2024-2025学年高一年级上册期中模拟考试数学试题（新高考地区专用集合与逻辑、不等式、函数、指数函数）（全解全析）

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。

5.难度系数：0.69。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.命题。：Vx>2,%2—1>0,贝U~~P是()

A.Vx>2,%2-l<0B.Vx<2,%2-l>0

C.3x>2,x2-l<0D.3x<2,x2-l<0

【答案】C

【详解】因为命题P：Vx>2,x2-l>0,所以-P：3x>2,x2-l<0.

故选：C

2.已知全集为R,集合A={x[0<x<l},B=[x\x>2\,则()

A.AcBB.B^A

C.=RD.An(”)=A

【答案】D

【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.

B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.

C中，AUB=(0,l)u(2,y),错误.

。中，由3={小>2},则。8={小42},AA&B)=A,正确.

故选：D.

3.已知集合4=3-14》<2},B=^x\-a<x<a+}^,则"a=l"是"4屋8"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】当。=1时，2={H-1W尤42},此时A=B,即。=1可以推出AuB,

—ci«—1

若A^B,所以〈，°，得到。21，所以4=8推不出。=1，

a+l>2

即"a=1〃是"A=3"的充分不必要条件，

故选：A.

4.塞函数〃同=（疗-3〃2-3卜"'在区间（0,+8）上单调递减，则下列说法正确的是（）

A.m=4B.m=4或m=—l

c.是奇函数D.“X）是偶函数

【答案】C

【详解】函数/（》）=（m2-3m-3b'”为幕函数，贝IJ病一33=1,解得加=4或〃2=-1.

当机=4时，/'（x）=x4在区间（0,+8）上单调递增，不满足条件，排除A,B；

所以7（x）=,，定义域{xlxwO}关于原点对称，且/（-x）=1-=-/（无），

X—X

所以函数/（X）是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.

故选：C.

5.已知关于x的不等式"2+&c+c>0的解集是{中<1或无>3},则不等式或2+仆+020的解集是（）

A.B.1x|-1-<x<l|

C.^-oo,u[l,+oo）D.（-oo,-l]O3

—,+oo

4

【答案】B

【详解】••,关于尤的不等式a?+6x+c>0的解集是{x|x<l或彳>3},

和3是方程加+6x+c=0的两个实数根，且。>0.

所以不等式42+依+<;力0等价于一4。/+依+3。\0（。>0）,即4%2-%-3<0,

解得一3小VI.

4

所以不等式云2+or+cNO的解集是"14xW11

故选:B.

6.已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，当xNO时，/（X）=-%5-3X+«-1,则〃一。）的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】由题意得，函数/（x）为奇函数，且定义域为R,

由奇函数的性质得，/（O）=a-l=O,解得。=1,经过检验符合题意，

所以当尤20时，f[x）=-^-3x,

所以/（-«）=-/（«）=-/（1）=-（-1-3）=4.

故选：D.

7.已知函数/（元）={/0.、八，满足对任意为力无2,都有〃占）一/伍）>0成立,则。的取值范围

（〃一2）x+3〃,x20石-x2

是（）

「3）

A.〃£（0,1）B.C.〃£（2,+8）Dn.ae-,2

[4J

【答案】c

[详解】因为对任意々*无2，都有"6"无2）>。成立，

再-x2

所以“X）为R上的增函数，

a>\

所以<〃-2〉0,解得〃>2,即。«2,+oo）,

4°W（〃-2）x0+3〃

故选：C.

8.已知奇函数〃x)的定义域为R,7(x)在区间［-词上单调递增，"1)=2,且/'(l-x)为偶函数.若关于

x的不等式/(x)Va+2对X/xeR恒成立，则实数。取值范围是()

A.a>lB.a<2

C.a>0D.a>2

【答案】c

【详解】由"X)为R上的奇函数，则/(X)关于点(0,0)对称，贝厅(-x)=—“X),

又/。一x)为偶函数，则故关于x=l对称，则〃r)=〃x+2)=—/(x),

则/(x+4)=—/(%+2)=/(x),/(尤)是周期为4的周期函数，

又/(力在区间［-1,1］上单调递增，因此/(%)在区间［1,3］上单调递减，

又/⑴=2,贝|」〃-1)=〃3)=-2,因此〃x)e［—2,2］,

又关于x的不等式/(x)W。+2对VxeR恒成立，贝。。+22［〃力］1mx,

因止匕，可得a+222,:.a>0,

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.函数〃x+1)的定义域为［-2,2),则函数〃力的定义域为［T3)

B.〃x)=土和8(”=》表示同一个函数

C.函数丁=方二的值域为(°，1

X+3I3」

D.定义在R上的函数满足2〃x)-x)=x+l,则〃x)=：+l

【答案】ACD

【详解】A选项，对于〃x+l),令1=x+l,则无="1阊—2,2),则在［-1,3),

所以『⑺，即"X)的定义域为［-1,3),A选项正确;

对于B,〃尤)的定义域为卜|尤20},g(x)的定义域为R,不是同一个函数，B选项不正确；

对于c,因为犬+3"所以。<«即函数y="的值域为(0，g,C选项正确;

对于D,由2/(力一/(一力=尤+1可得2/(—％)—/(2=一\+1,

2〃尤)-〃r)=x+l

所以由可得〃x)=5+l，D选项正确;

2/(-x)_/(x)=_x+l

故选：ACD.

10.下列说法正确的是()

A.若0<x<2，则X。-2x)的最大值为:

2o

B.函数y=」+3x+3-的最小值为2

X+1

y1

C.已知％+y=l,x>0,y>。，则上+一的最小值为3

%V

D.若正数羽,满足/+孙一2=0,则3x+y的最小值是4

【答案】ACD

【详解】对于A,,.•()<%<］，.*.l-2x>0,

/.x(l-2x)=gx2x(1-2x)-~xf———~―1

8

当且仅当2x=l-2x,即x时，等号成立,

所以Ml-2力的最大值为。.故A正确；

O

对于B,因为x>—1,所以x+l>0,

2

cci，,x+3x+3(尤+1)+(尤+1)+11«c1/八』~1~~

所以y=---------=------------L_=%+1+——+l>2j(x+l)——+1=3,

x+1x+1x+1Y'\x+lj

]无2_i_3x+3

当且仅当x+l=—=,即x=0时等号成立，所以函数y=的最小值为3.

x+1x+1

故B错误;

对于C,因为x+y=l,x>0,y>0,

所以上+工=h+虫=)+土+G2口+1=3,

xyxyxyy

yx1y1

当且仅当上=—即X=y=：时等号成立，所以上+一的最小值为3.故C正确;

xy2xy

~2

对于D,因为『+孙-2=0,x>0,y>0,所以y=；-x,

92I2

贝U3尤+y=3x-x+—=2x+->2.2x--=4,

xx\x

2

当且仅当2尤=*即彳=1时等号成立，此时y=l,

x

所以3x+y的最小值为4.故D正确.

故选：ACD.

11.已知定义在R上的函数/(x)满足〃x+y)=/(x)+/(y),当尤>0时，/(x)>0,/⑵=4,则()

A."5)=10B./(尤)为奇函数

C./(X)在R上单调递减D.当x<T时，f(x)-2>f(2x)

【答案】ABD

【详解】A选项，〃x+y)=/(x)+/(y)中，令x=y=l得，f(2)=f(1)+f(1),

又〃2)=4,故/(1)=2,

令〃元+>)=/。)+/。)中，令x=y=2得/(4)=/(2)+/⑵=8,

令x=4,y=l得/(4+1)=/(4)+/(1)=8+2=10,即/(5)=10,A正确；

B选项，/(尤+川=/(幻+/口)中，令x=〉=0得/(0)=/(。)+/(0),解得〃0)=0,

f(x+y)=f(x)+f(y)中，令V=-得/(x)+/(-%)=/(0)=0,

故了(无)为奇函数，B正确；

c选项，/(%+丁)=/(尤)+/()0中，令苫=%,>=尤2-不，且%>占，

/(%!+X2-X1)~/(%1)=/(%2-Xj),即/(%2)—/(%)=/(%一占)，

当x>0时,/(X)>0,故/(无2)-/■(玉)=/(尤2-再)>。，

即/(%)>/(玉)，故/(X)在R上单调递增，C错误；

D选项，"1)=2,/(%)-2=/(%)-/(l)=/U-l),

又x<-1,故x-l>2x,

又/(x)在R上单调递增，所以f(x)-2>/(2x),D正确.

故选：ABD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知夕:。-2Vx<a+2,q：-l<x<7,若p是q的充分不必要条件，则实数。的取值范围是

【答案】[1,5]

【详角星】解：p'.a-2<x<a+2,q：-l<x<7,

因为p是q的充分不必要条件，所以(。-2,。+2)。(-1,7),

伍+2<7

则,即14a45.

经检验满足条件.

故答案为：[1,5].

/、、)

13.已知函数/("=[4%3'-,2,XxN<1\，则/(/匕(3卜一•

【答案】3

33

【详解】f4x『2=l,/(1)=31=3,

故答案为：3

14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有"数学王子"的称号，他和阿基米德，牛顿并列为

世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数"为：对于实数x,符号[可表示不超过了的最大整数，贝Uy=[x]

称为高斯函数，例如团=3,[-1.08]=-2,定义函数=则下列命题中正确的序号是.

①函数的最大值为1；②函数〃x)的最小值为0；

③函数y=/⑺的图象与直线y=j有无数个交点；④f(x+l)=f(x).

【答案】②③④

元+2,—2W%<—1

x+1,-1<x<0

【详解】由题意得:f(x)=x-[x]=<x,Q<x<l

x-l,l<x<2

x-2,2<x<3

由解析式可得函数图形如下图所示,

7A

y=lV=/(x)

7^7

-2-1O123x

对于①，函数/(X)<1,①错误；对于②：函数“X)的最小值为0,②正确;

对于③，函数y=/(x)的图象与直线y=；有无数个交点，③正确；

对于④，函数满足〃x+l)=J(x),④正确;

故答案为：②③④

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1

_12(_2V(1V

15.(13分)(1)求值:0.252-(-2xl6°yx23+痒

1717

(2)已知层+/5=3(°>0)，求值：

1,121

233

【详解】(1)MJ^=42-(-2X1)x2-+2x2=2-4x-+2=4-l=3..............6分

11,.11

(2)由层+〃一2=3(〃>0)，而〃+〃T=(层+/5)2-2=7，.........................9分

贝I。2+。-2=(Q+QT)2_2=47,故,+1=47+1=6..............................13分

〃+〃+17+1

16.(15分)已知集合A={尤|-3<尤44},集合B={xM+14x42A—l}.

(1)当左=2时，求Au昆(4A)cB；

(2)若AUB=A，求上的取值范围.

【详解】(1)由题设3={3},则AuB={x|-3<x44},............................3分

a4=口|尤<一3或x>4},则(\A)I3=0.........................................6分

(2)由AuB=A=>B=A......................................................8分

若3=0时，k+l>2k-l^k<2,满足；........................................10分

k+l<2k-l

若3x0时，<k+l>-3=2<左<|；...........................................14分

2144~

综上，^<|....................................................................15分

17.(15分)已知函数/(无)是定义在R上的奇函数，且当*40时，”x)=d+4x,函数/(x)在V轴左侧

的图象如图所示，请根据图象；

⑴画出/(x)在丁轴右侧的图象，并写出函数/(x)(xeR)的单调区间;

(2)写出函数〃x)(xeR)的解析式;

⑶若函数g(x)=y(x)+(3-a)x+4(xe[2,4]),求函数g(x)的最小值.

【详解】(1)函数/(x)是定义在R上的奇函数，即函数/(无)的图象关于原点对称,

则函数/(》)图象如图所示.

故函数的单调递减区间为(-8,-2),(2,+8),单调递增区间为(-2,2)；….4分

(2)根据题意，

令x>0,贝l|-x<0,贝(-无)=f-4x,

又因为函数/(x)是定义在R上的奇函数,

所以-/(x)=/(-x)=x2-4x,

即/(%)=—尤2+4x,............................................6分

x2+4x,x<0

所以/(%)=......................................8分

-x2+4x,x>0

(3)当％w⑵4]时，/(x)=-x2+4x,

贝！Jg(%)——%2+4x+(3—ci)x+4——%2+(7—ci)x+4,

7-/7

其对称轴为％二号，........................................9分

7-/7

当量<3时，即则g(%)1n-8(4)=16-4〃,...........................11分

〃

当7量—23时，即则双心=8(2)=14-2a,............................13分

fl6-4tz,<2>1

故g(X)min=I4o,.................................................................................15分

[14-2a,a<l

18.（17分）己知函数/（可=受受/⑺＞。，。*：1）是定义在R上的奇函数•

⑴求实数”的值；

（2）判断，（无）在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；

（3）*e[l,2],使得加/（力22-2成立，求实数f的取值范围.

【详解】⑴因为八力二矢'（。＞。，"1）一一，定义域关于原点对称，

令x=0,所以/'（0）=^^=。，故。=2,......................................................................2分

2%-12-x-l1-2V2%-1

则〃x)=(xeR),/(-x)==一小），

2%+12-*+11+2'2，+1

所以/'（X）为定义在R上的奇函数，故a=2.....................................................................4分

（2）/（x）=二二是R上的增函数.

I/2'+1

证明：任取网,々eR，且西〈尤2,

(2为一1)(2项+1)-(2X2-1)(2V>+1)2(2为一2也)

小)-/㈤6分

付+1)(2^+1)一(2』+1)(2*+1)

因为占<々，所以23+1>0,2%+1>0,0<2X'<2i2,

所以2为_2均＜0,（2为+1）（2&+1）＞0,

所以/（%）一/（/）＜。，即〃%）＜〃々），

所以/'（x）是R上的增函数......................................................9分

(3)当龙目1,2]时，不等式fj(x)22£_2即/2(2'2)(2'+1),

11分

"2V-1

故此红三二

2'-1

2

则令丫=2"-1,由题意可知为«1,3],r>V--+1,13分

因为函数〉=%，y=-*为［1,3］上的增函数,

X

7

故＞="：+1在ve［l,3］上单调递增,

故卜一j+1|=1-1+1=0,

min

所以此017分

19.（17分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研

究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，=/（尤），如果对于其定义域。中任意给定

的实数X,都有-XC。，并且/（x）"（-x）=l,就称函数y=/（x）为倒函数.

⑴已知/（幻=2）奴工）=11-4-X,判断＞=/（X）和丁=8。）是不是倒函数，并说明理由；

1-X

（2）若＞=/（尤）是R上的倒函数，其函数值恒大于0,且在R