2025年高考数学复习教案：三角函数的图象与性质

第5讲三角函数的图象与性质

T教师尊享•命题分析）一

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.借助单位圆能三角函

画出三角函数数的定

本讲每年必考，主要考查三

（正弦、余义域

角函数的定义域、值域（最

弦、正切）的三角函

值）、周期性、单调性、对

图象，了解三数的值

2021全国卷乙T4称性和奇偶性，有时与函数

角函数的周期域（最

零点和极值点综合命题，题

性、单调性、值）

型以选择题和填空题为主，

奇偶性、最大2023新高考卷IT15；2023全

难度中等.预计2025年高考

（小）值.国卷乙T6；2023天津T5；

命题趋势变化不大，备考时

2.借助图象理解三角函2022新高考卷IT6；2022全

要注意区分正弦函数和余弦

正弦函数、余数的性国卷乙T15；2022全国卷甲

函数的图象与性质，不要混

弦函数在［0,质及应T11；2022北京T5；2021新

淆，另应关注新角度、新综

2兀］上，正切函用高考卷IT4；2020全国卷

合问题.

数在（―|,IIIT16；2019全国卷IT11；

上的性质.2019全国卷HT9

，---------------------:教材帮读透教材融会贯通------------------------------

的学生用书P080

1.用“五点法''作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数y=sinx,%e［0,2兀］的图象上，起关键作用的五个点是（0,0）,（p1）,

①（兀，0）,（y,-1）,②（2乃，0）.

在余弦函数y=cosx,xe［0,2兀］的图象上，起关键作用的五个点是（0,1）,成，0）,

③（兀，一1）,（y,0）,④（2兀，1）.

五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

三角

y=sin%y=cosxy=tanx

函数

_F3-

图象(V\\"2；

定义

RR⑤[x1/far+1,一£Z}

域

值域⑥L1，1]⑦Ll，11R

周期是2E"GZ且周期是2E"ez且周期是E(%ez且

周期

#0),最小正周期是⑧—存0),最小正周期是⑨—#0),最小正周期是⑩—

性

2兀.2兀.7T_.

对称轴方程是⑪x=E+g对称轴方程是⑬x=kn

对称无对称轴，对称中心是

(kO,对称中心是⑫(%£Z),对称中心是⑭_

性@(J,0)(止Z).

(E,0)(KZ).(fai+20)(止Z).

奇偶

⑯奇函数⑰偶函数⑱奇函数

性

在⑲「一2+2%兀，：+

在㉑「2欠兀一兀,22兀]

2E](左GZ)上单调递在㉓(一已+上兀，J+

单调(左£Z)上单调递增，在

增，在⑳g+2far,尹祈)_(AGZ)上单调递

性㉒[22兀,2E+兀|

2E]*GZ)上单调递增.

(左ez)上单调递减.

减.

注意y=tan尤在其定义域内不单调.

常用结论

1.三角函数的对称性与周期T的关系

(1)相邻的两条对称轴(或两个对称中心)之间的距离为%

(2)相邻的对称中心与对称轴之间的距离为工；

4

(3)相邻的两个最低点(或最高点)之间的距离为T.

2.与三角函数奇偶性有关的结论

(1)若函数y=Asin(5+9)(x£R)是奇函数，则9=左兀(无6Z)；若为偶函数，则夕

=^7i+-(&Z).

2

(2)若函数y=Acos(GX+°)(x£R)是奇函数，则夕=左兀+](左£Z)；若为偶函数，

则(p=kTt(%£Z).

(3)若y=Atan(°尤+夕)为奇函数，则夕=加(&GZ).

:翻Ifi蒯S

1.设A是△ABC最小的内角，贝IsinA+cosA的取值范围是(D)

A.(-V2,V2)B.[-V2,A/2]C.(1,A/2)D.(1,A/2]

解析是△ABC最小的内角，.*.0<A<-,.\-<A+-<—,<sin(A+-)<1,则

3441224

sinA+cosA=V2sin(A+-)£(1,V2],故选D.

4

2.函数/(x)=tan(—4X+5的最小正周期为(A)

6

A.-B.-C.TtD.27t

42

解析函数/(x)=tan(—4x+-)的最小正周期T=二一=丁三〒=2.

6ItoII—4I4

3.[全国卷H]若为=；,%2=乎是函数/(x)=sincox(G>0)两个相邻的极值点，贝!JG=

44

(A)

31

A.2B.-C.lD.-

22

解析依题意得函数/(x)的最小正周期T=詈=2x(乎一:)=冗,解得①=2,选A.

4.函数/(x)=sin(%一力的图象的一条对称轴的方程是(C)

A.x=-B.x=-C.x=--D.x=--

4242

解析函数y=sinx的图象的对称轴方程为(左£Z),令x—：=析+]

(%£Z),得％=%兀+*(无£Z),故函数/(%)=sin的图象的对称轴方程为％=

k7i~\~—(%£Z).令人=-1,得％=一二故选C.

44

5.[易错题]函数y=2sin(-%+=)(尤曰一兀，0])的单调递增区间是(A)

A.[-7T,-=]-=]C.[-p0]0]

ooo3o

解析令2+2祈二一x+-<—+2Z：7i,kGZ,则———2kji<x<———2析，％WZ.又一兀，

23266

0],所以所求单调递增区间为[—兀，-=].

6

6.函数/(x)=tan(3x+“的图象的对称中心为(号一卷，。)(》匕).

解析令3x+g=:,kRZ,解得尤=与一S，kb,

626lo

所以y(x)的图象的对称中心为(生一工,o),kcz.

618

f------------------«m=----------------------“

。学生用书P082

命题点1三角函数的定义域

例]函数y=lg(sinx)+Jcosx—，的定义域为｛尤I2E<xg；+2E,kQZ\.

sinx>0,2fcn<x<7i+2fcn(kEZ),

解析要使函数有意义，则1解得•-TT所以2kli

cos%-->0,--7T+2kn<%<-+2kn(keZ),

2

<-x^-\-2kn(%£Z),所以函数的定义域为｛xI2女兀〈立；+2航，kGZ).

方法技巧

求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.

训练1函数/(尤)=tan"tan2x的定义域为｛彳[#"，yZ｝.

tan2x—tanx-4

X+/C1T,

解析tan2%,tanx有意义，则12„kRZ,又tan2x—tan/0,即....——

2x^-+fcn,l—ta/%

2

tanx^O,则tan/0,即#%兀，z£Z,综上可得，,%£Z,则函数/(x)的定义域为

4

｛尤I平,kGZ｝.

4

命题点2三角函数的值域(最值)

例2(1)[2021全国卷乙]函数/(x)=sin：+cos：的最小正周期和最大值分别是

(C)

A.3%和&B.3%和2C.67I和，2D.6兀和2

解析因为函数/(X)=sinj+cosj=V2(sin|cos^+cos|sin^)=V2sin(：+?,所以函

数了(无)的最小正周期7=孚=6兀，最大值为VI故选C.

3

(2)已知函数/(x)=cos⑵+g)+2的定义域为[a,汨，值域为停，3],则a的取值范

围是(C)

A.[y,兀]B,[0,y]C,[y,由D.g,由

解析由题意知，2x+罗[2a+£,争，且尸cos⑵+蓝)在[a,兀]上的值域为中1],

.,.2a+->—,且2a+Z27T,解得空Wag史，；.a的取值范围是[空，—],故选C.

3333636

方法技巧

三角函数值域的不同求法

1.把所给的三角函数式变换成y=Asin(①x+夕)+Z?的形式求值域.

2.把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.

3.利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

训练2(1)[2023四川省模拟]已知函数无)=cos2x+sinx—2的定义域为[0，m],值域

为修，1]，则实数机的最大值为(A)

A.7iB.-C.-D.-

632

222

角星析由已知，得/(%)=cosx+sinx--=1—sini：+sinx--=—sinx+sinx+-f令/=

sinx,函数/(x)可转换为y=一尸+什：一(r—2+l,因为1],所以根据二

次函数的图象与性质可得[£[0,1],即sinx£[0,1],又x£[0,m],所以根据三角函数的

图象与性质可得相£碎，7i],所以实数机的最大值为兀，故选A.

(2)函数y=sinx—cosx+sinxcosx的值域为、一遮一々1].

解析令sin%—cosx=/,则/=J^sin(x--),[—A/2,V2],^^sin2x+cos2x-

4

-i—「2i-4-2-i

2sin尤cos无，故sin无cosx=2，所以y=/+—3(?—1)2+l,所以当r=l时，函数

有最大值1;当/=—/时，函数有最小值一V2—即值域为[—V2—|,1].

命题点3三角函数的性质及应用

角度1三角函数的周期性

例3(1)[2023天津高考]已知函数/(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周

期为4,则/(无)的解析式可能为(B)

A./(x)=sin(-x)B.f(x)=cos(-x)

J2J2

C.f(x)=sin(%)D/(x)=cos(%)

解析对于A,f(x)=sin(*),其最小正周期为筌=4,因为，(2)=sin兀=0,所以

2

函数/(x)=sin(*)的图象不关于直线x=2对称，故排除A;对于B,f(x)=

cos(会),其最小正周期为竽*=4,因为/(2)=cos7i=—1,所以函数/(x)=

2

cos(9)的图象关于直线x=2对称，故选项B符合题意；对于C,D,函数y=sin(%)

和丁=以)5(%)的最小正周期均为普=8,均不符合题意，故排除C,D.综上，选B.

4

(2)［全国卷III］函数/(无)=£枭的最小正周期为(C)

A.-B.-C.TtD.27t

42

sinx

解析f(x)=tan：=cosq=s：\os：=sinxcOS%=%口2%,所以/(X)的最小正周期

Jl+tan2x1।siMxcos2x+sin2x2')

COS2X

7=空=兀故选c.

2

方法技巧

1.求三角函数周期的基本方法

(1)定义法.(2)公式法：函数y=Asin(aa+夕)(或y=Acos(cox+(p))的最小正周

期T=—,函数y=Atan(cox+(p)的最小正周期丁=丁彳.(3)图象法：求含有绝对值

I(0II3I

符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.

2.有关周期的2个结论

(1)函数y=IAsin(①x+夕)I,y=IAcos(GX+夕)I,y=IAtan(GX+夕)I的最

小正周期T均为仁.

I3|

(2)函数y=IAsin(Gx+9)~\-bI(Z?RO),y=IAcos(①x+9)~\-bI(b#0)的最小

正周期T均为4.

I(0I

角度2三角函数的单调性

例4(1)［2022北京高考］已知函数/(x)=cos2x-sin2x,则(C)

A.f(x)在(一匕上单调递减

26

B./(x)在(一三，-)上单调递增

J412

C.f(x)在(0,］)上单调递减

D.f(x)在U,-)上单调递增

412

解析依题意可知/(x)=cos2x—sin2x=cos2x,对于A,因为(―-,—,所以

2%£(一兀，--),函数f(x)=cos2x在(一色，一-)上单调递增，所以A不正确；对

326

于B,因为xd,所以2xG与，函数/(无)=cos2x在(一二—)上

41226412

不单调，所以B不正确；对于C,因为xG(0,三)，所以2xG(0,与)，函数/(x)=

cos2x在(0,-)上单调递减，所以C正确；对于D,因为xd(-,—),所以2xG(-,

34122

—),函数/(无)=cos2x在(二—)上不单调，所以D不正确.故选C.

6412

(2)［全国卷H］若/(x)=cosx—sinx在［一小上是减函数，则〃的最大值是(A)

A.-B.-C.—D.7t

424

解析f(x)=cosx—sinA：=V2COS(X+-),因为函数〉=85%在区间［0,兀］上单调递

减，贝I由03+2兀，得一色勺合邦.因为/(%)在［―〃，上是减函数，I—uI<—,所以

44444

解得又区间［一〃，有意义时，〃>0,所以0<〃？，所以〃的最大值是2.

4444

方法技巧

三角函数单调性问题的常见类型及求解策略

常见类型求解策略

(1)将函数化简为“一角一函数”的形式，如〉=45m(GX+夕)+b(A>0,co>

已知三角0）；

函数解析(2)利用整体思想，视“ox+9”为一个整体，根据y=sinx的单调区间列不等式

式求单调求解.对于y=Acos(口元+夕)，y=Atan(①x+9),可以利用类似方法求解.

区间注意求函数y=Asin(GX+夕)+Z?的单调区间时要先看A和①的符号，尽量

化成。>0的形式，避免出现增减区间的混淆.

已知三角(1)求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间的子集，列不

函数的单等式(组)求解.

调性求参(2)由所给区间求出“ox+”的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单

数调区间的子集，列不等式(组)求解.

角度3三角函数的奇偶性与对称性

例5(1)[2022全国卷甲]将函数/(x)=sin(。尤+£)(O>0)的图象向左平移沙单位

长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是(C)

A.—B.—C.—D.—

6432

解析记曲线。的函数解析式为g(x),则g(x)=sin[c9(%+])+；]=sin[Gx+(会+

；)[因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以“^+三=配+：(%£Z),得①=2%+：

(代Z).因为G>0,所以Gmin桔.故选C.

(.2)[2022新高考卷I]记函数/(九)=sin(^x+-)+b(0>0)的最小正周期为T.若空

<7<无，且y=/(x)的图象关于点弓，2)中心对称，则/，)=(A)

35

A.lB.-C.-D.3

22

解析因为空〈丁<兀，所以空〈空〈兀，解得2<①<3.因为y=/(%)的图象关于点(虫，

2)中心对称，所以Z?=2,且sin号①+^)+b=2,即sin(弓力+：)=0,所以竽切+：=

kii(fcez),又2<①<3,所以坨<文①十三〈竺；所以孙。+£=4兀，解得①=之所以

4244242

f(x)=sin(|x+?)+2,所以>《)=sin(同+?+2=sin粤+2=1.故选A.

方法技巧

1.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法：对于函数/(x)=Asin(GX+9)

(外加),令①%+9=左兀+/,kGZ,求出对称轴方程；令①次+夕=%兀，求出对称中

心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(GX+夕)，y=Atan(Gx+夕)，可以利用类似方

法求解(注意y=Atan(①x+9)的图象无对称轴).

说明选择题可以通过验证/(xo)的值进行判断，即/(xo)=±A==xo是函数/(x)图

象的对称轴方程；f(xo)=02目(xo,0)是函数/(x)图象的对称中心.

2.三角函数中奇函数一般可化为j=Asin84或y=Atancwx的形式，而偶函数一般可化为y

=Acoscox+b的形式.

训练3(1)[2023全国卷乙]已知函数/(x)=sin(ox+p)在区间(立—)单调递增，

63

直线x=?和许字为函数y=/(x)的图象的两条相邻对称轴，则/(—襄)=(D)

6312

A.--B.--C.-D.—

2222

解析由题意得工、4=空一解得sI=2,易知x=E是/(x)的最小值点.若。=

2,则5<2+夕=--+2^7i(%£Z),得夕=——+2A：7i(%£Z),于是/(x)—sin(2x一空

6265

+2析)=sin(2x——),f(­—)=sin(—―x2——)=sin(——)=sin-=—;若①=

6J12126332

—2,贝%x(—2)+9=—1+2左兀(攵£Z),得9=一弓+2配(左£Z),于是/(x)=

sin(―2x--+2^7i)=sin(―2x--)=sin(2x--7i),所以/(一室)=”故选D.

666122

(2)在函数①'二^、I2xI,②丁=IcosxI,(2x+-),@y=tan(2x--)

64

中，最小正周期为兀的所有函数为(A)

A.①②③B.①③④

C.②④D.①③

解析对于①，y=cosI2xI=cos2x,其最小正周期为§=兀；对于②，y=Icos无I的最

小正周期为兀；对于③，y=cos(2x+-)的最小正周期为空=兀；对于④，y=tan(2%--)

624

的最小正周期为去所以最小正周期为71的所有函数为①②③.

(3)函数/(x)=3sin(2%—1+9)+1,夕£(0,兀)，且/(%)为偶函数，贝!Je=_

-->f(x)图象的对称中心为(；+竺，1),kRZ.

64

解析,:f(x)—3sin(2x—"+9)+1为偶函数，/.一乌+9=析+”,女仁Z,即夕=史+

3326

ku,&ez.又(0,71),二。=¥，---/(X)=3sin(2x+])+l=3cos2x+l.由2x=]+

kn,k《Z,得尤=：+与，ZGZ,."(x)图象的对称中心为(/与，1),keZ.

(教师尊享•备课题组〕

1.[命题点2/2023福建模拟]若对任意尤GR都有了(sinx)=-cos2x+cos2x+2sinx-3,则

f(x)的值域为L4,0].

解析易知/(sinx)=2sin2%—1+1—sin2x+2sin%—3=sin2x+2sin%—3,所以/(%)=x2

+2x—3(—1<X<1),曲线>=/+2%一3的对称轴为直线1=-1,所以函数/(x)在区间

[-1,1]上单调递增，所以/(—1)<f(x)<f(1),即一4g(x)<0,所以/(x)的值域

为[—4,0].

2.［命题点2/2023潍坊市高三统考］已知函数/(x)=3sinx+4cosx,且/(x)<f(<9)对任

意x£R恒成立，若角。的终边经过点尸(4,m),则m=3.

解析因为/(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+夕)，其中cos0=|,sin则sin(。+

9)=1,所以。+9=；+2析(女£Z),所以夕=］一夕+2析(攵£Z),所以sin9=sin一

(P)=cos(p=-,RMcos0=-,所以tan夕="=丝所以机=3.

3.［命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考］如图所示，一个质点在半径为2的圆。上

以点尸为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.该质点到X轴的距离关于时间方的函数

记为/(/).下列说法正确的是(AC)

A.f(/)=I2sin(—r--)I

J34

B.f(r)=2sin(—?--)

J34

C./(f)的最小正周期为I

D/G)的最小正周期为3

解析由题可知，质点的角速度为与rad/s,因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经

过fs之后所成角为O，则°=等一：，根据任意角的三角函数定义有yp=2sin(等一?，

所以该质点到x轴的距离为了⑺=I2sin(争一：)I,故A正确，B错误；因为了⑺

=I2sin(―f--)I,所以了⑺的最小正周期为亲=三，故C正确，D错误.故选AC.

342

4.［命题点3/多选Z2023河北名校联考］已知函数/(x)=2sin(cox+-)+b(co>0)的最小

正周期T满足E<T<¥，且尸(一31)是/(%)图象的一个对称中心，则(AC)

220

A.co=2

B.f(x)的值域是［—2,2］

C.直线尤=1是/(x)图象的一条对称轴

8

D./(x+y)是偶函数

4

解析对于A,因为P1）是函数/（x）图象的一个对称中心，所以一2^+2二女兀

884

晨GZ）,且6=1,得O=2—弘晨GZ）.又巳＜7＜邳，且。＞0,即三＜空〈文，所以3V

222Q）23

0＜4,所以°=2,故A正确.

对于B,由对A的分析得y（x）=2sin（2x+2）+1,因为一Igsin（2x+?）＜1,所以

f（无）e[-l,3],故B不正确.

对于C,解法一由2%+工=%兀+工（左ez）,得尤=%+工（左ez）,当左=0时，x—~,所

42288

以直线是函数/（x）图象的一条对称轴，故C正确.

解法二将x=£代入/（x）,可得/（£）=3（/（x）的最大值），所以直线无=已是/（尤）

图象的一条对称轴，故C正确.

对于D,因为/（x+：）=2sin[2（尤+?+：]+l=2sin（2元+1+2）+l=2cos（2元+?+

1,显然该函数不是偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.

（------------------------------，练习帮:,练透好题精准分层-----------------------------

■学生用书•练习帮P296

C基础练知识通关

1.函数/（x）=tan（2x+：）的定义域为（C）

A.{xI对配+1,kGZ}B.{xIkGZ}

C.{xIkRZ}D.{xI今kGZ）

解析由兀+2,kGZ,得2样祈+二+—,kGZ,

42428

函数尸tan⑵+》的定义域为■为与+也上GZ}.

2J2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为兀的奇函数是（D）

A.y=sin（2x+“B.y=tan2x

C.y=2sin（兀一1）D.y=tan（尤+兀）

解析对于函数丁=5由（2x+；）=cos2x,最小正周期为兀，是偶函数，排除A;对于函数

y=tan2x,最小正周期为是奇函数，排除B;对于函数y=2sin（兀一%）=2sinx,最小

正周期为2兀，是奇函数，排除C;对于函数>=1211(兀+x)=tan尤，最小正周期为无，是

奇函数，故选D.

3.下列函数中，以m为周期且在区间(？，=)单调递增的是(A)

242

A/(x)=Icos2xIB/(x)=Isin2xI

C.f(x)=cosIxID.f(x)=sinIxI

解析A中，函数/(无)=Icos2xI的最小正周期为二当xG(-,-)时，2xd(-,

7i),函数/(x)单调递增，故A正确；B中，函数/(x)=Isin2%I的最小正周期为

当工£-)时，2xG(-,71),函数/(%)单调递减，故B不正确；C中，函数/(x)

=cosIxI=cosx的最小正周期为2兀，故C不正确；D中，f(x)=sin\x\=

sin%,%>0,

由正弦函数图象知，在这0和xVO时，f(x)均以2兀为周期，但在整个

.—sin%,%<0,

定义域上/(%)不是周期函数，故D不正确.故选A.

4.已知函数/(%)=sin(GX+6)+V3cos(GX+6)(夕£［一］,；］)是偶函数，则。的值

为(B)

A.OB.-C.-D.-

643

解析由已知可得/(%)=2sin(口1+夕+^),若函数为偶函数，则必有8+1=左兀+］

(%£Z),又由于。£［一二-］,故有夕+三=二解得夕=二经代入检验符合题意.故选B.

22326

5.［2023江西月考］已知函数/(x)=sin(5+9)(o>0,0<p<］)的两个相邻的零点为

|,则/(x)的图象的一条对称轴方程是(B)

1512

A.x=-—B.x=一—C.x=~D.x=一

6633

解析设/(x)的最小正周期为T,则工=±—(―-)=1,得T=空=2,所以①=兀，又因

为一三十夕=%兀(％£Z),且所以夕=；,则/(%)=sin(7ix+^),由也+£=%兀

+-(左右Z),解得冗=女+工(％£Z),取左=—1,得一^条对称轴方程为％=-

266

6.已知函数/(无)=-2tan⑵+p)(0<(p<^)的图象的一个对称中心是点脸，0),

则该函数的一个单调递减区间是(D)

解析因为函数/(x)=-2tan(2］+夕)的图象的一个对称中心是点(卷，0),所以

2X^|+0=T，k£Z,解得夕—也上£Z.又0〈夕〈热所以夕=今所以/(x)=

—2tan(2x+-).令--+^7i<2x+-<-+fe7i,%£Z,解得一些十处〈1〈2+生，kGZ,所

以函数y(x)的单调递减区间为(一工十:,看+争，MZ.当左=0时，得fG)的一个

单调递减区间为(一空，-).

1212

7.［全国卷I］设函数/(x)=cos(s+?)在［—兀，同的图象大致如图，则/(无)的最小正

6

周期为(C)

A.—B.-C.-D.-

9632

解析解法一由题图知，f(——)—0,——CO-\--=--\-k7l(女£Z),解得(0=—"9k

99624

晨ez).设/(X)的最小正周期为T,易知7<2兀<27,：.1<IcoI

ItoIIO)I

<2,当且仅当上=—1时，符合题意，此时。=三，♦•.7=空=如.故选©.

2to3

解法二由题图知，f(——)=0且/(—71)<0,f(0)>0,——co-\--=--(①〉

9962

0),解得0=三，经验证符合题意，.的最小正周期7=空=蛆.故选C.

2co3

8.［2024安徽铜陵模拟］已知函数/(%)="sin4x+cos4x的图象关于直线1=费对称，

则/脸)=(A)

A.V3B.—C.--D.-1

22

解析由题设/(x)=Va2+lsin(4%+夕)(分0)且tan9=，，又函数图象关于直线x=

工对称，所以三十夕二2+加，左£2=9=2+左兀，kRZ,则tane=tan(四+左兀)=tan-=-=><2

1232666CL

=V3,综上，f(x)=V3sin4x+cos4x=2sin(4x+-),故/(工)=2sin'=V^.故选A.

6243

9.［多选Z2023江苏南京模拟］已知xi，&是函数/(无)=2sin(<ox--)(°>0)的两个不同

零点，且IX1-X2I的最小值是热则下列说法正确的是(ABD)

A.函数/(x)在［0,勺上单调递增

B.函数/(尤)的图象关于直线尤=—三对称

C.函数/(X)的图象关于点(兀，0)中心对称

D.当xdg，兀］时，函数/(无)的值域是［-2,1］

解析由题意可知，最小正周期7=§=兀，所以0=2,f(x)=2sin(2尤一5).对于选项

A,当xd［0,二］时，2x--e［--,-］,所以/(无)在［0,变］上单调递增，故A正确；对于

选项B,f(-J)=2sin［2x(―£)—§=2sin(―1)=—2,所以/⑴的图象关于直线工

=一色对称，故B正确；对于选项C,f(7i)=2sin(271--)=一1/),所以/(x)的图象

不关于点(兀，0)中心对称，故C错误；对于选项D,当XG碎，中寸，2X—占年，

—］,sin(2x--)e［-l,i］,f(x)e［-2,1］,故D正确.故选ABD.

662

10.定义运算"%为：〃％=［"("一")'例如，1*2=1,则函数/(x)=sinx*cosx的值域为一

［b(a>b),

解析f(x)=sinx*cosx,当工£［：+2攵兀，乎+2%兀］,这时sinxNcosx,所以/(x)

=cosx,这时函数的值域为［-1,争；当］£［—亨+2%兀，^+2fai］,这时sin烂

cosx,所以/(x)=sinx,这时函数的值域为［-1,子］.综上，函数的值域为［-1,y］.

11.［2023上海松江二中模拟］若函数y=sin(»—£)在［0,加］上单调递增，则机的最大值为

6

2

解析由工£［0,m］,知7LX—三£［一二m7i--］,因为函数在［0,上单调递增，所以一

6666

m7i-0<m<-,所以机的最大值为士

6233

12.［2024安徽合肥一中模拟］已知函数/(%)=sinxcosx—V5cos2%+f.

(1)求函数/(%)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数/G)在区间[―嵩§上的值域.

2(1+os2%)

角星析(1)因为/(x)=sinxcosx—V3cosx+=|sin2x—^_|_2^=lsjn2%—

—cos2x=sin(2x--),

23

所以函数/(x)的最小正周期为T=g=7L

iij2Z：7i+-<2x_-<2^7i+—(%£Z)可得左兀+也〈广女兀+^^(左£Z),

2~3~21212

所以函数/(%)的单调递减区间为改兀+工，加+等]晨金Z).

(2)当一时，——<2x—

则一Igsin(2x—；)<|,

因此，函数/(%)在区间[—也力上的值域为[—1,1].

旧能力练重难通关

13.设函数/(%)=2cos(|x—,若对于任意的x£R都有/(xi)<f(x)<f(X2)成立,

则IXl~X2I的最小值为(C