安徽省多校联考2024-2025学年高二年级上册开学考试数学试卷（含答案及解析）

高二数学试题

考生注意：

1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知集合&=3一1<4},5=（2,5）,贝把/）CA=（）

A.（-1,2]B.（-1,2）

C.（-oo,4）o[5,+<»）D.（-oo,-l）U[5,+oo）

2.某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95,45,62,78,53,83,74,

88,则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（）

A.53B.74C.78D.83

3.已知机,“cR,则“而>五”是〃*〉）的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知命题?：叫e（l,+e）,%（%0-1）一。（％0—1）+3<0为假命题，则实数。的取值范围为（）

A.2-\/3JB.+

C.[2君,+句D.12用1,+“）

5.已知平面向量由B满足同=2利=1,且很在。上的投影向量为-；之，则。与彼的夹角为（）

7i2n-3兀5兀

A.-B.—C.—D.—

3346

6.如图，在正三棱柱ABC-中，M,N分别为棱。”的中点，AD=DE=2,则异面直线A/C,EN

所成角的余弦值为（）

第1页/共4页

AC

D

9

A.V5D.——

101010

loga(<7-2x),x<l,

7.已知/(%)=<1,1,是R上的减函数，则实数。的取值范围为(

—X2H---CIX+1-----62,X>1

33

A.r1B.(2,6]C.[3,6]D.(2,3]

8.^^口a=log45,6=log56,c=log67,则(

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

已知复数z=2±l,则()

9.

1-i

z的虚部为▲B.z=」

A.

222

JD.z-』为纯虚数

C.

1122

10.已知函数/(x)=Ac：osoxcos。-Asin^xsin^lA>0,0>0,忸[<]当％二A■时，/(x)取得最大

值2,且/(x)与直线x=看最近的一个零点为x=g,则下列结论中正确的是()

JLNJ

A./(x)的最小正周期为兀

B./(X)的单调递增区间为kn-^,kn+^,ksZ

C./(x)的图象可由函数＞=2cos2x的图象向右平移e个单位长度得到

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D.若/(x+8)为奇函数，则。=E+g,左eZ

11.已知定义域为R的函数/(x+1)为奇函数，/(x)的图象关于直线x=2对称，贝U()

A./(x)的图象关于点(1,0)中心对称B.〃力为奇函数

C.“X)是周期为4的函数D./(2025)=0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知向量a,B满足，a=(x,-l),B=(2x+l,3),且％/区，则,卜.

13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小

吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的

概率为__________

14.已知一个圆台的侧面积为35后兀，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7,

则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对

所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图(各区间分别为

[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]).

(1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；(每组数据用所在区间的中点值作代表)

(2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[45,55)和[85,95]内的学生中抽取5人，再从这5

人中随机抽取2人，求这2人成绩都在[85,95]内的概率.

16.已知△ABC的内角A,5c的对边分别为a,0,c，向访=(sinA,。),元=(a+6,sinB),m-n=csinC.

(1)求C；

(2)若c=2百，求△ABC的面积的最大值

第3页/共4页

17^/23兀5兀

17.已知sin---,—<x<—

26--44

(1)求sinx+cosx的值;

(2)已知cosy=—当^,兀＜y＜2兀，求x+丁的值

18.如图，在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面ABCD1平面SAB,SAIAB,E,F,G,H,

分别为棱SC,S3,D4,A3的中点，SA=AB=2.

(1)证明：平面班。〃平面EGH；

(2)求二面角5-SC—。的大小.

/、a-f(x)

19.已知“X)是指数函数，且过点，g(x)=。，/\一^是定义域为R的奇函数

3〃X)+匕

(1)求a1的值；

(2)若存在ce[—1,2],使不等式g(02—2c—根)+，＜0成立，求实数机的取值范围;

(3)若函数A(x)=g(4'+l)+g«x2x+2)恰有2个零点，求实数/的取值范围.

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高二数学试题

考生注意：

1、答题前、考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,已知集合1*1<4},5=(2,5),贝/网CA=()

A.(-1,2]B.(-1,2)

C.[5,+oo)D.(-oo,-l)U[5,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】先求出Q3,再求交集.

【详解】B=(2,5)，则CRB=(-00,2]U[5,+00).则(k8)nA=(-1,2].

故选：A.

2.某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95,45,62,78,53,83,74,

88,则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为()

A.53B.74C.78D.83

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：45,53,62,74,78,83,88,95,

由8x60%=4.8,所以数据的第60百分位数为78.

故选：C.

3.已知加，〃eR,则“而>«”是焉〉)的()

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A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】运用充分，必要条件知识，结合幕函数单调性可解.

111

【详解】标〉新,则加〉〃20,且"=♦在。+8)单调递增•故,用

反过来，如果也;>“;，则加〉〃，可以为负数•推不出而>血.

故“厢》品“是小的充分不必要条件.

故选：A.

4.已知命题?：叫e(l,+e),%(5T)+3<0为假命题，则实数。的取值范围为()

A.^―℃,2-\/3JB.~o,2V^+l]

C.[2g,+句D.[2g+l,+e)

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，转化为不等式》(工一1)一。(％-1)+320在^6(1,+8)上恒成立，进而转化为不等式

aW—D+3在(1,+8)上恒成立,结合基本不等式，即可求解.

x-1

【详解】由命题p：三%0£(1,+。)，%0(%0—1)—〃(％0—1)+3<。为假命题，

可得命题->p:VxE(1,+8),%(%-1)-1)+32。为真命题，

即不等式+0在久e(1,+8)上恒成立，

口口x(x—1)+3%之—x+3-「l11、、•

即aV---------=---------在％6(1,+8)上怛成乂，

X—1X—1

令才=x—1>0,则无=%+1,

—r4曰％?-%+3产+/+33I3^/T

可付---------=--------~t----卜]N2]/x—F1=2yl3+],

x-1tt\t

3

当且仅当7=7时，即/=G时，即X=G+1时，等号成立，

第2页/共15页

所以aV2g+1，即实数。的取值范围为卜叫273+1].

故选：B.

5.已知平面向量由B满足同=2，W=1,且B在/上的投影向量为-卜，则/与B的夹角为（）

712兀3兀571

A.-B.—C.—D.—

3346

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出=3=-1，再由夹角公式求解.

【详解】因为同=2,W=1,B在。上的投影向量为-

a-baa-b-1一

所以『TTi

所以〃=-i，

由0式〃力”兀，可知

故选：B

6.如图，在正三棱柱A5C-。跖中，M,N分别为棱。尸,的中点，AD=。石=2,则异面直线MCEN

所成角的余弦值为（）

V19

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，运用中位线性质，找出异面直线"CEN所成角，结合余弦定理求解即可.

第3页/共15页

【详解】如图，取DE中点G,连接GM,GN.则

2

且CNHEF,CN=LEF,则四边形CNGM为平行四边形，则CM〃GN,CM=GN.

2

由图则异面直线MC,EN所成角为NENG或其补角，

△ENG中，GE=1,GN=CM=yjMF2+FC-=75>EN=yjBE-+BN2=75-

EN〜GN2-GE?99

由余弦定理可知cosZENG=-

2ENxGN2^510

9

异面直线MC,EN所成角的余弦值为一.

logfl(a-2%),x<l,

7.已知〃x)=211是R上的减函数，则实数。的取值范围为()

—XH—CIX+1％>1

133

A.gjB.(2,6]C.[3,6]D.(2,3]

【答案】C

【解析】

【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.列不等式求解即可.

a>\

a>2

1

【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.可得<3、i，解

2

loga("2"—l+；a+l—；a

W3<a<6.

故选：C.

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8.E^a=log45,b=log56,c=k>g67,则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】由于都为正数，可用作除法，结合基本不等式和对数性质比较大小.

【详解】气胃=皿6-皿4<(—%)2=(臂勺2((三)2=1,即6<以

alog45222

合国二log67.1og65<（弋逊）2=（瞥当<（胃）2=1,即c<A.

blog56222

综上知道〃>b>c.

故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.已知复数z=»l,则()

1—i

113.

A.z的虚部为一B.z=-----i

222

c.|z|=MOD.z—工为纯虚数

1122

【答案】CD

【解析】

【分析】先将z=g型化简成z==+gi,再分别比对解出答案即可.

1—i22

K2+i母(2+i).苗(l+i)=1门3.所以z的虚部为53,故选项A错误;

【详解】对于A,因为z=

2+i_（2+i）.（l+i）_l3

对于B,因为z=----------------------------1---1故选项B错误;

1-i（l-i）-（l+i）22

对于C,|z|=Jg]+||]=平，故选项C正确;

13

对于D,z—-=—i为纯虚数，故选项D正确.

22

故选：CD.

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10.已知函数/(x)=Acosoxcos。—Asinoxsine〔A〉0,。〉0,附<■!；当x=/时，/(x)取得最大

值2,且/(x)与直线x=看最近的一个零点为x=g,则下列结论中正确的是()

1X，

A./(x)的最小正周期为兀

/(X)的单调递增区间为kn-^,kn+^,keZ

C./(x)的图象可由函数y=2cos2x的图象向右平移立个单位长度得到

D.若/(%+夕)为奇函数，则。=碗十三,左eZ

【答案】AC

【解析】

【分析】先化简/(x)=Acos(0x+。)，当》=《■时，〃x)取得最大值2,求出A=2.

f(x)与直线x=E最近的一个零点为x=g,求出7=兀，继而求出。=2.

123

则可求/(%)=2cos(2%+。).然后算出最小正周期，单调增区间，对称中心，结合图象变换，逐项验证即可.

【详解】根据题意，化简/(%)=Acos公rcos。—AsinG%sine=ACOS(O1+9),

当工='时，〃x)取得最大值2,则A=2.

〃x)与直线x=立最近的一个零点为x=g则:JW，则丁=兀，则0=2.

则1(x)=2cos(2x+9).当x=V时,“X)取得最大值,则2X£+°=2E,闸<<,

12122

TV7T

则0=—，则/(X)=2COS(2X——),则7=兀，/(%)的最小正周期为兀，A正确；

66

ITTT

令24兀-TI<2X<2kMkeZ),则ku----<x<kn-\----(keZ),则f(%)的单调递增区间为

61212

Sir71

陕兀一五,E+五］(左eZ),故B错误；

JITTJT

y=2cos2x的图象向右平移一个单位长度得到y=2cos2(x--)=2cos(2x—-)，故C正确；

第6页/共15页

+=2cos2（%+。）一g=2cos12%+2。一^）,由于/（x+8）为奇函数,

7TTT17r

则令2。一一=左兀+—（左eZ）,则。=—E+—,左eZ.故D错误.

6223

故选：AC.

II.已知定义域为R的函数/(x+1)为奇函数，/(%)的图象关于直线x=2对称，贝i|()

A./(x)的图象关于点(1,0)中心对称B.为奇函数

C.“X)是周期为4的函数D./(2025)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解.

【详解】〃》+1)为奇函数，得到/(x+l)=-F(r+l),向右平移1个单位得到〃x),则〃x)的图

象关于点(1,0)中心对称,则A正确.

则f(x)+f(-x+2)=0,/(x)的图象关于直线x=2对称，

则/(%)=以-x+4),则"力=-f(-x+2)=/(-%+4)=-f(-x+6),

则/(-%+2)=/(-%+6),贝IJ/(%)是周期为4的函数.贝UC正确.

令x=l,则由/1(%)+/(-九+2)=0,知2/(1)=0,则/■⑴=0.

7(2025)=/(2025-4x506)=/(I)=0.故D正确.

前面式子推不出〃x)+F(f)=0,故B错误.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知向量a,B满足，a=(x,-l),B=(2x+l,3),且贝”d=.

【答案】叵.

5

【解析】

1-1

【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得x=-二，得到a=(-二,-1),结合向量模的

计算公式，即可求解.

第7页/共15页

【详解】由向量力石满足力=（%—1）3=（2x+l,3）,

一一1一1

因为〃//B，可得1x3=—lx（2%+1）,解得％=—不，即。=（—二,—1）,

所以同=

故答案为：叵

5

13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小

吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的

概率为__________

14

【答案】—##0.56

25

【解析】

【分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可.

【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会.

213414

则小耿与小吴恰有1人会答的概率为-X—+—X—=—.

555525

故答案为：—.

14.已知一个圆台的侧面积为35后兀，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7,

则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为.

500

【答案】---兀

3

【解析】

【分析】设圆台的上底面半径为『，下底面半径为R,高为〃，母线长为/.构造方程组，先求圆台的上底面

半径、下底面半径和高，再求圆台外接球的半径，进而求出体积即可.

【详解】设圆台的上底面半径为r,下底面半径为此高为防,母线长为/.因为母线与下底面所成角的正切

h

值为7,所以——=7.

R-r

又因为R-r=l.则〃=7,/=亚+（尺_*2=5直

第8页/共15页

圆台的侧面积公式为5=兀/（尺+厂），已知侧面积为35缶，所以兀/（尺+「）=35瓶兀.

则R+厂=7.又因为R-厂=1,则R=4,r=3.

设圆台外接球的半径为与，球心到上底面的距离为d.

则R：=/+r=屋+32,R；=（〃一］）2+R2=（7—d）2+42,

解得H］=5,d=4.

44500

根据公式丫=］冰；，求出外接球的体积公式为v=§兀X53=亍兀.

故答案为：---兀.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对

所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为

［45,55）,［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95］）.

（1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）

（2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在［45,55）和［85,95］内的学生中抽取5人，再从这5

人中随机抽取2人，求这2人成绩都在［85,95］内的概率.

【答案】（1）71.5

⑵—

10

【解析】

【分析】（1）运用频率之和为1,求出加再用平均值计算公式算出平均值即可；（2）先按照分层抽样确定

［45,55）和［85,95］内的学生人生，再结合列举法，用古典概型求解概率即可.

【小问1详解】

第9页/共15页

频率之和为1,则(0.01+0.02+根+0.025+0.015)x10=1,解得m=0.03.

则50x0.1+60x0.2+70x0.3+80x0.25+90x0.15=71.5，则平均分成绩为71.5.

【小问2详解】

根据分层抽样，知道［45,55)和［85,95］内的学生比为2：3.

则抽取的5人中有2个来自［45,55)层，设为。,氏3个来自［85,95］层，设为1,2,3.

再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为：

(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(瓦1),(瓦2),(瓦3),(1,2),(1,3),(2,3).

这2人成绩都在［85,95］内的有(1,2),(1,3),(2,3)，共3种.故所求概率为—.

16.已知△ABC的内角A,3,C的对边分别为a,。,c,向比=(sinA,。),元=(a+b,siaB),m-n=csinC.

(1)求C；

(2)若c=2百，求△ABC的面积的最大值

【答案】(1)—

3

(2)V3

【解析】

【分析】(1)运用向量的数量积公式，再用正弦定理边角互化，最后用余弦定理计算即可；

(2)用第一问的结论，结合基本不等式可解.

【小问1详解】

m-n=csinC.即(〃+b)sinA+/?sinB=csinC,

由正弦定理角化边得(a+6)a+〃=。2,即/=02,

则cosC=矿+"一。一=一!，由于Ce(0,兀)厕C=女.

lab23

【小问2详解】

a1+ab+b2=c2>c=2^/3»则〃？+/=12，即〃？+/=12—〃Z?,

由不等式知道/+b2=i2—〃(当且仅当。=6=2取最值)，即

由三角形面积公式知道5=工。65：111。=@06<6,(当且仅当a=b=2取最值).

24

第10页/共15页

故△ABC的面积的最大值为V3•

17723兀

17.已知sin

(1)求sinx+cosx的值;

（2）已知cosy=兀<V<2兀，求x+y的值

7

【答案】（1）——

13

、9兀

（2）——

4

【解析】

【分析】（1）运用两角差的正弦展开^=5m%-（：05%,平方，得到-幽=sinx-cosx,联立求出，再求

13169

和即可.

（2）运用同角三角函数关系式，求出siny=-3/，再运用两角和的余弦公式求出cos（x+y）=*，进

9兀

而得到％+丁=彳.

【小问1详解】

sinfx--K^^,—<%<—,运用差角公式展开，得

（4J2644

.（兀）1772V2,V2

sinx——=-------=——smx------cosx,

（4J2622

17

化简得，一=sinx-cosx，

13

28960

两边平方，即----=l-2sinx-cosx,则-----=sinx-cosx,

由于一<x<一,贝！|cosx<0,sinx>0.

44

第n页/共15页

60..5

------=sinx-cosxsmx=——

nI3兀16913

则一<%<兀.<J，联立解得<

412

——=sinx-cosxcosX=-----

U313

7

则sin%+cos%=-----.

13

【小问2详解】

772nr3兀,1772

cosy=-------，兀<y<2兀，则兀<y<?，smy=---------

26226

c°s(x+y)=c°sxc°sy-sin-2(-9)-9x(-应1)=也.

■132613262

由于或＜%＜兀,371i7兀5719兀

7i<y<——，则rl一<x+y<—，r则M%+>=——

42424

18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD工平面SAB,SAIAB,E,F,G,H,

分别为棱SC,S3,D4,A3的中点，SA=AB=2.

(1)证明：平面EBDH平面FGH；

(2)求二面角3—SC—。的大小.

【答案】(1)证明见解析

⑵女

3

【解析】

【分析】(1)由中位线可得线线平行，再由线面平行判定定理得线面平行，由面面平行判定定理得证;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的大小即可.

【小问1详解】

连接ER,如图，

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由E,F,G,H分别为棱SC,SB,DA,AB的中点，

可得EF//BC,EF=-BC,GH//BD,

2

又GD//BC,GD=-BC,所以GD//EF,GD=EF,

2

所以四边形EFGD为平行四边形，

所以GF//DE,又G/cz平面DEu平面EBD,

所以GP〃平面EBD,

因为GH〃BD,6〃<2平面防£）,BDu平面EBD,

所以GH〃平面EBD,又GHcGF=G,GH,GFu平面FGH,

所以平面EBDH平面FGH.

【小问2详解】

因为平面ABC。1平面SA5,SALAB,A3是两平面的交线，SAu平面SA3,

所以SA,平面A5CD,又AB,ADu平面A3CD,

所以SALA5,SALAD,又A£），£>C,

以殖，反方向为羽丁轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则SA//Dz,

所以。（0,0,0）,5（2,0,2）,C（0,2,0）,8（2,2,0）,

则诟=（2,-2,2）,皮=（0,2,0）,配=（—2,0,0）,

设平面DSC的法向量为=（%,％,zj,

iiCS=2x-2y.+2z.=0/、

则_111，令玉=1,可得为=1,0,—1,

n-DC=2yi=0

设平面BSC的法向量为玩=（%2，%*2），

则<—■，令%=1，可得行=（0,1,1）,

m-BC=-2x2=0

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---n-m-112兀

所以35=丽=万双一，即冗心行

由图知，二面角5—SC—。的平面角为钝角,

2兀

所以二面角3—SC—D的大小为二

3

(、a-f(x)

19.已知/(x)是指数函数，且过点，g(%)=勺,/、—­是定义域为R的奇函数

3/(x)+Z?

(1)求a,Z?的值;

若存在ce[—1,2],使不等式g(02—2c—根)+[<()成立，求实数机的取值范围;

(2)