结构不良题-数列-B组-新高考数学特色题型专练

结构不良-数列-B组

一、解答题

1.已知等比数列｛斯｝的公比q>l,“GN*,且42=2,ai+a3=5.

(1)求｛©,｝的通项公式.

(2)在①加=—2,S"+i=一(〃+1)(〃+2),②乩=1,Sn=nbn,③2s,=3历,一1这三个条件中任

选一个，补充在下面的问题中.若题中的人存在，求上的最小值；若左不存在，说明理

由.

问题：设数列｛儿｝的前w项和为S,，，数歹!1｛斯一儿｝的前〃项和为是否存在

k,使得4>100?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)斯=2"一।

(2)见详解

【详解】⑴由。1+俏=藁+。24=5和02=2,得/2q=5,即2g?—5q+2=0,又q>l,则

q=2,故即=2"一I

(2)若选择条件①，"=—2,S”+i=—("+l)(w+2),"GN*,

则S”=-n(n-\-1),n>2,又Si=6i=—2也满足此式,所以S”=-n(n-\-1),“GN*.

故。氏=5"+萋一S”=—(〃+2)(〃+l)+〃(〃+l)=—2("+1),又加=—2,所以瓦；=—2”,a„

-b„=2'^l+2n.

n2

根据分组求和得，Tn=—+^^=2+n+n-1.

1—22

易知当时，％单调递增，且△=25+52+5—1=61,76=26+62+6—1=105.故使

%>100的人存在，且最小值为6.

若选择条件②，d=1,Sn=nbn,则S“+i=("+l)b"+i,所以b“+i=S“+i—S“=(〃+l)b”+i—

nb„,即仇+i=6"(数列的任意相邻两项相等，此数列为常数列)，则幻="=1,

则a—b=2n~-L所以T=———n=2n—n—l.

nnn1—2

令g(〃)=2"一"一l,则g，S)=2"ln2—l>0在［1,+oo)上恒成立，则g(”)在［1,+8)上单调

递增.又〃=57<100,r7=120>100,故使7>100的人存在，且最小值为7.

若选择条件③，2Sn=3b,「l,令”=1,则2"=3"一1,得加=1,

则2S〃+i=3d+i—1,所以2幻+1=2&+1—2S,=36.+i—3"”得儿+i=3b,”则｛d｝是以1为

首项，3为公比的等比数列，即久=3"-I如一为=2"一1—3"一1.当"=1时，0一"=0,Ti=

0；当论2时,2Gbl即斯一3"一1<0,即乙<。，故不存在%，使得7>100.

【关键点拨】与数列前w项和有关的不等式求解时，通常考虑将前“项和看作一个函数，

并判断其单调性.

2.给定三个条件：①02，。4，48成等比数列，②54=5。2，③("+1)斯="斯+1.从上述三个条

件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

问题：设公差不为零的等差数列｛为｝的前“项和为S",且$3=6,.

(1)求数列｛诙｝的通项；

(2)若勿=_^^,数列｛6“｝的前W项和为K”，求证：K,忌

«n«n+24

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)斯=〃

(2)见详解

【详解】设等差数列｛%｝的公差为或存0).

选条件①：,；S3=6,。2，。4,。8成等比数列,

(S3-3al+3d=6,

**1(^+3d尸=(at+d)(Qi+7d),

解得｛建广故数列｛如｝的通项为an=n.

选条件②：•.』=6,54=53，公?解得伊％做数列｛斯｝的通项为

Ma】+6d=5(%+a),id=1,

an-n.

选条件③：;S3=6,(n+l)an=nan+i，

.(S3=3al+3d=6,

•*((n+1)[ct]+(n—l)dJ=九(。1+nd),

解得猊二J'故数列｛&｝的通项为an=n.

(2)【证明】由(1)知斯=〃，则为=工七=之(；一圭)(分式型，通常利用裂项相消法求

和)，

：.K=-(-2^3R-.

n2\1324nn+2j2V12n+1n+272、2(九+1)(?1+2)'4

【方法速记】数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列与对称性相关联的数列的求和.

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和（或差）数列的求和.

3.[陕西西安长安2023—模（理）]已知等差数列｛%｝的前"项和为S"，满足％=6,

在①邑=0；②邑=20；③。2+%+/=3。这三个条件中任选一个，补充在上面的问

题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我

选"）

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设％=2"”+与，求｛设｝的前〃项和看.

【答案】⑴4=2〃

⑵方=*4'-1）+/+”

【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得进而即得;

[a=2

（2）利用分组求和法即得.

【详解】（1）设等差数列｛见｝的首项为外，公差为d

若选择条件①邑二。6，则由。3=6,

[a,+2d=6fa=2

得I3解得:c，

4=2+2(〃-l)=2n；

若选择条件②邑=20,则由%=6,

q+2d=6

q=2

得“4x3,解得

4。］H-------d=20d=2

,'2

an=2+2(n一1)=2〃；

若选择条件③%+%+%=30,则由%=6,

2d=66=2

得+44)=30,解得

d=2

an=2+2(〃-1)=2〃；

(2)由(1)知，选择三个条件中的任何一个，都有见=2w,

2,,

贝(Jbn=2。"+an=2+2M=4"+2〃，

・.・｛2｝的前n7；,=(4I+42+43+---+4,,)+2(l+2+3+---+n)

40-4")+4Z、2

=-^------^+2x-^——L=-4"-i\-

1-423、)+n+n

4.［云南曲靖2023第一次质监］在①4="，②q〃=4这两个条件中选择一个补充在下

面的问题中，然后求解.

设等差数列｛q｝的公差为d(〃eN*),前a项和为S“，等比数列也｝的公比为q.已

知々=4，仇=2,.几=10。(说明：只需选择一个条件填入求解，

如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分)

(1)请写出你的选择，并求数列｛%｝和也,｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝满足c,=，设｛%｝的前〃项和为％,,求证：Tn<6.

【答案】⑴选①见=2"-1,2=2"，选②见=2〃-1,bn=y-'.

(2)证明见解析

【分析】(1)由等差数列、等比数列的基本量代入方程组求解即可.

(2)运用错位相减法求和即可.

n

【详解】(1)由题意知，4=4+("-1纭，bn=bxq-',S"=叫+当

选①，由题意知，deN*,

b=a

xxq=1

如=2?

[2q+9d=20仇=1

q=d「\n<

ad-2d=2'

i0Qx

10q+Cx^d=100q=2

n

所以%=4+5-1)4=2〃-1,优=如""=2"、即：«„=2/7-1,bn=2-'.

选②，由题意知，deN*,

-ax

bxq=2

qd=4

inQ

10q+^x—d=100

q=l

2a+9d=20

xa=1

ci.,—4—2c0d=2

1d

q=2

所以4=4+5-l)d=2〃-1,b“=b@J=2"\即：an=2n-\,b“=2*，

(2)证明：由(1)得g=』r，

・T135792H-1^

•々=l+]+级方+…+h①'

1135792n-l^

/=5+齐+厅+吩+尹+…+下=②

1__1_I

1^1112n-l22n~2X22n-l2n+3

①一②得:/万+级+…+*一

2"[12"2"

1----

2

,_G2〃+3

•,T-6--声一•

又：对V〃eN*,竺?>。恒成立，

2

:工<6.

5.［吉林延边州2022—模(文)］这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中,

并解答.

①g=5,Sn+l-2Sn+S„_t=3(M>2,71eN,)；

②的=5,%=3S,一2s“「明(〃”〃6*)；③2-辿=?心2,〃eN)

nn-12、/

问题：已知数列｛《｝的前〃项和为S",4=2,且____________.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

⑵已知耳是小％的等比中项,求数列4的前，项和小

【答案】(1)条件选择见解析，an=3n-l

（2）丁"-2（3ra+2）

【分析】（1）选①，可推导出数列｛。“｝为等差数列，确定该数列的首项和公差，

即可求得数列｛%｝的通项公式；

选②，可推导出。用+。小=24,可知数列｛七｝为等差数列，确定该数列的首项和公

差，即可求得数列｛%｝的通项公式；

选③，分析可知数列1｝1为等差数列数列，确定该数列的首项和公差，可求得

S„,再由_"可求得数列｛%｝的通项公式；

（2）求得出=（3〃-1）（3〃+2）,可得出《二点二-丁』，利用裂项求和法可求

得

【详解】⑴

解：选条件①时，出=5,Sn+l-2S,l+Sn_l=3,

整理得⑸+「S“）—（S"—S'T）=3,故%「%=3（常数），且出-%=3,

所以数列｛。“｝是以2为首项，3为公差的等差数列.

故q=4+3（〃-1）=3〃-1；

选条件②时，出=5,5„+1=3Sn-25„_,-an_x（«>2,»eN*）,

整理得Sn+l-Sn=2（Sn-SQ-的,故%+%=2%,

故数列｛。“｝是等差数列，公差1一4=3,故为=q+3（〃T）=37Ll；

选条件③时，2--=：（心2,〃eN*）,且q=2,

所以数列［2］是以2为首项，1■为公差的等差数列，贝|2=2+3〃-1）=：〃+1,

InJ2n2V722

所以3i

则小22时，an=Sn-Sn_x=3n-l.

又%=y=2=3x1—1满足氏=3〃一1,所以q=3九一1,〃EN*.

⑵

解：由（1）得：an=3n-l,

由于4是%、%+i的等比中项,所以b；=a“4+i=（3〃一1）（3〃+2）,

1_]_If_J_______

贝戈一（3“_1）（3"+2）一§13“一1―3"+2）'

,,„_1（I11111）_1门1）_n

故"-3Xl2-5+5-8+T+3n-l~3n+2J3{2~3n+2J2（3n+2）'

6.［广东梅州梅江嘉应中学2021—模］已知数列｛4｝的前〃项和为S",%>1,若数列

｛4｝满足%>4,且峪=（2。"+1）&+2）,nwN*•

（I）求数列｛%｝的通项；

（II）是否存在加，〃，keM,且那<〃<左，使得成立？若存在，写出一组

符合条件的机，"，上的值；若不存在，请说明理由.

从①3（S,「S,“）=&,②2（4+%）=%.这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，

并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（I）%=：（5"-1）；（II）答案见解析.

【分析】

（I）利用已知条件和数列通项（与前"项和S”间的关系进行推理，利用定义得到

数列为等差数列，最后利用等差数列的通项公式求得数列的通项句;

（II）首先假设存在加，"，keN*,且〃2<〃<左，使得结论成立，然后利用等差

数列的通项公式或前〃项和公式进行推理，求得一组值或说明正整数根，”，上不

存在.

【详解】

解：（I）由104=（24+1）（6+2）,得2d一5%+2=0,解得％=2或卬=3.

由于所以弓=2.

因为10S„=（2an+1）（4+2）,所以IOS"=24+5an+2.

故10a„+1=10S„+1-105„=2a；+l+5an+l+2-2a：-5an-2,

整理，得2（心一团一5（%+4）=0,即（%j%）［2（%-%）-5］=0.

因为数列｛〃“｝满足。角所以｛4｝是单调递增数列，且4=2,故a用+a产0,

因此a.+i-a.="|，

则数列｛2｝是以2为首项，|■为公差的等差数列，

所以%=2+：（〃-1）=：（5〃-1）.

（II）若选①：满足条件的正整数血，n,%存在，如〃?=1,〃=2,k=3.

假设存在加，孔,keN*,且根<〃<左，使得3（S"—Sj=S&.

因为S”=；/+?”,贝IJ3|«2+|«-^2+（^］=|^2+|^

整理，得315（/-加2）+3（”-根）］=5〃+3人，

所以不妨设」,所以，〃=n=：k.

3（n-m）=k,33

所以取％=3,贝!|m=1,n=2.

若选②：满足条件的正整数〃?，n,左不存在.

理由如下：

假设存在机，〃,kwN*,5.m<n<k,使得2（4+aa）=g,

13

则5巾一1+5"—1=5（5左一1）,整理，得2根+2"—左=勺，（*）

显然，左边为整数，所以（*）式不成立.故满足条件的正整数"?，"，上不存在.

7.［广东汕头2021—模］己知等比数列｛《｝的前〃项和为S",给出条件：

3〃1

①S"=一+m（meR）；②S“=5%+1+〃7（〃7©尺），且％=1.若_____________________

22

请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答.

（1）求加的值及数列｛%｝的通项公式；

(2)设＞=(“+i；a「1),求数列也｝的前〃项和，一

13〃

【答案】条件选择见解析：(1)m=-5，(2)4=2(3〃+1).

【分析】

33〃

(1)选条件①：方法一：令〃=1可得出q=4=万+加，令〃22,由5〃=万+力得

3

S“i=——+m,两式作差得出=3"T,再由q=不+相满足。"=3"T可求得机的值，据

22

此可得出数列｛%｝的通项公式；

方法二：分别求得生、%、%，求得等比数列｛g｝的公比心可求得见=%0々，再

由由满足凡在“22时的表达式可求得机的值，据此可得出数列｛%｝的通项公式；

选条件②：方法一：令〃22,由5“=；〃用+根得出S,i=；a“+〃z,两式作差可得出

«„+1=3«„,结合已知条件可知数列｛%｝是公比为3的等比数列，结合等比数列的通项

公式可求得｛%｝的通项公式，再由”=1得出加，可求得加的值；

方法二：令〃=1可得出q=g%+加，令“=2可得出生=3。2，可知数列｛%｝是公比为

3的等比数列，求出数列｛q｝的通项公式，再由4=3%+加可求得实数机的值；

(2)求得用=：£』丁占］，利用裂项相消法可求得小

乙\D-।J.J-t-1)

【详解I

(1)选条件①,

3

方法一：当〃=1时，ax=Sx=-+m；

当〃22时，由S”二万+加得Si=—+m,

册=Sn-Sn_]

3i

因为数列｛%｝是等比数列，所以弓=：+机=1,即"7=-3,

所以数列｛%｝的通项公式为O”=3"T,„eN*;

3

方法二：当〃=1时，a1=Sx=—+m9

-F+J巴库3,

当〃=2时，12乂2J

仔、＜32、

当〃=3时，％=S3—S2=—+加—--+加—9,

(2JI2J

n221

所以，等比数列｛%｝的公比为4寸=3,当a2时，a„=a2q-=3xy-=y-.

331

%=5+加满足4=31,则01=5+m=1,解得m=一］.

所以=3"一|,〃wN*;

选条件②，

方法一：当时，由S〃=；。计1+机可得S,-=；%+根，

两式相减得q=5。〃+1一］。〃，即an+l=3%,

因为数列,〃｝是等比数列，且q=1,

所以数列｛〃〃｝的通项公式为%=1X3〃T=3〃T,〃EN*，

131

又当〃=1时，a,=—a+m=—+m=l,解得根=—；

2222

方法二：当〃=1时，al=Sl=-^a2+m,

当〃=2时，％=S2_S]=。3+加]-。2+根｝。3=3%,

所以，等比数列｛4“｝的公比为0=?=3,且4=1,.•.氏=卜3-=3。

131

所以q=5。2+根=5+根=1,解得z根=—5；

(2)由(1)可知，〃=3〃T，即

b=______4______=_—=ip_______q

"(%+1)(%+1)(3i+l)(3"l)2l3"—+l3"+U

「+」+

因此,—Z?|+Z?2+•一+b=-

"24410

8.［广东2021一模］记S”为数列｛见｝的前"项和，已知％=1,

（1）求数列｛%｝的通项公式;

4"

（2）若“=甲刁俨为f，设数列圾｝的前”项和为小证明：V〃eN*，

从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.

条件①：S“=nan-n1+n,71eN*；

2

条件②：nS„+1=（n+l）S„+H+H,“cN*；

条件③：JS"+]=6"+1,“cN*.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）a“=2"-l（〃eN*）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）选①②时，直接利用递推关系求出数列。i=2,进一步求出数列的通项

公式，选③时，利用府-疯=1（常数），进一步求出数列｛底｝是以1为首

项，1为公差的等差数列，最后求出数列的通项公式.

（2）利用（1）的通项公式，进一步利用放缩法和裂项相消法的应用求出结果.

【详解】

2

解：（1）若选条件①：Sn=nan-n+n,①；

当.2时,S,T=（〃-1）%-5-+伽-1）②,

①-②得:=

所以4-4I=2（常数），

故数列伍“｝是以4=1为首项，2为公差的等差数列；

所以a“=2”-l（首项符合通项），

所以%=2〃-1.

选条件②：码M=（〃+l电+/+〃，①；

2

(n-1)S„=nSn^+(n-1)+(n-1)@,

①-②得：=2（常数），

故数列伍“｝是以4=1为首项，2为公差的等差数列；

所以4=2〃-1（首项符合通项），

所以%=2〃-1.

选条件③：心+i=7^7+1，n&N*.

所以6:一S=i（常数），

所以数列｛向｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以>

整理得5“=*,

故%=S“-SI=W2-5-1）2=2〃-1（”22）,当”=1时，q=l符合，故

证明：（2）由于

、4〃4"111

所以么二（2%+1_1）（2%+1_1）-（4〃-I）”-1）=3（4Z,-1-4M+1-?，

EIT771111111、1/11、1

贝UZ=b、+"+...+瓦7=-（Z----1-------F...H---------：）=—（-----：）<一.

J"12"3377154"-14"+'-1334"+1-19

114

9.［山东泰安2020—模］在①&=4，②------=k，③员=35这三个条件中任选一

4CL?巧

个，补充在下面问题中，并解答.

已知等差数列｛q｝的公差为d（d>0）,等差数列低｝的公差为2d.设4,凡分别是数列

｛%｝，｛〃｝的前"项和,且4=3,4=3,,

（1）求数