人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：§8 1　成对数据的统计相关性

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.1成对数据的统计相关性学习目标1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．知识点一相关关系1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．思考相关关系是函数关系吗？〖答案〗不是．函数关系是唯一确定的关系．2．相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点二相关关系的刻画1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．2．样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).(2)样本相关系数r的取值范围为〖－1,1〗．①若r>0时，成对样本数据正相关；②若r<0时，成对样本数据负相关；③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系．(√)2．样本相关系数r越大，两变量的相关性越强．(×)3．散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．(√)4．若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．(×)一、变量间相关关系的判断例1(1)(多选)下列关系中，属于相关关系的是()A．正方形的边长与面积之间的关系B．农作物的产量与施肥量之间的关系C．出租车费与行驶的里程D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系〖答案〗BD〖解析〗A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．(2)某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：x24568y3040605070①画出散点图；②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？解①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．②从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．反思感悟两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练1(多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是()〖答案〗BC〖解析〗图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．二、样本相关系数的性质例2(1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性()A．甲B．乙C．丙D．丁〖答案〗D〖解析〗|r|越接近1，相关性越强，故选D.(2)在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2〖答案〗A〖解析〗∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关．∴可排除B，C，D，故选A.反思感悟样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．跟踪训练2(1)对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关〖答案〗C〖解析〗由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．(2)(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是()A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系D．|r|越接近1时，线性相关程度越强〖答案〗AD〖解析〗对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD.三、样本相关系数的计算及应用例3某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：x2468y30405070(1)画出(x，y)的散点图；(2)计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度．解(1)画出(x，y)的散点图如图所示．(2)eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝47.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝120，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝9900，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1080，故样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r(120－4×529900－4×47.52))≈0.9827.由样本相关系数r≈0.9827，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高．反思感悟线性相关强弱的判断方法(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．跟踪训练3假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0计算y与x之间的样本相关系数(精确到0.001，已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4)．解∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)2＝140.8－125＝15.8，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.1．(多选)下列命题正确的是()A．任意两个变量都具有相关关系B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系D．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关〖答案〗CD〖解析〗A显然不对，B是函数关系，CD正确．2．若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.9832，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定〖答案〗B〖解析〗变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.9832，|r|＝0.9832接近1，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，∴变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选B.3．两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.7859，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.9568，则下列判断正确的是()A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强〖答案〗C〖解析〗由样本相关系数r1＝0.7859>0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.9568<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选C.4．据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)〖答案〗否〖解析〗图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系．5．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：固定资产价值33566789910工业增加值15172528303637424045根据上表资料计算的样本相关系数约为________．〖答案〗0.9918〖解析〗eq\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6，eq\x\to(y)＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋3