60°C.55°D.50°

【分析】根据四边形的内角和可得/BCE+ZCBD=65°,再根据角平分线的定义可得/ACB+

ZABC=130°,再根据三角形内角和定理可得/A的度数.

【解答】解：因为ND+/E=295°,ZD+ZE+ZBCE+ZCBD=360°,

所以/BCE+/CBD=65°,

因为点D,E分别在/ABC和/ACB的平分线上，

所以NBCE=2/ACB,ZCBD=lzABC,

22

所以NACB+/ABC=65°x2=130°

7/26

所以NA=180°-130°=50°

故选：D.

【点评】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握这些知

识是解题的关键.

12.（3分）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5,

点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）

A.7.5B.5C.4D.不能确定

【分析】过C作CE1AB于巳交AD于F,连接BF,则BF+EF最小，证△ADB/ZXCEB得

CE=AD=5,即BF+EF=5.

【解答】解：过C作CE1AB于E,交AD于F,连接BF,则BF+EF最小（根据两点之间线

段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF,

因为等边aABC中，BD=CD,

所以AD1BC,

所以AD是BC的垂直平分线（三线合一）,

8/26

所以C和B关于直线AD对称，

所以CF=BF,

即BF+EF=CF+EF=CE,

因为AD1BC,CE1AB,

所以NADB=/CEB=90°,

在4ADB和4CEB中，

rZADB=ZCEB

因为《ZABD=ZCBE,

kAB=CB

所以△ADB/Z\CEB(AAS),

所以CE=AD=5,

即BF+EF=5,

故选：B.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等

腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用.

二、填空题

本大题共6小题，每小题2分，共12分，

13.(2分)当x=0时,分式圆的值为零.

x+2

【分析】根据分式值为。的条件：分子为0,分母不为0,可得2x=0且x+2力0,然后进行

计算即可解答.

【解答】解：由题意得:

9/26

2x=0且x+2w0,

所以x=0且x#=-2,

所以当x=0时，分式&的值为零，

x+2

故答案为：0.

【点评】本题考查了分式值为。的条件，熟练掌握分式值为。的条件是解题的关键.

14.(2分)分解因式：a2+5a=a(a+5).

【分析】由提公因式am+bm=m(a+b),可直接得出结论.

【解答】解：因为。2+5。公有因式为Q,

所以原式=a(a+5),

故答案为：a(a+5).

【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键.

15.(2分)如图，已知△ABC/aADE,D是/BAC平分线上一点，ZBAC=76.6°,则/

CAE=38.3°.

【分析】根据全等三角形的性质可得/EAD=/BAC=70°,根据角平分线的定义可得/BAD

=ZDAC=35°,进而可得答案.

【解答】解：因为D是NBAC的平分线上一点，且/BAC=76.6°,

所以/BAD=/DAC=38.3°,

因为△ABC/aADE,

10/26

所以NEAD=/BAC=76.6°,

所以/CAE=76.6°-38.3°=38.3°.

故答案为：38.3.

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等.

16.(2分)若m、n满足|m-2|+(n-2023)2=0,则m-2+nO=_S_.

4

【分析】首先利用非负数的性质得出m,n的值，再利用负整数指数属的性质、零指数属的性

质分别化简得出答案.

【解答】解:因为|m-2|+(n-2023)2=0,

所以m-2=0,n-2023=0,

解得：m=2,n=2023,

故m-2+n0=2-2+l

”+1

4

5_

=T

故答案为：1.

4

【点评】此题主要考查了负整数指数属、零指数属、非负数的性质，正确化简各数是解题关

键.

17.(2分)如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E

处，并使折痕经过点C,得到折痕CD.若NCDE=70°,则NB=50°.

11/26

A

【分析】由折叠性质可得NCED=/A=90°,ZADC=ZCDE=70°,从而可得/BED=

90°,ZBDE=40°,即可求解.

【解答】解：因为^ABC为直角三角形，

所以NA=90°,

因为/CDE=70°,

由折叠性质可得/。£口=/人=90°,ZADC=ZCDE=70°,

所以NBED=90°,ZBDE=180°-ZADC-ZCDE=40°,

所以/B=180°-/BED-ZBDE=50°,

故答案为：50.

【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全

等.

18.（2分）如图，直线Q//b,ZkABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上,

把aABC沿BC方向平移BC的一半得到AA'B'C'（如图①）；继续以上的平移得到图②,

再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是3^.

①②③一

【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n

12/26

个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数.

【解答】解：如图①

因为4ABC是等边三角形,

所以AB=BC=AC,

因为A'B'//AB,BB'=B'C=IBC,

2

所以B'O=1AB,CO=1AC,

22

所以AB'OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形.

又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个,

第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，

第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…

依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个.

故第100个图形中等边三角形的个数是：2x100+2x100=400.

故答案为：400.

BB,CCb

①

三、解答题

本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)计算：(一1)X(-4)+32+(7-4).

13/26

【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可.

【解答】解：(-1)x(-4)+32+(7-4)

=(-1)x(-4)+9+3

=4+3=7.

20.(6分)解分式方程：

X-1X

【分析】先将原方程去分母并整理后化为一元一次方程，然后解方程后并检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：3x=x-l,

移项，合并同类项得：2x=-1,

系数化为1得：x=-1,

2

经检验，x=-工是分式方程的解，

2

故原方程的解为乂=-1.

2

【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

21.(10分)综合与实践：

问题探究：(1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9"平分一

个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分

线作图法：在OA和OB上分别取点C和D,使得0c=OD,连接CD,以CD为边作等边

三角形CDE,则OE就是/AOB的平分线.请写出OE平分/AOB的依据：SSS;

类比迁移(2)小明根据以上信息研究发现aCDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE

即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3,在/AOB的边

OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则过角

14/26

尺顶点c的射线OC是/AOB的平分线，请说明此做法的理由；

拓展实践：(3)小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一

个岔路口A,现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯巳使得路灯照亮两条小路(两条小路

一样亮)，并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该

安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置.(保留

作图痕迹，不写作法)

【分析】(1)由等边三角形的性质得CE=DE,再证△OCE/aODE(SSS),得/COE=/

DOE,即可得出结论；

(2)证△OCM/aOCN(SSS),得NAOC=/BOC,即可得出结论；

(3)先作/BAC的平分线AK,再在AK上截取AE=AD即可.

【解答】解：(1)因为4CDE是等边三角形,

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所以CE=DE,

又因为OC=OD,OE=OE,

所以△OCE/aODE(SSS),

所以/COE=/DOE,

所以OE是/AOB的平分线，

故答案为：SSS;

(2)因为OM=ON,CM=CN,OC=OC,

所以△OCM/aOCN(SSS),

所以NAOC=/BOC,

所以射线oc是NAOB的平分线；

(3)如图，

点E即为所求的点.

【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平

分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等

是解题的关键，属于中考常考题型.

22.（10分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

16/26

x2-92x+l

X*2+6X+92X+6

(x+3)(x-3)_2x+]...第—步

一一又两弟〃

瞽吊…第二步，

2x-32x+l...第二步

2(x+3)2(x+3)

2x-6-(2x+l)..

•第四步,

2(x+3)

…第五步,

肃…第六步.

任务一：填空:

①以上化简步骤中，第.步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性或填为

分式的分干和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的侑不变

②第五步开始出现错误,这一步错误的原因是去括号时，括号前面是“一”号，去括

号后，括号里的第二项没有变号；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是=」一_；

2x+6

2

任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：--一箸耳-2

a+1a-1aJ+4a+4

【分析】任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；

②根据去括号法则进行分析判断；

任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算；

任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答.

17/26

【解答】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质

或填为分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，

故答案为：三，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数,

分式的值不变；

②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“一”号，去括号后，括号里的第

二项没有变号,

故答案为：五；去括号时，括号前面是“一”号，去括号后，括号里的第二项没有变号;

任务二:

原式=(x+3)(x-3)_2x+l

(x+3)22(x+3)

x-3_2x+l

x+32(x+3)

2(x-3)_2x+l

2(x+3)’2(x+3)

2x-6-(2x+l)

2(x+3)

2x-6~2x~1

2(x+3)

7

2^6

故答案为:7

2^6

9

1a+2a-2a+l

任务三:---------------------■----------------

软+1a2-1a2+4a+4

1_a+2•(a-1)2

2

a+1(a+1)(a-1)(a+2)

18/26

_1______a-1____

a+1(a+1)(a+2)

_a+2______aT

(a+1)(a+2)(a+1)(a+2)

3

(a+1)(a+2)

【点评】本题考查分式的加减运算，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和

通分的技巧是解题关键.

23.(10分)如图，aABC为等边三角形，DE//AC,点。为线段BC上一点，D。的延长

线与AC的延长线交于点F,DO=FO.

(1)求证：4BDE是等边三角形；

(2)若AC=7,FC=3,求OC的长.

【分析】(1)根据等边三角形的性质和判定解答即可;

(2)根据等边三角形的性质解答即可.

【解答】证明：(1)因为AABC为等边三角形，

所以/A=/B=/ACB,

因为DE//AC,

所以/A=/BDE,ZACB=ZDEB,

19/26

所以NB=NBDE=NDEB,

所以4BDE是等边三角形；

(2)因为DE//AC,

所以/EDO=/CFO,

在ADOE和△FOC中，

，ZED0=ZCF0

<DO=FO,

1ZD0E=ZF0C

所以△DOE/aFOC(ASA);

因为aABC为等边三角形，

所以BC=AC=7,

得：BE=DE=CF=3,EO=CO,

所以EC=BC-BE=4,

所以OC=2EC=2.

2

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题

目比较典型，难度适中.

24.(10分)为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍.其中购买

A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5

倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本.

(1)求A和B两种图书的单价；

(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种

图书20本和B种图书25本，共花费多少元?

20/26

【分析】(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，根据数量=总价+单

价结合花3000元购买的A种图书比花1600元购买的B种图书多20本，即可得出关于x的

分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)根据总价=单价X数量，即可求出结论.

【解答】解：(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，

依题意，得：3000__1600_=20)

1.5xx

解得：x=20,

经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意，

所以1.5x=30.

答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元.

(2)30X0,8X20+20X0,8X25=880(元).

答：共花费880元.

25.(10分)如图，已知AB=CD,E、F是AC上两点，且AE=CF,DE=BF,

求证：(1)AABF^ACDE.

(2)ADIIBC.

【分析】(1)证出AF=CE,根据SSS可证明△ABF/aCDE;

(2)证明△ADE/aCBF(SAS),由全等三角形的性质得出NDAE=/BCF,则可得出结论.

【解答】证明：(1)因为AE=CF,

21/26

所以AE+EF=CF+FE,

即AF=CE,

'AF=CE

在AABF和aCDE在BF=DE,

AB=CD

所以△ABF/aCDE(SSS).

(2)因为△ABF/2XCDE,

所以NAFB=/CED,

所以180°-ZAFB=180°-ZCED,

即NCFB=NAED,

在AADE和aCBF中，

DE=BF

-ZAED=ZCFB,

kAE=CF

所以△ADE/aCBF(SAS),

所以NDAE=/BCF,

所以ADIIBC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明△ABF/Z\CDE是解题

的关键.

26.(10分)(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图

1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线I经过点A,BD1直线I,CE1直线

I,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE.

(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将(1)中的条件改

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为：在aABC中，AB=AC,D、A、E