2022-2023学年高二数学上学期期中期末复习：空间向量与立体几何章节综合检测（提高卷）含解析

5第一章空间向量与立体几何章节综合检测（新高考版提高卷）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1.（2022・全国•高二课时练习）已知亚,反可能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间

基底的是（）

A.a+b,b,cB.a,a—b,cC.a—c,b—c,a—bD.a,b,a+b+c

【答案】C

【详解】由图形结合分析

三个向量共面，不构成基底，

故选：C

2.（2022•全国•高二课时练习）如图,在三棱锥O-ABC中，设西=£,OB=b,OC=c，若颉=NS,

BM=2MC,则丽=（）

1-12-1-12-「1/1-1-1一一

A.—a+—br——cB.——a——r/?+—cC.—a——b——cD.——a+—b+—c

263263263263

【答案】A

【详解】连接。ON,

贝加=两一W=1（OA+OB）-（OC+CM）

263

故选：A.

3.（2022・全国•高二单元测试）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记

载了一种名为“刍意’的五面体（如图），其中四边形A3CD为矩形，EF//AB,若AB=3£F,„ADE^ABCF

都是正三角形，且AD=2EF,则异面直线与即所成角点的大小为（）

【答案】A

【详解】如图，以矩形ABCD的中心。为原点，B的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，

•.・四边形ABCD为矩形，跖//ABRADE和△3CF都是正三角形，二EFu平面火左，且Oz是线段E尸的垂

直平分线.设筋=3,则所=1,AD=2,4一1,一加，小,1,0：小,；,向

，

£>£=^Ll>A/2j,BF=^-l,-l,V2j,/.DEBF=-lxl+lx（-l）+^2x^2=0,/.正，

：.异面直线DE与即所成的角力

故选：A

4.(2022・全国•高二课时练习)a=(1,-1,3),&=(-l,4,-2),c=(l,5,x),若益石忑三向量共面，则实数%=()

A.3B.2C.15D.5

【答案】D

【详解】「—(1,—1,3),/?=(―1,4,—2),/.乙与Z?不共线，

又•「五、方、三向量共面，则存在实数相，=ma+nb

m-n=l

即<-m+4〃=5,解得n=2,m=3,x=5.

3m-In=x

故选：D.

5.(2022・全国•高二专题练习)在正三棱柱A3C-A与G中，若43=明=4,点。是441的中点，则点％

到平面DBG的距离是()

A.V2B.&C.立D.史

234

【答案】A

【详解】解：以AC为，轴，以AA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

•.•正三棱柱4BC-A瓦G中，若AB=AA1=4,点。是AA的中点，

BQ52,0),G(°，4,4),0(0,0,2),A(0,0,4),

UUUUULUUUU

/.DB=(2V3,2,-2),DC{=(0,4,2),DA.=(0,0,2),

设平面B£)G的法向量为五=(%,y,z),

1UUUf______

QnDB=。，nDCx=0,

,[2,+2;一2：=0,取y=_l,则-1,2),

[4y+2z=0

iTUULTi

•・•点A到平面DBG的距离d=七普1=学”出=也.

\n\V3+1+4

故选：A.

6.(2022•全国•高二单元测试)已知正三棱柱ABC-ABG的所有棱长都为2,N为棱CQ的中点，动点M

满足询=2元，4G[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是()

A.当％时，△AMG的周长最小

B.当Q0时，三棱锥G-4MN的体积最大

C.不存在力使得AM_LMN

D.设平面A4M与平面BCC#所成的角为仇存在两个不同的力值，使得|COS6|=¥

【答案】B

【详解】当义=；时，加是BC的中点，4河+。阳=万+行，当2=1时，AM+C阳=2亚+2,

W+国=12+7140,(20+2『=12+7128<12+A/140，故当％：时△Ag的周长并不是最小的.故A错.

当4=0时，=5_6温=#54,阿，只需要面积最大体积就最大，此时陷8重合，故B对.

当"是BC中点时，AM_L平面BCC］耳，又MNu平面BCG瓦，则A0LMN,故C错.

取3c中点为。，则AO，平面BCC,B,，以OB,OA所在直线为羽z轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面

BCQBi的法向量为五=(0,0,1)

BM=ABC,:.M(1-22,0,0)，故丽>(1,0,-⑹,B^M=(-22,-2,0)

设平面4AM的法向量为3=(x,y,z)

所以［x-Wz=°令z=JJ,贝U尤=3,y=-34,故元=(3,-346)

-2Ax-2y=0、'

同(帚，力卜.靠.=，"=gn)=±乎,手,故D不对.

1'71m\\nJ12+9储533

故选：B

7.(2022•浙江师范大学附属中学高一期末)如图，已知矩形ABCD的对角线交于点瓦AB=x,3C=l,将

△ABD沿3D翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得贝口的取值范围是()

A.0<xW石B.0<%<72

C.0<x<lD.0<x<\f6

【答案】A

【详解】如图示，设A处为沿3。翻折后的位置，

以。为坐标原点，D4QC分别为x,y轴，过点Z)作平面A2C。的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

1Y

则41,0,0),2(1,尤,0),。(,0,羽0),颐5,5,0),设43"c),

由于IA」l=i澈片+必+°2=1,

—-----►.1X

而i5A—(a—1,h—x,c),ZX4j—(tz,b,c),CE=(—,—0),

由于ABJ_AD,故J_,则BA,DAi=a(a—1)+b(b—x)+c*2=0,

即Z?X=1-Q；

又由在翻折过程中存在某个位置，使得AB人CE,不妨假设3，CE,

则瓯・屈=gm-l)—^3一x)=0,BPx2-to+«-l=0,

即x?=bx+1-a=2(1-a),

当将AABD翻折到如图7NBD位置时，VA3D位于平面ABCD内，

不妨假设此时54'，CE,设垂足为G,

作AN的延长线，垂足为E此时在x轴负半轴上方向上，。尸的长最大，。取最小值，

由于ZBA'_D=90。，故EG〃A'。，

所以/BEG=NBDA'=NBDA,1^ZBEG=ZAED,

故ZAED=NBDA=NEDA,5LAE=AD,

故AAE。为正三角形，则NEDA=6(P,，/BD4'=NEDA=60。，

而AO=1,故Db=g,

故尤2=2(1—a)V3,x>0,贝,

故x的取值范围是(0,6],

故选：A

8.(2022•江西鹰潭•高二期末(理))如图，在三棱锥P—ABC中，AB=AC=PB=PC=5,PA=4,BC=6,

点M在平面P3C内，且=设异面直线AM与8c所成的角为a,则cosa的最大值为()

A&R6c—D6

A.D.V.U.

5555

【答案】D

【详解】设线段BC的中点为。，连接的),

■.■AB=AC=5,。为3c的中点，则

vBC=6,贝UBD=CD=3,AD=ylAB2-BD2=4-同理可得尸。=4,PD±BC,

PD[}AD^D,.1BCl,平面BID,

过点P在平面PAD内作PO_LAD,垂足为点。，

因为24=PD=AT>=4,所以，为等边三角形，故。为AD的中点，

平面PAD,POu平面PAD,则3C_L尸O,

-.■PO±AD,ADC\BC=D,PO_L平面ABC,

以点。为坐标原点，CB，AD>炉分别为x、八z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系。-5,

因为△m£>是边长为4的等边三角形，。为AD的中点，则0尸=尸外也60。=26，

则4(0,-2,0)、8(3,2,0)、C(-3,2,0)、P(0,0,2A/3),

由于点V在平面PBC内，

可设=mBP+nBC=,71^-3,—2,2^3j+n(—6,0,0)=^—3m—6n,—2m,2yfitnj,

其中加之o,且加+几«1,

从而AM-AB+BM=（3,4,0）+^-3m-6n,—2m,2A=^3—3m-6n,4-2m,,

因为|而|=岳，贝1］（3-3m-6〃）2+（4-2租）2+12，，=15,

所以，（3-3%—6〃）2=—16m2+16m—1=—（4m—2）2+3,

1

故当机=］时，一16裙+16机-1有最大值3,即（3机+6〃-3）9＜3,

故-6工3冽+6〃-3＜有，即加+6〃-3有最大值名，

|AM-BC|_|6（3-3m-6/i）|6下）_75

所以，

cos<z=|cos<AM,BC>|=-

|W|.|BC|6相一6岳一5■

故选：D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.（2022・全国,高二课时练习）已知。=（1,0,1）,S=（-l,2,-3）,c=（2,^,6）,则下列结论正确的是（）

A.Q_1_石B.b//c

c.为钝角D."在Z方向上的投影向量为（4,0,4）

【答案】BD

【详解】因为lx（—l）+0x2+lx（—3）=TwO,所以九区不垂直，A错,

因为c=-2石，所以石〃c，B对，

因为Z・"=lx2+0x（Y）+lx6=8,所以cos（a,c）＞0,所以（4,c）不是钝角，C错,

因为2在“向上的投影向量尺8s（词•3=*£=：（1，°，1）=（4,0,4）,D对,

故选：BD.

io.（2022,江苏•淮海中学高二开学考试）如图，在棱长为1的正方体A8cr＞-A4G2中（）

A.AC与8。1的夹角为60。B.二面角D-AC-2的平面角的正切值为0

C.与平面AC，所成角的正切值&D.点。到平面AC2的距离为g

【答案】BCD

【详解】如图建立空间直角坐标系，

则A（l,0,0）,C（0,l,0）,B（l,l,0）,D,（0,0,1）,（1,1,1）,

..%=幽衣.西=0,即前，瓯，AC与BO1的夹角为90。，故A错误;

设平面AC2的法向量为m=（x,y,z）,AC=（-l,l,0）,A^=（-l,0,1）,

t玩.A苑C==_T_r++Zy==0。’令E'则*,O'U、)’

所以

平面DAC的法向量可取n=(0,0,1),二面角。-AC-R的平面角为6,

贝ijcos。=k°s(/砌=,所以sine=K()s(源矶=7|r,tane=0,故B正确;

因为鬲=(0,1」)，设A4与平面ACR所成角为a,

则sina=jcos^AB1-m-产—产=---,cosa=,tana=>/2，故C正确；

V2-V333

因为次=(1,0,0),设点。到平面ACQ的距离为d,则

-m

d=故D正确.

故选：BCD.

11.(2022•黑龙江,哈九中高二开学考试)已知空间三点4(-2,0,2),8(-1,1,2),口-3,0,4),^a=AB,b=AC.

则下列结论正确的是()

A.若，|=3,且舒/配,则】=(2,1,-2)

B.Z和B的夹角的余弦值-®

10

C.若后Z+B与左Z-2分互相垂直，贝1|左的值为2；

D.若*+q+〃"可与z轴垂直，则；I,〃应满足2-〃=0

【答案】BD

【详解】依题意，£=(1,1,0)石=(-1,0,2),BC=(-2,-1,2),

对于A,H|BC|=3,而，=3,且"//前，贝必=-沅=(2,1,-2)或2=前=(-2,-1,2),A不正确;

TioT会

对于B,cos〈a,b)=f'=广1l,B正确;

V2XV5

对于c,因左Z+B与左Z—2分互相垂直，贝1(左2+5•(左Z—2分=左27—左£出一27=2右+左一10=0,

解得左=2或&=-],C不正确;

对于D,/l(£+B)+〃(£-5)=/1(0,1,2)+〃(2,1,-2)=(2〃"+〃,2；1-2〃),z轴的一个方向向量力=(0,0,1),

依题意，(2〃,力+〃,2/1-2〃>(0,0,1)=2/1—2〃=0,即2—〃=0,D正确.

故选：BD

12.(2022•全国•高三专题练习)已知正方体ABCO-ABCQ的边长为2,M为CG的中点，尸为侧面8CG用

上的动点，且满足AM//平面A8P,则下列结论正确的是()

A.AMB.">"/平面42尸

C.AM与AM所成角的余弦值为JD.动点P的轨迹长为型1

33

【答案】BCD

【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则4(0,0,2),A(0,2,2),3(0,0,0),M(2,1,0),P(x,y,0),

所以率=(0,-2,-2),而=(x,y,0),丽=(2,1,-2),

0+bx=2

由AM〃平面ABF,得画？=4率+5而，即一2°+外=1,

—2a-—2

化简可得：3x-2y=0,

所以动点P在直线3x-2y=0上，

对于选项A：病=(2,1,—2),庭=(2,—1,0),磁•如=2x2+lx(—l)+(—2)x0=3w0,所以谢与画不

垂直，所以A选项错误；

对于选项B：C2〃A氏A8u平面AB尸,CRo平面A8尸，所以CR〃平面A8P,B选项正确；

——.—.——.42

对于选项c：A耳=(0,0,-2),cos<AM，AH>=/…=5，c选项正确；

2^/2+1+(-2)3

对于选项D：动点尸在直线3x-2y=0上，且P为侧面2CC4上的动点，则P在线段版上，错2°]'

所以==半，D选项正确；

故选：BCD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.)

13.(2022・全国•高二课时练习)已知空间向量日、b'"满足Z+B+2=0，I"1=1，I昨2,|C|=A/7,则Z

与B的夹角为.

【答案】三##60°

【详解】因为2+1+"="所以；=二』，

所以片=b£—石『=7+2£方+L,

因为I。1=1，I石1=2,|c|=S,

所以7=1+2X1X2COS,,B)+4,

所以cos&B)=!，

因为G，B）e[O,司，

所以。b）=:,

故答案为：—

14.（2022•江苏•常州市第一中学高二期中）已知四棱柱A8C。-agqq的底面ABCO是正方形，底面边

长和侧棱长均为2,ZA.AB=ZA.AD=60°,则对角线AQ的长为.

【答案】2石

【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，AC^AB+AD+AA；,

所以离,=（荏+莅+病?=通。亚2+亚+2费•通+2福•丽+2赤•丽

=4+4+4+2x2x2cos60°+2x2x2cos60°=20,

所以|猬卜26.

故答案为：2非.

15.（2022•全国•高二单元测试）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、

体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成

是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，人尸=4b=2五，AB=AAl=2AD^4,P,

Q,M,N分别是棱ASQE,BB1,人尸的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.

【答案】3叵##[岳

1515

【详解】如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

因为4尸=4尸=2夜，AB=AAl=2AD=4,

所以可得「（2,2,0）,Q（0,3,5）,M（2,4,2,）,N（2,1,5）,

所以而=（-2,1,5）,丽=（0,-3,3）,

——；PQMN122^/15

所以3＜尸°,皿＞=网网=百瓦方=*,

所以异面直线P。与所成角的余弦值是4.

故答案为：口叵.

15

16.（2022・广东•模拟预测）已知正四面体A-BCD内接于半径为亚的球。中，在平面3co内有一动点P,

2

且满足4尸=4夜，贝力的最小值是；直线AP与直线3c所成角的取值范围为.

【答案】26-20

【详解】设A在面BCD内的投影为E,故E为三角形BCD的中心，

设正四面体A-3CD的棱长为x,球。的半径为R.

贝ljBE=2x尤、虫=叵，AE=>]AB2-BE2=—,

3233

依题可得，球心。在AE上，R2=BE2+^AE-Ry,代入数据可得X=6,

则BE=2技AE=2R,

又AP=，PE=yjAP2-AE2=2V2-

故尸的轨迹为平面8c。内以E为圆心，2正为半径的圆，

BE=20

2,P,E三点共线时，且尸在BE之间时，|8尸|的最小值是2否-20.

以E为圆心，8E所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系,

A(0,0,276),B(2^/3,0,0),C(-V3,3,0),O1石，-3,0),

设网2行cos仇20sin6,0),9e[0,2时，

故方=(272cos0,2A/2sin0,-2^,BC=(-373,3,0),

设直线”与直线2C所成角为a,

APBC

-6辰。,夕6Ain0=工布(

网网40x62I3jL22

,JI

又ae0,-,故ae

故答案为：2退-2夜,

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤.)

17.(202”黑龙江•勃利县高级中学高二期中)已知空间三点A(-2,0,2),3(-l,l,2),C(-3,0,4),设

a=AB,b=AC.

(1)Z,石的夹角。的余弦值;

(2)若向量场+瓦。-2B互相垂直，求实数上的值;

(3)若向量22-瓦£-23共线，求实数4的值.

【答案】(1)-—；(2)4=-°或％=2；(3)4=1或4=-1.

102

【详解】(1)已知空间三点A(-2,0,2),8(T』,2),C(T0,4),

(2)若向量法+32£-2石互相垂直，

又1(1,1,0)3=(-1,0,2),贝"

解得：左=一|或左=2

(3)向量2%—瓦2—共线，又£=(1,1,0),6=(—1,0,2)

A+14-2…

当2-0时,------=——.•.?!=]

1+Z1-22

当a=-1时，Xa-b=(Q-1,-2),«-AS=(0,1,2),成立,

当4=0时，Aa-b=(1,0,-2),a-Ab=(1,1,0),不成立，

故：4=1或2=-1

18.(2022•湖南•高三开学考试)如图，在三棱柱A8C-A与G中，平面ABC,平面

ACC,A,^ABC=90°,AB=BC,四边形ACQA是菱形，N^AC=60。，。是AC的中点.

(1)证明：8C，平面与。4；

⑵求直线04与平面OBG所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2)回

10

(1)连接AC，因为四边形ACGA是菱形，则AC=AA，

因为NA,AC=60。，故1c为等边三角形，所以AO_LAC.

因为平面ABCJ_平面ACC0,平面AACGc平面ABC=AC,AQu平面A4CC,

所以4。，平面ABC,

•.•BCu平面ABC,所以AOLBC.

因为耳A〃BA,/ABC=90。，所以3C_La31.

又所以3C,平面瓦。4,.

(2)连接8。，因为/A2C=901A5=2C,。是AC的中点，所以30LAC.

又因为平面ABC，平面ACC|A,平面ABCp平面AC£A=AC,20u平面ABC,

所以2。_L平面ACC】A.

设AC=2,因为AOLBC,

以点。为坐标原点，。4、。4、。8所在直线分别为乂乂2轴建立如图所示的空间直角坐标系,

0A=(1,0,0),O<=(-1.M1),M=(-2,50).

设平面OB|G的法向量是4=(%2，%"2),

n-OC]=-2x?+y/3y?=0厂

则_J一厂，取w=6，可得为=

n-OBX=-x2+J3y2+z2=0

设直线Q4与平面04G所成角为e

所以sin。=1Icos^OA,或=匕[=卓=曾，

'”网同回10

直线。4与平面。片G所成角的正弦值是叵.

10

19.(2022•安徽省宣城中学高二期末)如图，在圆锥尸。中，已知尸0=2,。。的直径AB=2,点C是AB的

中点，点。为4C中点.

(1)证明：AC,平面POO；

(2)求二面角A-PC—3的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

(2)逑

9

⑴连接0C,如图所示：

因为。4=OC,。为AC的中点，所以AC_LO£).

又尸。，底面OQACu底面o。，所以ACJLPO.

因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC，平面POD

(2)

以。为坐标原点，03,OC,OP所在的直线分别为无轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则4(—1,0,0),3(1,0,0),C(0,1,0),尸(0,0,2).

1.~^p—Q%+24=0

^p_,即

{0-Ji+2Z]=0

令4=1,则%=-2,%=2,所以4=(-2,2,1)

%■BC=0-x,+%=0

设平面BPC的一个法向量为兀=5,％,z?)，则有，，一，即

-%+2z=0)

n2-CP=02

令%=2,贝!|马=2/2=1,所以％=(2,2,1)

__4•%11

所以|cos〈%,力2)|=I—II—I

J4+4+1J4+4+19'

所以sin

故二面角A-PC-3的正弦值为逑.

9

20.(2022•江苏淮安•高二期中)如图，在棱长是2的正方体A5CD-AqG2中，£为。。的中点.

⑴求证：EB1±AD1-

(2)求异面直线D.E与A与所成角的余弦值;

⑶求点耳到平面的距离.

【答案】⑴证明见解析

巫

10

(1)解：因为正方体ABCD-棱长为2,

故以。为坐标原点，D4,DC,£>2所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则有£>(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),"(0,0,2),

A(2,0,2),4(222),G(0,2,2).

因为E为。的中点，所以E(0,L0),

函=(2,1,2)，宿=(一2,0,2),

所以药砺=2x(-2)+lx0+2x2=0,

所以函_L皿，即EB|_LA。；

(2)解：因为率=(0,1,0)-(0,0,2)=(0,1,-2),函=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),

2-4J10

所以cos<印项>="强

V5XA/810

\DlE\\AB1\

因为异面直线RE与AB,所成角是锐角,

所以异面直线QE与A与所成角的余弦值是包.

10

(3)解：设平面ADg的法向量是m=(羽y,z),则根_LAD],m±AE

m•AD1=0

即《

m•AE=0'

又砺=(0,0,2)-(2,0,0)=(-2,0,2),AE=(0,1,0)-(2,0,0)=(-2,1,0),

—2尤+2z=0

所以令光=1,贝!Jy=2,Z=1,

-2x+y=0

所以菊=(1,2,1),又西=(2,1,2),

所以点耳到平面ARE的距离d==12+浮=底.

\m\，6

21.(2022・湖南郴州•高二期末)如图，直三棱柱ABC-A与G中，A3c是边长为2的正三角形，。为A3的

中点.

(1)证明：C。，平面42与4；

(2)若直线8c与平面AB4A所成的角的正切值为平，求平面A3G与平面ABG夹角的余弦值.

【答案】([)证明见解析；(2)

【详解】(1):ABC是正三角形，。为AB的中点，

:.CO±AB.

又「ABC-A4G是直三棱柱，

M1平面ABC,

AAt±CO.

又=A,

平面.

(2)连接。片，由(1)知CO,平面ABBIA，

•••直线与平面AB圈4所成的角为NC用。，

tanZCB.O=—.

5

•••△A5C是边长为2的正三角形，贝UCO=G，

:.OB、=#).

在直角中，OB=1,OBi=75,

BB[=2.

建立如图所示坐标系，则以1,0,0),4(—1,0,0),4H2,0),男(1,2,0),Q(0,2,73).

=(-2,2,0),=(-1,2,73),设平面A8G的法向量为蔡=(x,y,z),则[二2];即

-2x+2y=0一/、

r~，解得平面的法向量为m=百,6,-1.

法=(2,0,0),离=(1,2,3),设平面AB