人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册课时作业4：7 1 2 全概率公式练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.1.2全概率公式一、选择题1.甲袋里有5只白球，7只红球，乙袋里有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(13,24)C.eq\f(7,12) D.eq\f(1,3)〖答案〗B〖解析〗从两袋中任选一袋，选中甲、乙的概率都是eq\f(1,2)，又从甲袋中取到白球的概率是eq\f(5,12)，从乙袋中取到白球的概率为eq\f(4,6)，故所求概率为eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)＋\f(4,6)))＝eq\f(13,24).2.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为()A.0.0123 B.0.0234C.0.0345 D.0.0456〖答案〗C〖解析〗所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.3.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为()A.0.0125 B.0.362C.0.468 D.0.0345〖答案〗B〖解析〗所求概率为eq\f(0.25×0.05,0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02)≈0.362.4.已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为()A.eq\f(5,12) B.eq\f(3,7)C.eq\f(20,41) D.eq\f(21,41)〖答案〗D〖解析〗所求概率为eq\f(\f(1,2)×\f(6,10),\f(1,2)×\f(6,10)＋\f(1,2)×\f(8,14))＝eq\f(21,41).5.5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次.若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)〖答案〗B〖解析〗第一次取每个数字的概率都是eq\f(1,5).如果第一次取得的是1，那么再从四张当中取的话，都比1大，所以概率就是eq\f(1,5)×1＝eq\f(1,5)；如果第一次取得的是2，那么再从四张当中去取得到的比2大的概率就是eq\f(3,4)，所以概率为eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,20)；以此类推所得概率分别是eq\f(1,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(1,10)，eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,20).故所求概率为eq\f(1,5)＋eq\f(3,20)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,20)＝eq\f(1,2).二、填空题6.两台机床加工同样的零件，它们出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为__________.〖答案〗eq\f(73,75)〖解析〗由题意知第一台机床加工的零件占总数的eq\f(2,3)，第二台机床加工的零件占总数的eq\f(1,3)，故所求概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×0.03＋\f(1,3)×0.02))＝eq\f(73,75).7.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(Aeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B)))＝0.95，P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\o(B,\s\up6(－)))))＝0.95.现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A)))＝______(保留两位有效数字).〖答案〗0.087〖解析〗P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(P（B）P（A|B）,P（B）P（A|B）＋P（\o(B,\s\up6(－))）P（A|\o(B,\s\up6(－))）)＝eq\f(0.005×0.95,0.005×0.95＋0.995×0.05)≈0.087.8.装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为__________.〖答案〗eq\f(3,8)〖解析〗设A＝“从箱中任取2件都是一等品”，Bi＝“丢失的是i等品”，i＝1，2，3，那么P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)，P(Bi)表示的就是丢失i等品的概率.所以P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,9))＋eq\f(3,10)×eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,9))＋eq\f(1,5)×eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(2,9)，从而所求概率为P(B1|A)＝eq\f(P（B1）P（A|B1）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2)×\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,9)),\f(2,9))＝eq\f(3,8).三、解答题9.设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率.解设A＝“甲抓到有物之阄”，B＝“乙抓到白阄”，则P(A)＝eq\f(2,10)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(8,10)，从而P(B)＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(2,10)×eq\f(8,9)＋eq\f(8,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(4,5).10.设某工厂有两个车间生产同型号的家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.解设B＝“从仓库中随机提出的一台是合格品”，Ai＝“提出的一台是第i车间生产的”，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.11.某试卷中1道选择题有6个〖答案〗，其中只有一个是正确的.考生不知道正确〖答案〗的概率为eq\f(1,4)，不知道正确〖答案〗而猜对的概率为eq\f(1,6).现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,19)C.eq\f(11,16) D.eq\f(19,24)〖答案〗B〖解析〗设A＝“不知道〖答案〗”，B＝“答对此题”.则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B|A)＝eq\f(1,6)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝1.所以所求概率为P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(P（A）P（B|A）,P（A）P（B|A）＋P（\o(A,\s\up6(－))）P（B|\o(A,\s\up6(－))）)＝eq\f(\f(1,4)×\f(1,6),\f(1,4)×\f(1,6)＋\f(3,4)×1)＝eq\f(1,19).12.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，(1)若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中也取出的是白球的概率是______；(2)从乙箱中取出白球的概率是______.〖答案〗(1)eq\f(2,5)(2)eq\f(8,25)〖解析〗设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”，则P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5).(1)所求概率为P(B|A)＝eq\f(2,5).(2)易知P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,5)，故由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25).13.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并往盒中加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率.解设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，由题意P(A)＝eq\f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq\f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(a,a＋b)，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(b,a＋b＋c)，由全概率公式得P(B)＝P(A)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A）＋))P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up6(－))）))＝eq\f(b（b＋c）,（a＋b）（a＋b＋c）)＋eq\f(ab,（a＋b）（a＋b＋c）)＝eq\f(b,a＋b).14.假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：疾病人数出现S症状人数d177507500d252504200d370003500试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中的哪一种较合理？解设A＝“患有出现S中的某些症状”，Di＝“患者患有疾病di”(i＝1，2，3)，由于该问题观察的人数很多，故用事件的频率作为概率的近似是合适的.由统计数字可知P(D1)＝eq\f(7750,20000)＝0.3875，P(D2)＝eq\f(5250,20000)＝0.2625，P(D3)＝eq\f(7000,20000)＝0.35，P(A|D1)＝eq\f(7500,7750)≈0.9677，P(A|D2)＝eq\f(4200,5250)＝0.8，P(A|D3)＝eq\f(3500,7000)＝0.5.从而P(A)＝P(D1)P(A|D1)＋P(D2)P(A|D2)＋P(D3)P(A|D