高考数学专项复习训练：立体几何小题常考题型归类

专题07立体几何小题

盛型大裳合

____________

六、直线、平面平行的判定与性均

一、空间几何体的结构特征

七、直线与平面垂直的判定与性质］

二、斜二测画法的相关计算

驳型上通关

一.空间几何体的结构特征

1.（2324高一下•四川眉山・月考）下列说法错误的是（）

A.棱台侧棱的延长线必相交于一点

B.正四棱锥的侧面可以是等边三角形

C.棱柱的侧面都是平行四边形

D.矩形旋转一周一定能形成一个圆柱

【答案】D

【解析】对于A,根据棱台的定义，其侧棱的延长线必交于一点，故A说法正确；

对于B,根据棱锥的定义，当正四棱锥的高为底面正方形对角线的一半时，

正四棱锥的侧面可以是等边三角形，故B说法正确；

对于C,根据棱柱的定义，棱柱的侧面都是平行四边形，故C说法正确；

对于D,矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，

若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱，故D说法错误.故选：D.

2.（2324高一下•黑龙江哈尔滨•期中）下列说法正确的是（）.

A.以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

D.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高

【答案】D

【解析】对于A,以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误；

对于B,当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误；

对于C,圆锥只有一个底面，C错误；

对于D,圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确.故

选：D

3.（2324高一下.重庆璧山・月考）（多选）下列说法错误的是（）

A.棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体

B.圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的

C.棱台的所有侧棱交于同一点

D.用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台

【答案】ABD

【解析】A选项，由如图所示多面体可知A错误；

B选项，由圆柱的定义，是由一个长方形绕着它的一条边旋转得到的图形，故B错误；

C选项，由棱台的结构特征值知，棱台的各条侧棱所在的直线一定相交于一点，故C正确；

D选项，当截面与圆锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，故D错误.故选：ABD.

4.（2324高一下•河南郑州•期中）（多选）下列命题正确的是（）

A.一个棱锥至少5个面

B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形

C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥

D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

【答案】BCD

【解析】对于A,三棱锥只有4个面，故A错误；

对于B,由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正

确；

对于C,由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，

从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确；

对于D,由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.故选：BCD.

5.（2324高一下•福建•期中）（多选）下列说法正确的是（）

A.棱柱的侧面一定是矩形

B.三个平面至多将空间分为4个部分

C.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台

D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥

【答案】CD

【解析】对于A,斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误;

对于B,若两个平面相交，已可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时，

将空间分成8个部分，B错误；

对于C,圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确；

对于D,五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，

所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确.故选：CD

二.斜二测画法的相关计算

1.（2324高一下•河南郑州・月考）如图，△AB'C'是水平放置AABC的直观图，其中=1,A'B'//

【答案】C

【解析】在△A'3'C',B'C'=CA!=\,—J?'A'C'=45。，

由余弦定理可得：B'C'~=A'C'2+AB'2-2A'CxA'B'xcos45°,

即AB'2-72A'B'而A'B'>0,解得A'B'=近；

由斜二测画法可知：△ABC中，ABVAC,AB=AB=g,AC=2C'A1=2,

i^BC=yjAB2+AC2=V2+4=V6-^：C.

2.（2324高一下.贵州贵阳・月考）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正

方形，则原来实际图形的周长是（）

A.2+2V2B.4+2应C.6D.8

【答案】D

【解析】如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，

其中03=。'5'=1,OA=2O'A=20,所以43=^^71=3，

故周长为2（03+54）=8.故选：D.

3.（2324高一下•江苏盐城・月考）已知正三角形边长为4,用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得

直观图的面积为（)

AV2B.逅

C.娓D.2耶

44

【答案】C

【解析】如图所示,正三角形的边长为4,则高为4xsin60。=20,

根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为/?=正,底边长为4,

1R

所以直观图的面积为表4、j|=技故选：C.

4.（2324高一下•河北张家口•月考）已知VAOE是AOLB的直观图，其中A0==1,AZ'//y'轴,

那么AGHB一定不是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】依题意，还原AOIB,如图,

因为AB=：OW=1,AZ'〃,轴,

所以。A=O'A=2,AB=2AB'=2,AB〃y轴，则ABLCM,

所以是等腰直角三角形，即A符合题意，BCD不符合题意.故选：A.

5.（2324高一下•山东泰安・期中）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ACMB的直观图为如图所示的

△O'A'B',已知△O'A3’是边长为2的等边三角形，则顶点8到x轴的距离是（）

【解析】过点B‘作交4轴于点如图所示,

在AB'B"。中，O'B'=2,AB'B"O'=45°,ZB'O'B"=120°,

2XB_

B'B"_B'O'B'O'•sin120。

由正弦定理可得,所以B5〃=

sinl20o-sin45osin45°

由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是28缶"=2#.故选：A.

三.几何体的表面积和体积

1.（2324高一下.吉林长春•期中）以长为4cm,宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的侧面积

为（）

A.16兀cm?或24item?B.16兀enr2C.24兀cm?或42itcm2D.24item?

【答案】D

【解析】以4cm长的矩形边所在直线为轴所得圆柱的侧面积为2x3x71x4=24兀,

以3cm长的矩形边所在直线为轴所得圆柱的侧面积为2x4x71x3=24兀,

所以圆柱的侧面积为247©!?.故选：D

—.2-.

2.（2324高一下•河南信阳・期中）如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，若点瓦尸分别满足AE=§AB,

—.2—.

AF=jAC,平面E3CZ将三棱柱分成体积为匕,匕的两部分，贝比：匕=（）

A.19:8B.2:1C.17:10D.16:11

【答案】A

【解析】':"丁C,—EFQBC'"/皿

EFAFAE2

二.几何体AEF-4与C为三棱台,

设三棱柱ABC-43c的高为心

++

•,匕=AEF+[S^AEF，SAAMG+),"=^^ABC§^ABCAABC

19._-19

27.〃—27v.c—4siG，

Q

•・・匕=%。一4用6一匕二55。-4玛。1，「・匕：％=19:8.故选：A.

3.（2324高一下•河北张家口・月考）已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4,当棱台的高为2,

体积为递时，则此时正三棱台的侧面积为（）

2

A.九显B.9A/3C.18A/3D.2475

4

【答案】A

【解析】令正三棱台ABC-A4G的上底A4G面积为S,则下底ABC面积为4S,

依题意，VABC_AiBiC]=；（S+JS-4S+45）-2=亭，解得S=乎，

而$=竽4母，则A4=百，同理钻=26，

a为两底面的中心，D。为Be,与a的中点，过2作下底面垂线，垂足为后,

则E在A£＞上.

OD=—AD=—x2\/3x=1,0,D,=—AD.=—x^x^-=—,DtE=2,

332113322

22

则斜高DDt=^2+(1-1)=乎,

所以正三棱台的侧面积5'=-(36+66)x姮=匹.故选：A

224

4.（2223高二下•安徽合肥・期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍蔓者，下有袤有广，而上有袤

无广，刍，草也.薨，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的

3

正方形，上棱跖=2,所〃平面ABC。,E尸与平面A8C。的距离为该刍薨的体积为（）

【答案】D

【解析】如图，设E、尸在底面的投影分别为E'、F',

过E'、〃分别作〃〃AD,H〃"）交正方形对应边于八J、K、L,

易知该刍薨被分割为四棱锥〃和FBCLK,及三棱柱EIJFKL,

设A/=x,贝ijKB=3—2—x=l—x,

故则该刍鲁的体积为：

1313

+X+X+

VF-LKBC+^E-ADJIVEJI-KLF=gS矩形5〃'矩形KLCB'㈤1，2

1313

=-x—x3x（x+l-x）+—x3x—x2=6.

32、722

EF

5.（2324高一下.云南昆明・月考）（多选）如图，圆台002,在轴截面ABCZ）中,

AB=AD=BC=gc£>=2,下面说法正确的是（）

C.该圆台的体积为友兀

3

D.沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5

【答案】ACD

【解析】对于A,如图：

因为。।为CO的中点，所以CQ=OQ=2,所以AB=a£）,且A8〃OQ,

所以四边形A3OQ为平行四边形，所以Ba=AO=2,所以△BCQ为等边三角形，

所以N8Ca=60°,ZCBA=12O°,

在等腰AABC中,AC=4AB1+BC2-2AB-BCcosB=43AB=273，正确；

对于B,设圆台上底面半径为下底面半径为4，母线为/,则乙=1,&=2,1=2,

则圆台的表面积S=S上+S下+S侧=兀片+（兀4+叫）/+兀方=兀+6兀+4兀=11兀，错误；

对于C,由B知圆台的高为无=j22-（2-l）2=g,

所以圆台的体积庐3+22卜也兀=半兀，正确；

对于D,将圆台一半侧面展开，如图中A8C。，且E为A。的中点，

27rTt

而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形con,j=LOC=4,ZCOD=—=—,

42

所以在Rt^COE中，3=,42+32=5,即C到中点的最短距离为5,正确.

四.异面直线夹角计算

1.（2324高一下•山东聊城•月考）如图，在正三棱锥尸-ABC中，分别为尸A,尸8的中点，则异面直线

【答案】A

【解析】因为M,N分别为尸AP8的中点，所以肱V//AB,

则ZBAC是异面宜线MN与AC所成的角.

因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，所以AABC是等边三角形，于是NBAC=1.

故异面直线MN与AC所成的角为，TT故选：A.

2.（2324高一下.山西运城・月考）已知三棱锥P-ABC中，PCLAB,PC=4,AB=4框,E,尸分别是

PA,8C的中点，则EF与45所成的角大小为（）

【答案】A

【解析】取PB的中点G,连接GF,GE,如图,

又E为R4的中点，所以EG//AB,EG=-AB=2^3,

2

同理可得GF〃尸C,GF=-PC=2,

2

又PCJLAS,所以EGLFU,则/GEF为E尸与AB所成的角，

RSG硬中，tan/GEF=g£===="，所以所与A3所成的角为四.故选：A.

EG36

3.（2324高一下•江苏盐城・月考）在正三棱柱ABC-A4G中,AB=AAi=4,E为棱AC的中点，则异面

直线4E与5C所成角的余弦值为（）

A.一如B.一如C.6

5105

【答案】D

【解析】记A3的中点为歹，连接£F4尸，

因为E为棱AC的中点，所以所〃BC,

易知EF=2,4石=司尸=[M+A尸=2下,

所以△AEP为等腰三角形，幺石尸为锐角，

所以ZAEF即为异面直线4E与BC所成角，

记的中点为。，贝!）以》441£'尸=2^=」^=岑，

\E2V510

即异面直线4E与3c所成角的余弦值为言.故选：D

4.（2018•河北衡水•一模）在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,P为边AB的中点，现将4P绕直线DP

翻转至A/M'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线与P4所成角的正切值为（）

APB

A.±B.2C.-D.4

24

【答案】A

【解析】取AD的中点N,连接PN,MN,

因为又是AC的中点，柝以MNUCDUPB,

且MV=P3,所以四边形PBMN为平行四边形，所以MBUPN,

所以ZAPN为异面直线与P4所成的角，

KN1

在直角尸中，tanZA'PN=——=一.故选：A.

A'P2

5.（2324高一下.吉林长春•期中）（多选）在正方体ABCD-AgGR中，下列结论正确的有（）

A.AC和。2所成的角是90°B.AC和G2所成的角是90。

C.AC和4。所成的角是90°D.AC和AB所成的角是90°

【答案】AC

【解析】对A,在正方体中，底面ABCZZACi底面ABCD,

所以DQLAC,所以AC和所成的角是90°,所以A正确；

对B,因为GA〃C£>,所以AC和G2所成的角等于AC与CD所成的角，

正方体中，AC与CO所成的角为45°,即AC和GA所成的角是45°,所以B不正确；

对C,正方体中，因为瓦4ADR,BBt=DD,,则四边形瓦力用为平行四边形，

所以BD//BR,而AC/班），所以AC和4A所成的角是90°,所以C正确；

对D,在正方体中，因为2C//A2，BC=AA，则四边形为平行四边形，则4B〃，C,

所以AC和\B所成的角等于RC与AC所成的角，

设正方体棱长为。，则AC=C2=AR,则△ACR为等边三角形，所以2c与AC所成的角为60。,

所以AC和A8所成的角是60°,所以D不正确.故选：AC.

五.平行与垂直的命题判断

1.（2324高一下.河南新乡•月考）已知根，“表示两条不同的直线，6表示两个不重合的平面，且

M//C,下列说法中正确的是（）

A.若根〃，，则a//尸B.若&//月，则血/尸

C.若机则C#D.若aJ■/，则机_L〃

【答案】C

【解析】对于A中，由%〃/根///，则平面。与平面夕平行或相交，所以A不正确;

对于B中，由m///«//£,则直线〃/〃/或加u£,所以B不正确；

对于C中，如图所示，过直线加作平面/,使得=

因为相〃。，且加U7,可得力〃“，又因为7"_L尸，所以〃_L。，

因为wua,可得a_L#,所以C正确；

对于D中，由m则直线机与平面夕平行、相交或mu£,所以D不正确.故选：C.

2.（2223高一下•北京通州・期末）设/是直线，a,乃是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）

A.若〃/£，1///3,则a〃/B.若〃/a,1^13,则a_L£

C.若/，分，,则〃/aD.若〃/a,aY（3,则/_L。

【答案】B

【解析】A：若〃/0,/〃"，则夕〃尸或相交，故A错误；

B：若IHa,1，/3,由线面平行和垂直的性质可得。，力，故B正确；

C：若110,a，/3,则〃/0或/ua,故C错误；

D：若〃/a,aY/3,贝I"，#或/〃6或/u/?,故D错误；故选：B.

3.（2324高一下•天津・月考）已知机、"是两条不同的直线，。、夕、7是三个不同的平面，则下列命题

正确的是（）

A.若aJ_y,a±]3,贝i]/〃6B.若inHn,mua,nu/3,则a〃尸

C.若mlln,mlla,贝！I;〃/aD.若m//n,〃7_Lcr,nVp,则a〃£

【答案】D

【解析】对于A,比如教室的一角三个面相互垂直，故A不正确;

对于B,若根〃”，mua,〃u£,此时。与夕可能相交或平行，故B不正确;

对于C,若〃”/〃，mHa,止匕时"ua或由线面平行的判定定理可知，"ua或“〃0,故

C不正确；

对于D,若mLa,则〃J_a,而〃所以a〃尸，故D正确.故选：D

4.（2324高一下.安徽阜阳・月考）已知相，九是两条不同的直线，尸是两个不同的平面，则（）

A.若zn//a,nila,则W/”B.若m11a,m//n,贝!J〃_La

C.若aH（3,mVa,"〃/?,则D.若mlIn,”ua,则

【答案】C

对于A,把底面ABC。看成平面a,把4月看成加，把qG看成〃，此时机，"不平行，故A是错

误的；

对于B,把底面ABCD看成平面a,把4月看成加，把GQ看成"，此时〃〃打，故B是错误的;

对于D,由于题目中没有告知所以不能判断山〃c,故D是错误的；

对于C,由a〃£,mla,可得加_LQ,

由M/6，可知在尸内一定有一条直线/满足）〃，

而机_1_〃，则必有所以机_L〃，故C是正确的；故选：C.

5.（2324高一下.江苏盐城・月考）已知/、加是不重合的两条直线，］、夕是不重合的两个平面，则下列

结论正确的是（）

A.若£（"!/?=/,根utz,l//m,则相〃,

B.若/utz,mu/3,all/3,则〃/

C.若aC|£=/,mA_I,则

D.若/_Lm,mlla,贝！|/_L<z

【答案】A

【解析】对于A,因为a□£=/,机ue,所以相

又I!Im,lu/3,所以%/〃？，A正确；

对于B,在正方体ASC。-ABC］。中，记平面ABCD为a,平面44G2为夕，

AB为I,AR为m,贝mu/3,a〃£,但/与m不平行，B错误；

对于C,记平面ASG，为a,平面ABCD为尸，AB为I,A）为m,

由正方体性质可知，平面ADAA，A。u平面A。。4,所以ARLAB,

则a。尸=/,但a,£不垂直，C错误；

对于D,记人2为7,AB为机，平面421cl2为a,

则/_L〃z,mlla,但/与a不垂直，D错误.故选：A

六.直线、平面平行的判定与性质

1.（2223高一下•河南洛阳•月考）已知机，〃表示两条直线，名尸,y表示平面，下列命题中正确的有（）

①若。口7=私尸口7=",S.m//n,则々//6；

②若相交且都在平面a,6外，m!Ia,mll/3,nlla,nlI13,则a〃£；

③若mlla,mlI/3，则a〃£;

④若777〃/〃〃/7,且mlIn,则a//£.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】对于①，若。门/=〃7,月门7=",且相〃〃，则夕〃/或相交，故①错误；

对于③和④，。与夕也可能相交，均错误；

对于②，设加，相交确定平面/,根据线面平行的判定定理知a〃片4〃7，

根据平行平面的传递性得知.故选：A.

2.（2324高一下•福建南安•期中）如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各

图中，不满足直线〃平面ABC的是（）

B/1M.

【答案】D

【解析】对于A,如下图所示,

易得AC"EF,MN//EF，咽MN//AC,

又平面ABC,ACu平面ABC,则MN〃平面ABC,故A满足;

对于B,如下图所示，E为所在棱的中点，连接区4,EC,EB,

易得4石=8。,4E〃86则四边形"虑为平行四边形，A氏C,E四点共面,

又易知MN//BE,

又MNO平面ABC,BEu平面ABC,则M/〃平面ABC,故B满足；

对于C,如下图所示，点。为所在棱的中点，连接。4,DC,08,

易得四边形ABC。为平行四边形，A,民C,。四点共面，豆MN/IBD,

又肱VN平面ABC,3Du平面ABC,则肱V〃平面ABC,故C满足;

对于D,连接AM,3N,

由条件及正方体的性质可知四边形4⑷由是等腰梯形，

所以AB与MN所在的直线相交，

故不能推出MN与平面ABC不平行，故D不满足，故选：D.

3.（2223高一下•浙江温州•月考）下列四个正方体中，A,B,C为所在棱的中点，D,E,尸为正方体

的三个顶点，则能得出平面AB。〃平面。斯的是()

【解析】对于A选项，若平面ABC〃平面DEF,BCu平面ABC,则BC〃平面DEF,

由图可知BC与平面DEF相交，故平面ABC与平面DEF不平行，A不满足条件;

对于B选项，如下图所示，连接NG,

因为A、C分别为PN、PG的中点，则AO/NG,

在正方体EaDG—MFNP中，FNIIEGAFN=EG,

故四边形EFNG为平行四边形，所以，NG//EF,:.AC//EF,

♦.•ACz平面£)£F,EFu平面£)£F,AC〃平面DEF,

同理可证BC〃平面DEF,••・ACn3C=C,因此，平面ABC〃平面DEF,B满足条件;

对于C选项，如下图所示：

在正方体尸HDG-MNFE中，若平面ABC〃平面DEF,且平面DEF//平面MA归P,

则平面ABC//平面MNHP,但这与平面ABC与平面MM7P相交矛盾，

因此，平面ABC与平面。砂不平行，C不满足条件；

对于D选项，在正方体尸Z»/G-月VEM中，连接阳、PM、MH,如下图所示:

因为。"〃F"目则四边形。"MF为平行四边形，则叱//MH,

平面尸HM,Aff/u平面所以，DF〃平面PHM,

同理可证所〃平面PHM,-.-DFC\EF=F,所以，平面DEF〃平面

若平面ABC//平面DEF,则平面ABC//平面PHM,

这与平面ABC与平面相交矛盾，故平面ABC与平面OEF不平行，D不满足条件.故选：B.

4.（2324高一下.广东广州•期中）如图，在空间四边形A8CD中、点E、H分别是边A3、A。上的点，

F、G分别是边8C、CO上的点，EH//FG,EH丰FG,则下列关于直线即，G”的位置关系判断正

确的是（）

A.政与GH互相平行；

B.E尸与GH是异面直线；

C.所与G”相交，其交点在直线上；

D.EF与GH相交，且交点在直线AC上.

【答案】D

【解析】因为硝〃2G,EH^FG,所以四边形跳是梯形，所以所与GH共面，且不平行，AB错

误；

则政与GV相交，

对于C,因为团u平面ABD,KHZ平面BCD,FGu平面BCD,FG<Z平面ABD,

所以EH〃平面BCD,RS//平面ABD,

又平面BCDPl平面ABD=BD,所以EH〃BD〃GF,

因为EHu平面EFG”,BD0平面EFGH,所以5D〃平面，故C错；

对于D,若GHr与AC平行，G"i平面EFG”,AC<z平面£FG”,则AC〃G”，

又ACu平面ACS,且平面ACBC平面EFG〃=£F,贝lJAC||£7"

所以GH"EF,与四边形EFGH是梯形矛盾，所以G”与4c不平行，

又GH,ACu平面ACD,所以G7Z与AC相交，斯与AC不平行，跖,ACu平面ABC,

所以所与AC相交，

综上，AC与平面EFG8相交，且只有一个交点，

所以EF与G"相交，且交点在直线AC上，D正确.故选：D

5.（2324高一下.江苏连云港•期中）在空间四边形ABCD中，〃,G分别为3CCD的中点，瓦户分别为

A5,AD上的点，S.AE:EB=AF:FD=1:2,则（）

A.3。//平面且£FG”为矩形B."G〃平面ABD且EFG/7为菱形

C.HE7/平面9。且£7^汨为平行四边形D.EP〃平面3CD且EFG7?为梯形

【答案】D

【解析】因为H,G分别为的中点，所以HG//BD且HG=^BD,

2

因为E,尸分别为AB,AO上的点，且AE：EB=AF:FD=1:2所以EF//BD且EF=LBD,

3

所以EF//HG且EF大HG,所以四边形瓦为梯形，

又EF<Z平面BCD,3Du平面3CD,所以EP〃平面3CD

故选：D.

七.直线、平面垂直的判定与性质

1.（2324高一下•吉林长春•期中）如图，在正方形ABCD中，E,尸分别是BC,C。的中点，现在沿AE,

AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B,C,。三点重合，重合后的点记为G,且取E尸中点为

0,则在这个空间图形中必有（）

A.AOYOGB.AEA.AF

C.AG-LOGD.AELOG

【答案】C

【解析】依题意，AG-LEG,AG.LFG,EGC\FG=G,EG,FG^^EFG,则49，平面石尸G,

而OGu平面EFG,因此AGLOG,而QG不重合，C正确，A错误;

7T

显然=B错误；

若AE_LOG,而AG_LOG,AEnAG=A,AE,AGu平面A£G,

则。G1平面AEG,又GEi平面AEG,于是OGLGE,

TT

在Rt^GEF中，O为斜边石尸的中点，ZEGO<~,矛盾，D错误.故选：C

2.（2024•江西南昌•二模）在三棱锥A—BCD中，平面BCD,AB=6BC=BD=CD=2,E,F

分别为AC,8的中点，则下列结论正确的是（）

A.AF,BE是异面直线，AF±BE

B.AF,班是相交直线，AF±BE

C.AF,BE是异面直线，AF与班不垂直

D.AF,仍是相交直线，AF与防不垂直

【答案】A

【解析】显然根据异面直线判定方法：

经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE与平面ACD内不经过E点的直线AF是

异面直线.

下面证明BE与AF垂直：

证明：因为平面BCD,CDu平面3CD,所以ABLCD,

因为3C=3£）=CE>,尸分别为CO的中点，连接M,所以跳UCD,

因为河口2尸=2，A8,8Ru平面ARE,所以CD_L平面ARE,

如图：取AF的中点。，连接5。，EQ,

因为AFu平面AB尸，所以CDLAP,

又因为EQ/CO,所以EQLAb,

因为3c=3£>=CD=2,所以8尸=旦2=如=的

2

又因为。为■的中点，所以尸，

因为3QcE0=Q,BQ,EQu平面BE。，所以AF_L平面3EQ,

又因为BEu平面BE。，所以AFXBE.故选：A.

3.（2324高一下•浙江宁波・期中）如图，正三棱柱ABC-AB'C'的所有边长都相等，P为线段33,的中点,

。为侧面国'CC内的一点（包括边界，异于点P）,过点A、P、。作正三棱柱的截面，则截面的形状不

可能是（）

A.五边形B.四边形

C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】A

【解析】对于B：当尸2的延长线与线段8,C'（除端点外）相交于点尸时，延长尸。交CC的延长线于点

D,

连接AD交AC'于点E,连接E/，

此时过点A、P、。作正三棱柱的截面为四边形APFE

（当Q在线段B'C'（除端点外）时截面也为四边形），故B正确;

对于A：当PQ的延长线与线段CC'、BC（除B点外）相交

（或点。在线段CC'、BC（除B点外）上时）截面为三角形,

结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误;

对于C：取CG的中点Q,连接PQ、AQ,又P为线段88'的中点,

所以AP=AQ,所以△APQ为等腰三角形，故C正确;

对于D：取8C的中点Q,连接AQ、PQ,

因为三棱柱ABC-AB'。为正三棱柱，所以AQLBC,

又2笈，平面ABC,AQu平面A3C,所以

又Ben明=8,8（?,班^平面班9。，所以AQ_L平面38CC,

又尸Qu平面阿，CC,所以AQLPQ,所以△APQ为直角三角形，故D正确;

故选：A

4.（2024高一下•全国・专题练习）（多选）如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AD^AB,

ZBCD=45°,ZBAD=9Q°,将沿折起，使平面平面BCD,构成几何体A-BCD,则在

几何体A-3CD中，下列结论正确的是（）

B.平面ADC_L平面3£>C

C.平面ABC1平面班）C

D.平面ABC1平面ADC

【答案】AD

［解析】AD\\BC,AD=AB,ZBCD=45°,ABAD=90°,

：.CD±SD,又平面ABD_L平面BCD,

且平面ABDc平面5co=BD,\C0A平面ABD,

又ABu面ABD,CDLAB,

ABLAD,且03门40=£>,。£>,40<=平面4。。，.：AB上平面ADC,

又ABu平面ABC,平面ABC/平面ADC,故选：AD.

5.(2324高一下.江苏宿迁•月考)(多选)如图(1),在矩形A8CO中，AB=2AD,E是8的中点，沿

AE将VADE折起，使点。到达点尸的位置，并满足24,尸3,如图(2),贝1|()

图⑵

A.平面E4B_L平面PBEB.平面PAE_L平面PBE

C.平面PAB_L平面ABCED.平面PAE_L平面MCE

【答案】ABD

【解析】因为PA_LP3,PA_LPE,且尸3cPE=P,PB,PEu平面PBE,所以上4J_平面PBE.

又尸Au平面尸Au平面E4E,

所以平面平面PBE,平面PAE_L平面尸BE,故A,B正确.

如图(1),取A3的中点/，连接£>/，交AE于点G,

则VADE和△ADP均为等腰直角三角形，

所以ND4E=NADb=45。，所以NAGD=90。，即_LAE,

如图(2),连接尸尸，因为PGLAE,FG±AE,所以NPGF为二面角尸-他-8的平面角.

设AT>=2,则DG=GB=0，在Rt^PAB中，AB=2AD=4,尸为A3的中点，

i^PF=-AB=2.

2

所以PG?+GF2=（A/2）2+（V2）2=4=PF2,所以ZPGF=90°，

所以平面PAE_L平面ABCE,则平面与平面ABCE不垂直，故C错误，D正确.

故选：ABD.

图(1)图(2)

八.几何体的外接球和内切球

1.（2324高一下.河北张家口•月考）在三棱锥P-ABC中，PA=BC=岳,PB=AC=y/il,

PC=AB=3五,则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为（）

A.9671B.50兀C.48兀D.24兀

【答案】D

【解析】因为在三棱锥尸—ABC中，PA=BC=y/13,PB=AC=V17,PC=AB=3心,

将三棱锥P-ABC放到长方体中，设长方体同个顶点A的三条棱长分别为。，仇c,如图,

一+/=13

贝I]W=@0『=18,所以/+/+。2=24,

a2+c2=17

因为长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径，

所以三棱锥P-ABC外接球的直径为7a2+/72+c2=叵=2屈,半径为娓，

所以三棱锥尸-ABC外接球的表面积为4兀=24兀.故选：D.

2.（2324高一下•河南信阳・月考）在三棱锥尸-ABC中，AC,平面2AB=6,AC=10,

BP=2y[2,川尸=45。，则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为（）

A.144兀B.128TIC.14071D.1487r

【答案】C

【解析】在AAB尸中由余弦定理A尸=AB2+BP2-2,ABBPCOSZABP

=62+（2A/2）2-2