一元二次不等式及其应用-高考数学题型归纳与方法总结（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第05讲一元二次不等式及其应用(精讲)

题型目录一览

①不含参数的一元二次不等式的解法

②含参数的一元二次不等式的解法

③一元二次不等式综合应用

④分式不等式与绝对值不等式的解法

、知识点梳理

1.一元二次不等式

一元二次不等式a*>0(。。0),其中A=/-4ac,再,0是方程

OX?+/JX+C>0(q。0)的两个根，且再<%2

(1)当Q>0时，二次函数图象开口向上.

(2)①若A〉0,解集为｛x|x〉％2或1<可｝・

②若△=(),解集为且xw—

③若A<0,解集为R.

(2)当a<0时，二次函数图象开口向下.

①若A>0,解集为｛<玉<》</｝

②若A<0,解集为0

2.分式不等式

⑴7〉0o/(x)・g(x)〉0

g(x)

(2)^^<0<^/(x).g(x)<0

/(x)«g(x)>0

g(x)中0

/(x)・g(x)<0

g(x)丰0

3.绝对值不等式

⑴i/（x）i>|g（x）|o[/（x）r>[g（切2

（2）|/（x）|>g（x）（g（x）>0）O/（x）>g（x）WW<—g（x）;

|/（x）|<g（x）（g（x）>0）o—g（x）</（x）<g（x）;

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【常用结论】

1.已知关于x的不等式办2+6x+c>0的解集为（加，n）（其中冽几>0）,解关于X的不等式

ex2+fcr+。>0.

由ax1+for+c>0的解集为（〃?，"），得:。（与+/+00的解集为（L工），即关于X的不

xxnm

等式ex1+bx+a>0的解集为（―,—）.

nm

已知关于x的不等式。工2+bx+c>0的解集为（加，n）,解关于x的不等式ex?+bx+。W0.

由ax2++c>0的解集为（加，加），得:。山2+/+。40的解集为（-8，—]U[―，+8）即关

xxnm

于x的不等式ex1+bx+a<Q的解集为（-00,—]U[―，+8）.

nm

2.已知关于x的不等式。f+6%+。>0的解集为（冽，加）（其中〃〉加〉0）,解关于x的不等式

ex2-bx-\-a>0.

由。%2+bx+c>0的解集为（冽，〃），得:4（1）2-〉0的解集为（-工）即关于X的不

xxmn

等式ex1-bx+a>｛）的解集为（一~-,.

mn

3.已知关于x的不等式办之+6%+。〉0的解集为（冽，n）,解关于x的不等式ex?一反+。（0.

由ax?+6x+c>0的解集为（冽，ri）,得:。（工）2—b'+c<0的解集为（一oo,]U[-—，+°o）

xxmn

即关于1的不等式42_取+440的解集为（-00,-']14」，+00）,以此类推.

mn

4.已知关于X的一元二次不等式"2++c>0的解集为火，则一定满足f>°；

[A<0

5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为弧则一定满足;

6.已知关于x的一元二次不等式—+乐+o<0的解集为R,则一定满足卜'<°；

[A<0

7.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为。，则一定满足

二、题型分类精讲

题型一不含参数的一元二次不等式的解法

畲策略方法解一元二次不等式的四个步骤

囱一价示拳次菱拓务三装及系薮关于篆面麻灌形次

1

圄一：并算同应为涯的事丽或

:求出对应的一元二次方程的才艮，晟才艮糖判别式:

；说明方程有没有实根；

仔痈二天壬©而或不手敢审前,有加示军装矶

，解集；

【典例1】函数=+2X+3的定义域是()

A.[-1,3]B.(-oo,-l]u[3,+oo)

C.[-3,1]D.(^»,-3]u[l,+oo)

【答案】A

【分析】结合已知条件，求解不等式-x2+2x+3Z0即可得到答案.

【详解】由〃x)=J-d+2x+3可知,—x~+2x+3N0,

BPX2-2X-3<0,解得-1WX*3,

故/(x)的定义域为[-1,3].

故选:A.

【典例2】不等式x(2-x)>0的解集为()

A.{x|x<2}B.[x\x>21C.{x|x<0或x>2}D.{x|0<x<2}

【答案】D

【分析】直接解不含参一元二次不等式即可.

【详解】因为以2—x)=O=x=O或x=2,贝！J/(x)=x(2—x)图象如图所示，

所以x（2-x）>0解集为{x[0<x<2}.

故选：D.

【题型训练】

一、单选题

1.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标D）已知集合力={刈/-3欠-4<0},8={-4,1,3,5},则

A[}B=（）

A.{-4,1}B.{155}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得得到

结果.

【详解】由/_3式一4<0解得一l<x<4,

所以/={x~l<尤<4},

又因为3={-4,1,3,5},所以Zn3={l,3},

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求

集合，集合的交运算，属于基础题目.

2.（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）已知集合

/={x|尤？-5x4。},8={x|尤=2〃+1,〃eN},则/口2=（）

A.{0,1,2,3,4,5}B.{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D.{3,5}

【答案】C

【分析】解不等式，得到/={x|0WxW5},结合集合3的元素特征，得到交集.

【详解】x2-5x<0»解得0W5；集合A元素满足x=2〃+l,〃eN,

当〃=0时，x=l满足要求，当”=1时，x=3满足要求，当〃=2时，x=5满足要求，

其他均不合要求，故4口8={1,3,5}.

故选：C.

3.（陕西省榆林市2023届高三三模数学试题）若椭圆加+（/+i卜2=1的焦距大于亚，

则m的取值范围是（）

C.(-1,1)D.(-l,o)u(o,l)

【答案】D

【分析】由椭圆方程表示出焦距，解不等式即可.

X272

【详解】椭圆加2*+(疗+1)丁=1化为标准方程为三十二匚=1,则机/0,

m2m2+1

/I-\2

若椭圆//+(/+］卜2=］的焦距大于血，则有口__二>|火，

m冽+112,

整理得一+/一2<0,解得04病<i,故me(T,0)U(0,1).

故选：D

二、填空题

4.不等式-2/+3X-1^0的解集为

2------

3-曲3+6

【答案】

4二-

【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.

【详解】不等式_2x2+3xjo即4X2_6X+1V0,

4x2-6x+1=0的根为玉=--

故4x?-6x+l40的解集为

即不等式一2—9。的解集为］亨

故答案为：］号工艺耳

5.不等式/+"14当7Y的解集为.

【答案】{1}

【分析】根据不等式，解出即可.

【详解】解:由题知不等式为f+21《年7Y,

即9--6x+1W0,即（3x-l）2＜0，解得x=；,所以解集为界.故答案为:g

22

6.若方程二+工=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数。的取值范围是______.

a〃+2

【答案】（-2,T）u（2,+a＞）

【分析】由题意建立不等式，即可求得实数a的取值范围.

22

【详解】•.•方程「+上-=1表示焦点在X轴上的椭圆，

QQ+2

•**a2〉a+2〉0,解得-21或。＞2,

二实数a的取值范围是（-2,-1）。（2,+8）.故答案为:（-2,-l）u（2,+a＞）.

题型二含参数的一元二次不等式的解法

畲策略方法解含参不等式的分类讨论依据

【典例1】关于x的不等式办2-（a-2）x-2V0（aeR）的解集不可熊是（）

A.0B.R

221

C.一一,1D.（-oo,l]u——,+oo

。」L。J

【答案】A

【分析】先化简不等式，然后根据。的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集.

【详解】因为"2_（"2）x-2W0（aeR）,所以（办+2）5—1）V0,

当a＞0时，（x+\（x_l）40,不等式解集为-尹

当。=0时，2x-2＜0,不等式解集为（-00』；

当口＜。时，卜H——1）20,

2?1

若-2<。<0,—>1,解集为(-——,+00；

aL«)

2

若Q=-2,—=1,解集为火；

a

2(

若a<-2,—<1,解集为|-00,—u[l,+co).

a<a\

所以解集不可能是0,

故选：A.

【题型训练】

一、单选题

1.(辽宁省丹东市2023届高三总复习质量测试(一)数学试题)已知集合

/={xeN*|(x+l)(x-“)40},5={-3,-2,1},若/03且则。=()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】D

【分析】根据含参一元二次不等式的对。分类讨论得解集，确定集合A的取值情况，再结合

集合48的关系，确定。的取值.

【详解】当a=-l时，^={XGN*|(X+1)2<O)=0,不符合题意；

当a<-l时，/={xeN*|(x+l)(x-a)40}={尤eN"|a〈x4-l}=0,不符合题意；

当a>T时，/={xeN*|(x+l)(x-a)W0}={xeN*|-1Wa},={-3,-2,1),AB

且4cBW0,

则/={1},故〃得取值范围为[10,故符合条件的a=L

故选：D.

2.(华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题)若集合

/={x|x2-ax+a-1<0},集合2=<1},满足/cB={司1<x<2}的实数a的取值范

围是()

A.a<3B.a<3

C.a>3D.a>3

【答案】D

【分析】解不等式可求得集合8,根据交集结果可确定集合A,由此可构造不等式求得结

果.

【详解】由|尤-1<1得：T<x7<l,解得：0<x<2,即3=(0,2)；

由/-ax+a-1<0得：(尤-a+0,

,.■/c8={x[l<x<2},;./={尤[1<工<4-1},/.ci-122,a23.

故选：D.

二、填空题

3.（沪教版（2020）一轮复习堂堂清第一单元1.6一元二次不等式）已知关于x的不等式组

：（2"）x+5々<。的整数解的集合为臼，则实数卜的取值范围是一，

【答案】［T2）

【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的

整数解的集合为{-2},根据数轴即可得出结果.

【详解】由，_%_2〉0,解得或x〉2,

由2—+（2左+5卜+5左<0,即（2x+5）（%+左）<0,

当左〉2时，（2x+5）（x+左）<0的解为一左<x<一,，

故不等式组的解集为,

因为-g<-2,不符合不等式组的解集中有整数-2,故舍去；

当左=g时，不等式2x?+（2后+5b+5后<0为

2x2+1Ox+<0,即21x+3J<0>

所以不等式无解，不符合题意，故舍去；

当后<5"时，（2x+5）（x+左）<0的解为一5<x<—左，

若需不等式组的整数解的集合为{-2},

5-2-12-k3x

2

由数轴可知只需-2〈-左43,解得-3V后<2,

综上，实数k的取值范围是-3V左<2.

故答案为：卜3,2）.

4.（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）设

2

a:1^|<O,>0:x-（7M+l>+m<O,若a是用的充分条件，求实数机的取值范围是

【答案】｛机何4-2｝

【分析】先利用分式不等式求解。，再利用一元二次不等式化简集合夕，再由充分条件的

定义可知a=即可求得数加的取值范围.

X—1

【详解】•••«:——<0,a:-2<x<\

x+2

:x2-（m+1）x+m<0,<0,

若。是"的充分条件，则au/?,

当冽27时，（3A<x<m9此时不满足。之夕，故舍去；

当初<1时，p\m<x<\,若满足a1尸，则加4-2.

综上：m<—2.

故答案为：m<-2

三、解答题

5.解下列关于％的不等式：（x+a）（x-2a+l）<0.

【答案】答案见解析.

【分析】对。分三种情况讨论得解.

【详解】由（工+4）（工一24+1）=0得l=一。或％=2〃—1.

当2a-1=-*即〃=g时，不等式解集为0；

当2a-1>—a9即〃〉§时，解集为｛%|—a<x<2〃T｝；

当2。一1<一。，即时，解集为｛x|2a—l<x<-a｝.

综上：时，不等式解集为0；时，解集为｛x%<x<2aT｝；时，解集为

1x|2a-l<x<-a｝.

6.解下歹U关于x的不等式。/+（a+2）x+l>0（。w0）.

【答案】见解析

【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.

【详解】方程：办？+（。+2）尤+1=0且。力0

A=(a+2y—4a=a-+4>0,

-a-2-Va2+4—Q-2+J/+4

解得方程两根:-----------------------，12------------------------

2a22a

当〃>0时，原不等式的解集为:

.-a-2+Jq2+4__p.-a-2-yjci+4I

<x\x>------------的<------------->;

2a2a|

当〃<0时，原不等式的解集为：

―ci-2+Jq2+4-a-2—y/ct+4I

<x------------<x<-------------->.

2a2a|

综上所述，当Q>0时，原不等式的解集为：

,-ci-2+JQ2+4_p.-a-2-da2+4]

<x\x>------------或<------------->;

2a2a|

当Q〈0时，原不等式的解集为：

,—(2-2+Jq2+4—a—2—yjci2+4I

<x------------<x<-------------->.

2a2a|

7.解下列关于％的不等式/+"+1<0.

【答案】答案见解析

【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论△符号求解集即可.

【详解】由对应函数>=X2+"+1开口向上，且A=Q2-4,

当八=〃2一440,即-时，/+狈+120恒成立，原不等式解集为0；

当△=/一4>0,即。<一2或。>2时，由/+ax+l=0,可得x=一"5一《,

2

所以原不等式解集为｛x|<x<±±手4｝；

综上，一24a42解集为0；

-2或.>2解集为"「"^^0<一.+^^｝.

题型三一元二次不等式综合应用

畲策略方法一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路

1.牢记二次函数的基本性质.

2.含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换.

【典例1]若不等式"2+，x+c>0的解集为｛x[T<x<2｝,则不等式

。(％2+1)+/工一1)+。>2。%的解集是()

A.{x|0<x<3}B.{小<0或x〉3}

C.{x|l<x<31D.{x|-l<x<3}

【答案】A

【分析】由题知“，a<0,进而将不等式转化为，-3x<0,再解不等式即可.

-=-2

【详解】解：由。■2+1)+6(]一1)+。〉2。1,整理得办2+仅一24卜+(4+°-»〉。①.

又不等式ax2+bx+c>0的解集为何-l<x<2},

(-1)+2---

所以。<0,且°即；②.

(-1)x2=-

将①两边同除以〃得：x2+|--2|x+|l+---j<0@.

\a)\aaJ

将②代入③得：f_3x<0,解得0<x<3.

故选：A

【典例2】关于x的方程/+(加-2.+2加-1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数机的取

值范围是()

A」;，；]B.M向

|_22J123j[_2)(23」1>

【答案】D

【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于。1),分为三种情况,

即可得解.

【详解】方程X2+(〃7-2»+2加-1=0对应的二次函数设为：/(x)=x2+(m-2)^+2m-l

因为方程X2+(加-2)尤+2机-1=0恰有一根属于(0,1),则需要满足：

17

①/⑼-“Iko,(2m-l)(3m-2)<0,解得：

②函数〃力刚好经过点(0,0)或者(1,0),另一个零点属于(0.1),

把点(0,0)代入/(x)=x2+(m-2)x+2机一1,解得：m=p

此时方程为x2-]x=0,两根为0,而;史(0」)，不合题意，舍去

把点(1,0)代入/'(X)=X2+(〃L2)X+2〃L1,解得：加=：,

此时方程为3--4》+1=0,两根为1,而;e(01)，故符合题意；

③函数与X轴只有一个交点，A=（m—2『一8m+4=0,解得加=6±2e，

经检验，当加=6-2e时满足方程恰有一根在区间（0,1）内；

综上：实数m的取值范围为回6-2将｝

故选：D

【题型训练】

一、单选题

1.（北京市第一0一中学2023届高三下学期数学统练三试题）已知关于x的不等式

x2+ax+6>0（a>0）的解集是｛x|xRd｝,,则下列四个结论中错误的是（）

A.a2-4b

21,

B.QH—24

b

C.若关于x的不等式x?+办-6<0的解集为a，x2）,贝!J再芍>0

D.若关于x的不等式Y+办+6<c的解集为（占，%）,且忱-引=4,则c=4

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等

式进行求解即可.

【详解】由题意A=/-46=0,a2=4b,所以A正确；

对于8:力+。="+二22》二=4,当且仅当/=4，即0=近时成立，

ba\aa

所以B正确；

2

对于C,由韦达定理，可知q2=-。=-?<0,所以C错误；

2

对于D,由韦达定理，可知西+%=-a,xtx2=b—c=——c>

则I』_/|=J（X]+x?）2—4X]X2=—4I?—1=2&=4,解得c=4,

所以D正确，

故选：C.

2.（山东省山东师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）已知关

于无的不等式aV+H+i>。的解集为加）,其中皿<0,则■的最小值为

（m）ab

A.-2B.2C.2V2D.3

【答案】D

【分析】由题意，得且加，,是方程办2+入+1=0的两根，由韦达定理“,=工，

mma

解得a=l；m+-=--=-b,由基本不等式得6=-[加+!]?2,从而可得2+1=6+',利

ma\mJabb

用对勾函数性质可求解.

【详解】因为ax?+61+4〉0的解集为（-8,加）,

所以。>0,且加，一是方程分2+bx+l=0的两根，

m

二加.一1=—1,得N〃=।]；.：加+—1=b——=-b7,

mama

RP/）=-[m+—j,当加<0时,

当且仅当加=’,即加=-1时取等号,

m

令/伍）=g+|=b+：（b22）,由对勾函数的性质可知函数

/伍）在（2,+8）上单调递增，所以"（2）=2+1=3,

2+?的最小值为3.

ab

故选:D.

3.已知关于x的不等式/+°龙+“+3>0的解集为R,则实数。的取值范围是（）.

A.（-2,6）B.（-oo,-2）u（6,+co）

C.[-2,6]D.U[6,+oo）

【答案】A

【分析】根据题意可得公="-4（.+3）<0,解一元二次不等式可得答案.

【详解】由题意关于x的不等式X1+ax+a+3>0的解集为R,

则A——4（Q+3）<0,解得-2<a<6,

即实数a的取值范围是（-2,6）,

故选：A

4.若关于'的不等式、2—6、+11-〃<0在区间（2,5）内有解，则实数〃的取值范围是（）

A.（-2,+co）B.（3,+oo）C.（6,+oo）D.（2,+oo）

【答案】D

【分析】设/(x)=》2-6x+ll,由题意可得。>/(》)血n，从而可求出实数a的取值范围

【详解】设/(x)=x2-6x+ll,开口向上，对称轴为直线x=3,

所以要使不等式x2-6x+ll-a<0在区间(2,5)内有解，只要a>/(x)g即可，

即。>[(3)=2,得〃>2,

所以实数a的取值范围为(2,+财，

故选：D

5.已知方程f+(切—2)x+5-机=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2,则实

数加的取值范围是()

A.(-5,-4)U(4,+oo)B.(-5,+8)

C.(-5,-4)D.(一4,一2)U(4,y)

【答案】C

A>0

2-m八、、』

【分析】令-2)x+5-加，根据二次方程根的分布可得式子，-^―>2,计算

/(2)>0

即可.

【详解】令/@)=/+(加-2)x+5-加

>0[m>4<-4

=>1m<-2

>0\m>-5

则一5<小<一4,即加£(-5,-4)

故选：C

6.设。为实数，若方程--2°无+°=0在区间(TJ)上有两个不相等的实数解，则。的取值

范围是().

A.(-co,0)u(l,+co)B.(-1,0)

C.D.

【答案】C

【分析】根据方程根的分布结合二次函数的图象列出不等式组求解即可.

【详解】令洋x)=x2-2ax+a,

由方程一-2ax+a=0在区间(-1,1)上有两个不相等的实数解可得

a<0a>\

A—4矿—4a>0

—1<〃<1—1<Q<1

—1<a<1

，，、c,即1或《1,

g(T)>0a>——a>——

g(i)>oa<\a<1

解得<a<0,

故选：C

7.已知函数/(x)=2f+bx+c(b,c为实数)，/(-IO)=/(12).若方程/(x)=0有两个正

11

实数根4，则丁+£的最小值是()

A.4B.2C.1D.y

【答案】B

【分析】由/■(-10)=/(12)求得6=T,再由方程/(x)=0有两个正实数根不，％,利用

根的分布得到0<cV2,然后利用韦达定理求解.

【详解】因为函数〃尤)=2/+&+。(b,c为实数),/(-10)=〃12),

所以200-106+c=288+126+c,

解得6=-4,

所以/(x)=2f—4x+c,

因为方程/(%)=0有两个正实数根不，巧，

、[A=16-8c>0

所以仇0)=c>0，

解得0<cV2,

X+J_=演+_2_2__+>2

所以士x2XjX2£c>

--2

当c=2时，等号成立，所以其最小值是2,

故选：B

二、填空题

8.已知关于x的不等式“”x+c>0的解集是卜8,-|[[(2,+⑹，则关于x的不等式

ax2++c<0的解集为.

【答案】[-2,1)

【分析】根据不等式的解集，利用韦达定理可求出A。的关系，再代入新的不等式可求得

答案.

3

【详解】因为不等式ax2-bx+c>0的解集是/u（2,+”）,

3

所以-万和2为方程Q%2一反+°=0的两个根，且。〉0,

2+211

所以":，解得2“，

£=-2x2C7

、a2

所以不等式"2+bx+c<0转化为"2+1QX—3Q<0,

2

13

RP%2+—x-3<0,解得一2<%<一,

22

所以不等式ax2+bx+c<Q的解集为1-2。.

故答案为：

9.已知关于x的不等式分2+2法+8>0的解集为（-sMug+s］，其中机<0,贝吟+：的

最小值是.

【答案】3

【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合基本不等式、对钩函数的单调性进行求解

即可.

［详解】因为关于x的不等式加+2瓜+8>0的解集为S"）口］，+［，

4

所以相，一是方程以2+2旅+8=0的两个不相等的实根，

m

士4842bc4

因EU此有m——=——=----a=2,m-\——=-b,

mamam

因为冽<0,所以b=-加+/-2-^—=4，当且仅当-加=/-时取等号，

-m\-m

即冽=-2时取等号，

=»设/。）=3（"》（64）,

ab2b2b2b

因为函数/。）=gb+》在（2次,+oo）上单调递增，

所以当624时，函数/3）=犯+》单调递增，所以"4=/（4）=3,

故答案为：3

10.（上海市宝山区2023届高三二模数学试题）已知函数〃到=14-；（0>0且"1）,

若关于X的不等式/(ax2+6x+c)>0的解集为(1,2),其中此(-6,1),则实数。的取值范围

是.

【答案】(1,2)

【分析】根据题意结合指数函数性质判断出。>1,a/+6x+c<0,且"?+6无+c<0的解集

为(1,2),根据一元二次不等式和相应方程的关系可得6=-3%结合b的范围，即可求得答

案.

【详解】由题意知若/(力>0,即£一；>°，

・•・0<优<1,

・••当Ovavl时，x>0；当时，x<0,

■:/(ax2+Z?x+c)>0的解集为(1,2),

a>1,ax2+bx+c<0f且加+bx+c<Q的解集为(1,2),

x=l与x=2是°尤?+b尤+c=()的两根，

\a+b+c-0

故"M…：.b=-3a,

[4a+2b+c=0

又be(—6,1),二—6<—3a<1,

又a>l,1<a<2,

故答案为:(1,2)

11.(福建省大田县第一中学2022届高三上学期期中考试数学试题)若关于x的不等式

-x2+(a+2)x-2“>0恰有1个正整数解，贝IJ。的取值范围是.

【答案】(-s,l)U(3,4]

【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对。进行分类讨论，使得恰有1个正整数解,

最后求出。的取值范围

【详解】不等式+(a+2)x-2a>0等价于x?-(a+2)x+2a<0.令d-(“+2)x+2“=0,

解得x=2或x=a.

当a>2时，不等式x2-(a+2)x+2«<0的解集为(2,a),要想恰有1个正整数解,贝!)3<a・4；

当。=2时，不等式/一(°+2)X+2.<0无解，所以”=2不符合题意；

当a<2时，不等式/-(°+2)》+2"0的解集为(见2),则a<1.

综上，。的取值范围是(F,1)U(3,4].

故答案为：(-叫1)U(3,4]

12.方程/一(2-a)x+5-。=0的两根都大于2,则实数。的取值范围是

【答案】-5<a<-4

【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.

【详解】解：由题意，方程(2­a)尤+5—。=0的两根都大于2,

令f(x)=x2—(2—(z)x+5—a,

△>0[a2>16

可得〃2)>0,gpa+5>0,解得一5<aW—4.

2—a2—a>4

-----〉2i

,2

故答案为：-5<a<—4.

13.方程/一2公+4=0的两根均大于1,则实数〃的取值范围是

【答案】⑵》

【分析】根据Jx+4的图像可得两个根都大于1时关于a的不等式组，解出。的范围

即可.

【详解】解：'2—2ax+4=0的两个根都大于1

a>1

<5—2。>0,解得24。<—

,2

A=4a2-16>0

可求得实数。的取值范围为[2弓)

故答案为：⑵》

题型四分式不等式与绝对值不等式的解法

畲策略方法绝对值不等式和分式不等式解法

1.分式不等式化为二次或高次不等式处理.

2.根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理.

【典例1】不等式幺―41的解集为()

x-2

A.[-3,2]B.(-«,-3]C.[-3,2)D.(一s,-3]U(2,+%)

【答案】C

【分析】将不等式移项通分得到中Y-L340,再转化为二次不等式即可得答案.

x-2

[详解]V±±1£_1<0^±±2<0,BP(x+3)(x-2)<0(x-2^0),解得：-3<x<2,

x-2x-2

二不等式的解集为［-3,2）,

故选：C.

【典例2】不等式的解集为（）

B.|x<0或x>:

A.R

C.卜x>：

D.<x|O<x<—

【答案】D

【分析】根据解绝对值不等式的公式，即可求解.

【详解】因为|3无一1|<1,贝！解得：0<x<1,

所以不等式的解集为：1x|O<x<|j.

故答案为：jx|O<x<|j

【题型训练】

一、单选题

1.（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知集合

M={y\y>l},N=则WcN=(

A.[1,2]B.[2,+oo)C.[1,2)D.[1,+℃)

【答案】A

【分析】先化简集合N,再用集合的交集运算性质进行计算即可.

【详解】由题意得,M={y\y>l},N={x|0<x<2},

所以MnN=n,2].

故选：A

2.（新疆维吾尔自治区部分学校2023届高三二模数学（理）试题）集合N=八|三>l,xeZ

8={x|x为1〜10以内的质数},记则（）

A.leMB.2主MC.3gMD.4gM

【答案】D

【分析】先解不等式得/={-1,01,2,3,4,5},再按照交集的定义运算即可.

Q

【详解】由；>1，解得—2<x<6,XxeZ,所以4={—1,0,123,4,5},

x+2

而8={2,3,5,7},则/n8={2,3,5},即M={2,3,5},

对比选项可知，D正确，而A、B、C错误.

故选：D.

3.(黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第二次模拟考试数学试题)已知集合

,则

A.(1,2]B.(1,2)C.[-1,5]D.[-1,5)

【答案】D

【分析】求出集合A、B,利用并集的定义可求得集合NuB.

【详解】因为/={工卜_3k2}={%卜2<工-3<2}=x<5j,

由可得^1一1=1^2112(^1=£1140,解得一1«》<2,贝!|2=卜卜1«》<2},

x-2x—2JC-2x-2i

因此，NU8=[-1,5).

故选：D.

4.(浙江省宁波市2023届高三下学期4月模拟(二模)数学试题)若集合/=,卜-1|<3},

S={x12X<8},则/口3=()

A.(-2,4)B.(-2,3)C.(0,4)D.(0,3)

【答案】B

【分析】首先解绝对值不等式求出集合A、再解指数不等式求出集合8,最后根据交集的

定义计算可得.

【详解】由卜一1|<3可得一3<工一1<3,解得一2<%<4,所以/=卜卜一1|<3}={刈-2<》<4},

由2，<8,可得2y23,所以x<3,即8={x|2，<8}={x|x<3},

所以/口8=(-2,3).

故选：B

5.(内蒙古赤峰市赤峰二中等校2023届高三下学期二轮复习联考(一：)理科数学试题)已

知集合/=卜卜+1归2},5={X|X2+2X-8<0},则4nB=()

x-4<x<2|x|l<x<2j

x|-4<x<-3^1<x<2}n-4<x<-3或1<x<2}

【答案】C

【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再求集合交集即可.

【详解】解：解,+1|»2得xV-3或x21,故/={04-3或xNl},

解不等式一+2》-8<0得-4<》<2,故8={H-4<X<2]

所以Nn8={x|-4<xW-3或IV尤<2}.

故选：C

6.设a,6是实数，集合/={x||x-a|<l,xe7?|,8={x||x-6]>3,尤eA},且/=B,则|a-b|

的取值范围为（）

A.[0,2]