2025年海南省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年海南省高考数学模拟试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.(5分)设全集U=R,集合A={x|/-3x-4>0},则CUA=()

A.{x\-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-lWxW4}D.{x|-4WxWl}

2.(5分)复数z=沿的虚部为（）

A.2B.-2C.2iD.-2z

TTTTTT,TT

3.(5分)已知a,b为单位向量，若|a+b|-—\CL-b|=0,则|a—=()

A.2B.V2C.1D.0

4.(5分)若tana=2tan0,sin(a-0)=t,则sin(a+p)=()

A.ItB.-2tC.3tD.-3t

5.(5分)已知点M为双曲线C--,2=4上任意一点，过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分

别为A,B,则四边形。4MB（。为原点）的面积为（)

1

A.4B.2C.1D.-

2

6.(5分)在正四棱锥P-AIBICLDI中，PBilPDi.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何

体ABC。-AiBiCiDi,AB=\,AiBi=2,则几何体A8C£)-AiBCiOi的体积为()

V24>/27V217V2

A.一B.C.D.

6369

7.（5分）已知函数/'（x）=tcm（3x+软3>0）,若方程/（无）=1在区间（0,TT）上恰有3个实数根，则

3的取值范围是（）

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

8.(5分)已知函数/(x)=2A+2-%+cosx+x2,若。=/(-3),b=f(e),c=f(it),贝!J()

A.b<a<cB.b<.c<-aC.c〈a〈bD.c〈b〈a

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符

合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分。

（多选）9.（6分）已知XTV（p,o2）,贝!！（）

A.E（X）=n

B.。（X）=。

C.P(XW|i+。)+P(XWR-。)=1

D.P（X2n+2。）>P（XWR-O）

（多选）10.（6分）已知定义在R上的函数/（无）不恒等于0,7（it）=0,且对任意的无，yCR,有了（2x）

+f（2y）=2f（x+y）/（x-y）,则（）

A.f（0）=1

B.f（x）是偶函数

C.f（x）的图象关于点（it,0）中心对称

D.2TT是/（无）的一个周期

（多选）11.（6分）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得

金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花

瓣的图案，它可看作由抛物线C：/=20x（p>0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所

得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A,2为C与其中两条曲线的交点，若p=l,贝U（）

A.开口向上的抛物线的方程为y=

B.\AB\=4

3

C.直线x+y=f截第一象限花瓣的弦长最大值为］

D.阴影区域的面积大于4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（久一3。展开式的常数项是.

S+9

13.（5分）已知数列｛斯｝的前几项和S九二层+九，当口—取最小值时，〃=.

14.（5分）2024年新高考数学I卷多选题的计分标准如下：

①本题共3小题，每小题6分，共18分；

②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；

③部分选对的得部分分.考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选

项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数

为.

三、填空题：本大题共5小题，每小题13分，共15分。

15.(13分)在△4BC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

请在①(a-b')sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC)；②s讥(看—C)cos(C+§)=/,这两个中任选一个

作为条件，补充在横线上，并解答问题.

(1)求C；

(2)若△A8C的面积为5旧，。为AC的中点，求8。的最小值.

16.(15分)某学校食堂有A,8两家餐厅，张同学第1天选择A餐厅用餐的概率为/从第2天起，如果

3

前一天选择A餐厅用餐，那么次日选择A餐厅用餐的概率为一；如果前一天选择B餐厅用餐，那么次日

4

1

选择A餐厅用餐的概率为］设他第n天选择A餐厅用餐的概率为Pn.

(1)求P2的值及Pn+1关于Pn的表达式；

(2)证明数列｛匕-各是等比数列，并求出｛P〃｝的通项公式.

17.(15分)已知边长为4的菱形A8C。(如图1),ABAD=J,4c与8。相交于点O,E为线段A。上一

点，将三角形ABD沿8。折叠成三棱锥A-BCD(如图2).

(1)证明：BD±CE；

V15

(2)若三棱锥A-BCD的体积为8,二面角B-CE-0的余弦值为一，求OE的长.

18.(17分)已知椭圆C：及+，=l(a>b>0)的两个焦点分别为为，F2,离心率为点P为C上一

点，△尸尸说2周长为2鱼+2,其中。为坐标原点.

(1)求C的方程；

(2)直线/：y=x+机与C交于A,5两点，

(力求△045面积的最大值；

—>—>—>

(n)设OQ=0A+OB,试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程.

19.(17分)定义：如果函数/(无)在定义域内，存在极大值/(xi)和极小值了(尤2),且存在一个常数左，

使/(尤1)-f(X2)=左(尤LX2)成立，则称函数/(%)为极值可差比函数，常数上称为该函数的极值

差比系数.己知函数f(x)=无一:一aZnx.

(1)当a=?时，判断了(尤)是否为极值可差比函数，并说明理由；

(2)是否存在a使/(无)的极值差比系数为2-a?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

(3)若越<a<-,求/(x)的极值差比系数的取值范围.

22

2025年海南省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.(5分)设全集U=R,集合A={小2-3x-4>0},则CuA=()

A.{x\-l<x<4}B.{x\-4<J;<1}C.{x|-1WXW4}D.{x|-4WxWl}

【解答】解：・・・A={MxV-I或%>4},U=R,

，CuA={x|-1«4}.

故选：C.

2.(5分)复数z=言的虚部为()

A.2B.-2C.2iD.-2i

【解答】解：由题意可得z=言=簿%二3

3+』-4i_2-471

=9--Q-1—2,1,

1-t2

故其虚部为：-2

故选：B.

7T—T—TT—

3.(5分)已知a,b为单位向量，若|a+—|a—=0,则|a—b|二()

A.2B.V2C.1D.0

【解答】解:由向+&—日一&=0,得:+&=向一百,

T—TTTTT_>

\a+b\2=\a-b\2,即(Q+h)2=(a—Z?)2,得Q-b=0,

\a-b\=JG—b)2=Ja2—2a-b+b2=Vl2+l2=V2.

故选：B.

4.(5分)若tana=2tan0,sin(a-p)=t,则sin(a+0)=()

A.2tB.-2tC.3tD.-3t

SITLCC2.SITII3

【解答】解：由tana=2tanP，得----=-----,即sinacos0=2cosasin0,

~cosacosp

由sin(a-P)=t,得sinacosP-cosasinp=6

故sinacosP=2?,cosasin0=/,

则sin(a+p)=sinacosp+cosasinp=3t,

故选：c.

5.（5分）已知点M为双曲线C：/-『=4上任意一点，过点〃分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分

别为A,B,则四边形0AM3（。为原点）的面积为（）

1

A.4B.2C.1D.-

2

【解答】解：设M（尤0,州），则与2一%2=4,双曲线的渐近线方程为y=±x,

过点M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B,则四边形O4M8（。为原点）是矩形，

由点到直线的距离得又用=压吗汕眼8|=十如

V2V2

四边形OAMB的面积为|肱4|・|加8|=画券•笔型=*匚次一=2.

<2722

故选：B.

6.（5分）在正四棱锥P-AIBICLDI中，PBilPDi.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何

体ABC。-A181C1D1,AB=1,AiBi=2,则几何体A8CD-AiBiGDi的体积为（）

【解答】解：设正四棱锥尸-ALBIGDI的侧棱长为。，

连接4cl与交于点。1,连接PO1,则POi,平面ABCD

因为481=2,所以B/i=722+22=2vL

因为所以在Rt△尸81D1中，a2+a2=（2V2）2,

解得：a=2,所以POi=JPB：-Bi<J2=J22-（&）2=

又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCO-AIBICLDI,AB=1,

则几何体ABCD-AiBiCiDi为正四棱台，

连接AC,8。交于点。，所以。为PO1的中点，

所以。。1=挈=孝，所以几何体ABC。-4B1C01的体积为:

122L—7V27V2

--(22+I2+V22-I2)­—=——.

326

故选：C.

7.（5分）已知函数f（x）=tcm（3x+$（3>0）,若方程f（x）=1在区间（0,ir）上恰有3个实数根，则

O）的取值范围是（）

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

【解答】解：当疣(0,1T)时,3%+今WC,0)71+f

则由题意可得产taiu-1在%€4,即+9上有3个实数根，

r一，「兀7171

即可得一+37T<O)7T+—<—+47T,

444

解得3Vo)W4,即3的取值范围是(3,4].

故选：C.

8.(5分)已知函数/(x)=2x+2-x+cosx+x2,若〃=/(-3),b=f(^),c=f(n),贝！J()

A.b<a<cB.b〈c〈aC.c<a<bD.c<b<a

【解答】解：因为/(x)=2x+2--x+cosx+x2,

所以函数定义域为R,/(-x)=2-x+2x+cos(-x)+(-x)2=2X+2-X+COSX+X2=/(X),

所以函数f(x)为偶函数，故。=/(-3)=/(3),

当x>0时，f(x)=(2X-2*)/〃2+(2x-siar)=g(x),

所以g'(%)=(2x+2x)(/n2)2+(2-cosx),

因为(2%+2一％)(历2)2>0,2-cosx>0,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,+8)单调递增，故g(x)>g(0)=0即/(x)>0,

所以f(x)在(0,+°°)单调递增，又eV3Vm

所以/(e)<f(3)<f(K),所以b〈〃Vc.

故选：A.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符

合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分。

(多选)9.(6分)已知XTV(n，o2),贝IJ()

A.E(X)

B.D(X)=。

C.P(XWp_+。)+Po)=1

D.P(X2n+2o)>Po)

【解答】解：由XMHn，。2)可得E(X)=出。(x)=。2,故A正确，B错误;

对于C,利用正态曲线的对称性可知，P(X<|i-o)=p(X2u+。)，

故P(XW|i+。)+P(XWp-。)=尸(XWp_+。)+P(X^n+o)=1,即C正确；

对于。，利用正态曲线的对称性可知，P(XWR-O)=P(X>u+。)，

而P(X>u+。)>P(X2u+2。)，故尸(XNu+2。)<P(XWR-。)，故。错误.

故选：AC.

(多选)10.(6分)已知定义在R上的函数/(x)不恒等于0,/(IT)=0,且对任意的无，yeR,有/(2x)

+f(2y)—2f(x+y)fCx-y),贝ij()

A.f(0)=1

B.f(x)是偶函数

C./(x)的图象关于点(m0)中心对称

D.2TT是尤)的一个周期

【解答】解：由/(2x)4f(2y)=?f(x+y)/(x-y),令x=»可得/(2x)4/(2无)=2/(2x)/(0),

解得了(0)=1,故A正确；

令天=-»可得/(2无)4/(-2x)=2f(0)f(2x)=4(2x),则/(2x)=f(-2x),

即可得对任意的xeR,满足/(x)=/(-x),即/(x)是偶函数，故8正确；

令x+y—Tt,则由/(2x)+f(2y)—2f(尤+y)/(x-y),可得/(2ir-2y)+f(2y)—If(n)/(n-2y)

=0,

即/(x)满足/(2ir-尤)+f(x)=0,因此可得了(无)的图象关于点(it,0)中心对称，故C正确；

由于/1(x)是偶函数，得了(尤-2TT)+f(x)=0,即/(x)+f(x+2n)=0,

可得了(尤-2TT)—f(X+2TT),也即/(x)—f(x+4it),所以41T是/(x)的一个周期，故。错误.

故选：ABC.

(多选)11.(6分)在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得

金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花

瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所

得三条曲线与C围成的(如图阴影区域)，A,8为C与其中两条曲线的交点，若p=l,则()

A.开口向上的抛物线的方程为y=

B.|AB|=4

3

C.直线x+y=f截第一象限花瓣的弦长最大值为了

4

D.阴影区域的面积大于4

【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为C：/=2为顶点在原点，焦点为0),

将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为尸2(0,分，则其方程为/=2»即y=故

A正确；

对于8,根据A项分析，由可解得，x=0或彳=2,即XA=2,代入可得yA=2,

由图象对称性，可得A(2,2),B(2,-2),故|A8|=4,即8正确；

对于C,如图,

设直线x+y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N,

y=—%+tAT1ZDXMt+1―V2t+1y=—x+t=V2t+1-1

由y2=2x解得由/=2y解得'

yM=V2FT1-1YN=力+1—+1

即号M(t+1-72t+LV2t+1—1),NG2t+1-1,t+1—、2t+1),

则弦长为：|MN|=〔2(t+2—272t+1)2=夜|t+2—2V2t+1|,

由图知，直线x+y=t经过点A时f取最大值4,经过点。时f取最小值0,

即在第一象限部分满足0<fW4,不妨设观=V^F下I，则1<MW3,且1=包升,

代入得，|MN|=夜|咚i+2-2&|=孝@—2产—1],(1<〃W3),

V2

由此函数的图象知，当〃=2时，川取得最大值为三，即C错误；

对于。，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，

故可以先求:部分面积的近似值.如图，

在抛物线y=2小,(%20)上取一点P,使过点P的切线与直线。4平行，

由<=x=l可得切点坐标为P(L1),因/OA：x-y=0,则点尸到直线的距离为d=g=*

于是S.A=*xx?%由图知，半个花瓣的面积必大于去

故原图中的阴影部分面积必大于8x：=4,故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(久-1)4展开式的常数项是6.

【解答】解：0—^)4展开式的通项公式为小1=噩。].•(—»■，

当4-r=r时，即r=2,

则乃=6,

则展开式的常数项为6.

故答案为：6.

13.(5分)己知数列｛斯｝的前几项和Sn=/+n,当包型取最小值时，n=3.

an

【解答】解：由题意得m=Si=2,

当九＞2时，an—Sn-Sn-\=2n,

又m=2满足该式，所以斯=2几，

2

r1szi+9n+n+9n91m917

an2n22n222n22

n9

当且仅当一=一，即〃=3时取等号，

22n

所以当过2取最小值时，n=3.

an

故答案为：3.

14.(5分)2024年新高考数学I卷多选题的计分标准如下：

①本题共3小题，每小题6分，共18分；

②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；

③部分选对的得部分分.考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选

项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数

为13.

【解答】解：甲在此卷多选题的作答中，

第一小题选了三个选项，因此甲此题的得分可以是。分，或6分；

第二小题选了两个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或4分，或6分；

第三小题选了一个选项，因此甲此题的得分可以是0分，或2,或3,

因此甲多选题的所有可能总得分为0分，2分，3分，4分，6分，7分，8分，9分，12分，13分，14

分，15分,共12种情况,

因为12X80%=9.6,所以甲多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数为13

分.

故答案为：13.

三、填空题：本大题共5小题，每小题13分，共15分。

15.(13分)在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

请在①(a-b)sin(A+C)=(a-c)(sinA+sinC)；②s讥/一C)cos(C+§)=今这两个中任选一个

作为条件，补充在横线上，并解答问题.

(1)求c；

(2)若△ABC的面积为5百，。为AC的中点，求的最小值.

【解答】解：(1)选择条件①，(。-。)sin(A+C)=(Q-C)(sinA+sinC),

则(a-b)sinB=Ca-c)(sinA+sinC),

由正弦定理可得Qa-b)b=(a-c)(o+c),BP«2+/?2-c1=ab,

所以cosC=a¥〃0=2,由Cc(0,n),所以C=与；

ZabL3

选择条件②，sin/-C)cos(C+$=,，

即sizi匿—g+C)]cos(C+$=,，所以cos?(C+号)=,，

由CE(0,7T),可<C+4<与"，则cos(C+手)=—2，

所以C+A冬则c=*

(2)由S=讥C=x学=58，解得〃Z?=20,

TTT

又BD=BC+CD,

—>—>—>—>—>—>—>

所以BD?=(BC+CD)2=BC2+2BC-CD+CD2

2

1D7111

2a2

---1----

a224*222

-10

所以旧叫2，讪，当且仅当a=VTU,b=2同时等式成立，

所以的最小值是VIU；

另解：因为S-BC=5百，D为AC中点，

所以SABDC=*SAABC=，a••sin^,得ab—20,

在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosC

_211t21入、O1r__1r_ic

=a+彳bl—ctbN2a不b—亍ab=方ab=10,

4ZZZ•Z

所以BDNVTU,当且仅当a=VTU,b=2VIU时等式成立，

所以80的最小值是JTU.

16.（15分）某学校食堂有A,8两家餐厅，张同学第1天选择A餐厅用餐的概率为土从第2天起，如果

3

前一天选择A餐厅用餐，那么次日选择A餐厅用餐的概率为一；如果前一天选择8餐厅用餐，那么次日

4

1

选择A餐厅用餐的概率为3设他第n天选择A餐厅用餐的概率为Pn.

（1）求尸2的值及Pn+1关于Pn的表达式；

（2）证明数歹（）｛/-各是等比数列，并求出｛P，，｝的通项公式.

【解答】解：（1）设4="第”天去A餐厅用餐"，Bn="第W天去2餐厅用餐”,

则Q=AaUB",且4与治互斥.根据题意得

12

PI=P（4）=9P（BI）=I-P（&）*，P（B„）=i—p（an）,

产（4九+1|4九）=4，尸（”九+1|8九）=2，

B=P（4）=PPQPC&Mi）+P（B1）P（A2|B1）=1"3抖2"＞1台7

31

Pn+1=尸（AT+1）=尸（ZQPG^+ilAi）+尸（%）产缶九+11%）=+2（1—匕），

11

即Pn+l=彳8+2,

21121112

（2）0九+i-可=Q&+力-W=4%一石=4（匕-W），

又因为七—卜一，。，所以正一刍是以一翔首项，1为公比的等比数列，

所以64=（0）X（扔T,

17.（15分）已知边长为4的菱形ABC。（如图1）,ABAD=J,4C与8。相交于点O,E为线段AO上一

点，将三角形46。沿8。折叠成三棱锥A-BCD（如图2）.

（1）证明：BD±CE；

V15

（2）若三棱锥A-8CQ的体积为8,二面角3-CE-0的余弦值为一，求OE的长.

【解答】解：（1）证明：因为四边形A8C。是边长为4的菱形，并且4艮4。=枭

所以△AB。，△BCD均为等边三角形,

故AOJ_8。，COLBD,且4。=<;。=2痔

因为AOu平面AC。，COu平面AC。，且AOCCO=O,

所以8Z)_L平面AC。，

因为CEu平面AC。，所以BD_LCE.

(2)设A到平面8CQ的距离为/?,因为等边△BC。的边长为4,

所以三棱锥A-BCD的体积为工X—x42/I=8,所以八=2V3,

34

因为4。=2b，所以AO_L平面BCD

以。为坐标原点，。2所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，。4所在直线为z轴，建立空间直角坐标

系。-xyz,

则。(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2y[3,0),4(0,0,2遮),

设E(0,0,〃)(«>0),

因为8。，平面AC。，所以送i=(l,0,0)是平面EC。的一个法向量,

设平面BCE的法向量为其=(%,y,z),

—»—»

又BC=(-2,2V3,0),BE=(—2,0,n),

/TTI—

故.BC=-2x+2V3y=0

m2-BE=—2x+nz=0

取X=遍，则y=1,z=

得血2=(V3/1,

因为二面角B-CE-0的余弦值为巫，

10

而1崔2lV3V15

所以r---h=---i===7-，

m10

liH^2|lx4+J

7nz

解得71=字或n=—字(舍去)，

此时。E=

r2“2V2

18.(17分)已知椭圆C：今+4=l(a>b>0)的两个焦点分别为乃，F2,禺心率为77，点尸为。上一

CLI)2

点，△PF/2周长为2或+2,其中。为坐标原点.

(1)求C的方程；

(2)直线/：y=x+:"与C交于A,B两点,

(z)求△O4B面积的最大值；

—>—>—>

(〃・)设0Q=04+0B,试证明点。在定直线上，并求出定直线方程.

【解答】解：(1)设焦距为2c,

旦

a=V2/

依题意得，行=0’解得

2a+2c=2V2+2,c=1/

又〃2=廿+°2,所以房=〃2,。2=1,

%2

所以。的方程为二+y2=1.

2

(2)(z)设A(xi,yi),B(X2,”),

(%22_

联立(2+丫-1，得3x2+4mx+2m2-2=0,

y=x-\-m

由A=16m2-4X3X(2m2-2)>0,解得m2<3,

2m2—2

所以％]+&=--'%1%2=

-3-

>—m'

x

所以|ZB|=J%—冷产+(yi-、2)2=V2XJ%+上)2—4%I%2=V24—8m

3-

而点。到直线/：尤-y+m=0的距离为d=粤，

V2

所以△048的面积S=1x4J3T*粤=学*7(3-m2)m2<孝X(3*；)+、=与,

当且仅当3-年=/，即爪=±乎时，△048的面积取得最大值

(z'z)设Q(x,y),

—>—>—>

日仍=%1+%2

因为。Q=04+0B,所以(无，y)=(xi+%2,yi+y2),ty

即=yi+y2

因为%1+%2=---妥，所以+%2+2m—

4m

X-..Q-

所以

2m

y=^r

所以y=一/，

故点Q在定直线y=-2X,

19.(17分)定义：如果函数/(%)在定义域内，存在极大值/Cn)和极小值/(%2),且存在一个常数左，

使/(%1)-/(及)=k(X1-X2)成立，则称函数/(x)为极值可差比函数，常数左称为该函数的极值

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