人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：习题课　两个计数原理及排列组合

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1习题课两个计数原理及排列组合课标要求素养要求1.进一步理解两个计数原理，掌握解决计数实际问题的基本思想.2.理解排列、组合的概念，加深公式的理解应用；利用排列、组合解决一些简单的实际问题.通过回顾相关的知识，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究有10个年轻人在一家饭店吃饭，几个人商议想吃免费的午餐，老板说“你们每次来吃饭由我安排座位，如果我安排的座位与前面的哪一次完全重复了，就免去全部费用”．大家以为很快就能吃到免费的午餐，结果一年以后还没吃到，你认为他们可能吃到吗？问题上述情景中，他们能吃到免费的午餐吗，为什么？〖提示〗上述情景中，老板安排10人的座位共有10！＝3628800(种)排法，就算每天吃一餐，也要近1万年才能排完，所以这10个人不可能吃到免费的午餐．1．分类加法计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.分步乘法计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.2．排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)；组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n)．3．解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略．拓展深化〖微判断〗1．从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．(×)〖提示〗由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题．2．由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．(×)〖提示〗Ceq\o\al(m,n)是从n个不同元素中取m个不同元素的情况的种数，故Ceq\o\al(m,n)一定是正整数．3．区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关．(√)〖微训练〗1．Aeq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,3)＝()A．9 B．12C．15 D．3〖解析〗由题意得Aeq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,3)＝4×3－eq\f(3×2,2)＝12－3＝9.〖答案〗A2．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m等于()A．9 B．8C．7 D．6〖解析〗因为Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，所以m(m－1)(m－2)＝6·eq\f(m（m－1）（m－2）（m－3）,4×3×2×1)，即1＝eq\f(m－3,4)，解得m＝7.〖答案〗C3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有()A．144种 B．90种C．260种 D．120种〖解析〗3名女生先排好，有Aeq\o\al(3,3)种排法，让3个男生去插空，有Aeq\o\al(3,4)种方法，故共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(种)排法．〖答案〗A〖微思考〗1．在排列数中，n，m的作用是什么？〖提示〗n是连续相乘正整数(因式)中的最大的数，而正整数(因式)的个数取决于m.2．定序问题是排列问题还是组合问题？〖提示〗定序是指某些元素的顺序是一定的，即顺序对元素不再产生影响，所以是组合问题.题型一两个计数原理的应用〖例1〗(1)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有()A．11 B．12C．20 D．21〖解析〗根据题意，设5个开关依次为1，2，3，4，5，若电路接通，则开关1，2与3，4，5中分别至少有1个接通，对于开关1，2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况；对于开关3，4，5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种)．故选D.〖答案〗D(2)电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有__________种不同的结果．〖解析〗在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11400(种)结果．因此共有17400＋11400＝28800(种)不同结果．〖答案〗28800规律方法“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．〖训练1〗(1)现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种 B．30种C．36种 D．48种〖解析〗将原图从上而下的4个区域标为1，2，3，4.因为1，2，3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1，4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.〖答案〗D(2)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有__________种(用数字作答)．〖解析〗上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．〖答案〗264题型二有限制条件的排列、组合问题〖例2〗为迎接国庆，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为()A．720 B．768C．810 D．816〖解析〗根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有Aeq\o\al(4,7)＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)，其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(种)，则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．故选B.〖答案〗B规律方法(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．〖训练2〗某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有()A．210种 B．420种C．56种 D．22种〖解析〗由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,7)＝210(种)．〖答案〗A题型三排列、组合的综合应用〖例3〗有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)种，后排有Aeq\o\al(5,5)种，共(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400种．(2)除去该女生后，先取后排，有Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有Ceq\o\al(3,6)种，再安排该男生有Ceq\o\al(1,3)种，其中3人全排有Aeq\o\al(3,3)种，共Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360(种)．规律方法解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步．〖训练3〗有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解法一从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：第1类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有Ceq\o\al(1,4)种方法；0可在后两位，有Ceq\o\al(1,2)种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有Ceq\o\al(1,3)种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×22个．第2类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(3,3)个．第3类：0和1都不取，有不同的三位数Ceq\o\al(3,4)×23×Aeq\o\al(3,3)个．综上所述，不同的三位数共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×22＋Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)×23×Aeq\o\al(3,3)＝432(个)．法二任取三张卡片可以组成不同的三位数Ceq\o\al(3,5)×23×Aeq\o\al(3,3)个，其中0在百位的有Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(2,2)个，这是不合题意的，故不同的三位数共有Ceq\o\al(3,5)×23×Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,4)×22×Aeq\o\al(2,2)＝432(个).一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．3．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．二、素养训练1．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有()A．8本 B．9本C．12本 D．18本〖解析〗由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本)．〖答案〗D2．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有()A．36种 B．108种C．210种 D．72种〖解析〗从4男3女志愿者中选1女2男有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．〖答案〗B3．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A．24 B．48C．72 D．96〖解析〗根据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有Aeq\o