2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：导数的概念及运算（含新定义解答题）（学生版+解析）

第01讲导数的概念及运算（分层精练）

A夯实基础B能力提升C新定义题

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高二下•江苏•阶段练习）若某质点的运动方程是5（。=，-⑶-1）2（单位：m）,则

在，=1S时的瞬时速度为（）

A.-3m/sB.-llm/s

C.-5m/sD.-10m/s

2.（23-24高二下•重庆黔江,阶段练习）设函数/（x）在x=%处存在导数为2,则

iimf（xo+Ax）-f（xo）=（）

—。3Ax

A.1B.2C.—D.3

3.（23-24高二下•重庆•阶段练习）下列函数求导正确的是（）

A.（cosx）'=sinxB.（ln2）=；C.优）=x3D.（2"）=21n2

4.（23-24高二上・山西・期末）若函数〃x）=lnx—2x+l,则（［卜（）

c135

A.0B.-C.-D.一

222

5.（2024高二下•全国•专题练习）函数Ax）的导函数广（x），满足关系式

/（x）=x2+2^（2）-lnx,则（2）的值为（）

7711

A.----B.-C.----D.—

2222

6.（23-24高二下•湖南岳阳•开学考试）设函数/（%）=•"的图象与x轴相交于点F,则该曲

线在点P处的切线方程为（）

A.kexB.丁=%

C.j=ex+lD.y=x+\

7.（21-22高二下•北京房山•期中）函数y=/（x）的图象如图所示，则/⑴与/'⑶的大小

关系是（）

。Q。.a

o

三、填空题

11.（23-24高三下•天津•开学考试）函数无）=1冕2犬+2”-放的图象在x=l处切线的斜率

为.

12.（23-24高三下•广西南宁•开学考试）已知〃x）=tanx,则曲线y=在点（0,0）处的

切线方程为一

四、解答题

13.（23-24高二下•江苏•阶段练习）已知曲线〃力=丁+1,设P点坐标为P（L2）,

（1）求曲线在点P处的切线方程;

⑵求曲线过点P的切线方程.

⑶若曲线在点R处的切线与曲线y=-1+1相切，求R点的坐标

14.（23-24高二上•湖南岳阳•期末）已知点尸和点Q是曲线y=/-2x-3上的两点，且点尸的

横坐标是2,点。的纵坐标是T,求:

（1）割线PQ的斜率；

⑵在点尸处的切线方程.

15.(23-24高二上•安徽芜湖•期末)已知函数/(%)=尤？+x与函数g(无)=ln尤+2x.

(1)求曲线V=/(尤)在点(0,0)处的切线方程；

(2)求曲线y=〃尤)与曲线y=g(元)在公共点处的公切线方程.

B能力提升

1.(2024•河北•一模)函数y=〃x)的导数y=/'(x)仍是X的函数，通常把导函数y=/'(x)

的导数叫做函数的二阶导数，记作y=/"(x),类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三

阶导数的导数叫做四阶导数.......一般地，n-l阶导数的导数叫做〃阶导数，函数y=的

〃阶导数记为y=/M(x),例如y=e£的〃阶导数(e»")=e1若/(x)=xe*+cos2x,贝U

严(0)=()

A.50-250B.50C.49D.49+249

2.(23-24高三下•安徽•阶段练习)已知函数"x)=lnx—-在点(L-1)处的切线与曲线

>=依2+伍-1卜-2只有一个公共点，则实数a的取值范围为()

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0-1-9)

3.(23-24高三上•山东聊城•期末)最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选

出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际

生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲

线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点/是曲线>元2-21nx

上任意一点，则“到直线元-2=0的距离的最小值为()

A50R5夜「30口3近

2442

4.(2024•广东•一模)设点P在曲线y=e，上，点Q在直线y=L上，则|尸0的最小值为()

e

e3

uV77TD.

5.(23-24高三上•河北•阶段练习)已知a>0,b>0,若直线彳-'-“=0与曲线

41

y=l+ln(x+b-1)相切，则—+：的最小值为()

ab

A.7B.8C.9D.10

c新定义题

L(2024•浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一一洛必达法则，法则

中有结论：若函数〃力，g(尤)的导函数分别为尸(力，g'(x),且理了(戏=理g(x)=0,则

limZW=lim/W.

g(无)…g(x)

②设。＞0,左是大于1的正整数，若函数“力满足：对任意xe［0，。］,均有1成

立，且吧K(x)=。，则称函数/(x)为区间［0,可上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)试判断〃%)=丁-3x是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

(2)计算：lim(l+x)x;

x-＞0

⑶证明：Q^］＜cosx,xe(7i,|■兀］

第01讲导数的概念及运算（分层精练）

A夯实基础B能力提升C新定义题

A夯实基础

一、单选题

L（23-24高二下•江苏•阶段练习）若某质点的运动方程是S⑺="（3”1）2（单位：m）,则

在y1S时的瞬时速度为（）

A.—3m/sB.—llm/s

C.-5m/sD.-10m/s

【答案】B

【分析】

利用物理上"质点在yIs时的瞬时速度即质点的位移S⑺="（3-1）2的导函数在r=ls时的

函数值"即可求得.

【详解】由s⑺="例-1）2求导得S'⑺=l-2x3（3"l）=-18f+7,则在t=ls时的瞬时速度

为S'（l）=—18x1+7=—llm/s.

故选：B.

2.（23-24高二下•重庆黔江•阶段练习）设函数在x=x°处存在导数为2,则

/U+M-/U）.（）

11111—\/

…。3Ax

A.1B.2C.1D.3

3

【答案】C

【分析】

利用导数的定义即可得解.

【详解】由依题意，知尸（龙。）=2,

“七+'）-〃玉）=1/（X）=2

则lim"/+'）一〃兀）=-lim

3Ax3Ax->0Ax

故选：c.

3.（23-24高二下•重庆•阶段练习）下列函数求导正确的是（）

A.（cosx）'=sinxB.（ln2）=；C.（x，）=x3D.（2，）=2XIn2

【答案】D

【分析】

根据基本初等函数的导数公式判断即可.

【详解】对于A：（cos^x）'=-sinx,故A错误；

对于B：（in2）=0,故B错误;

对于C：（力'=4-，故C错误;

对于D：（2*j=21n2,故D正确.

故选：D

4.（23-24高二上•山西•期末）若函数〃x）=lnx—2x+l,则（[[]=（）

13

A.0B.-C.一D.3

222

【答案】A

【分析】

求导，再令x=g即可得解.

【详解】广⑺,-2,

X

所以「出=2_2=0.

故选：A.

5.（2024高二下•全国•专题练习）函数I。）的导函数（（%）,满足关系式

f（x）=x2+2xf'（2）-]nx,则广（2）的值为（）

.771

A.----B.-C.----

222

【答案】A

【分析】

求导后，代入x=2,求出答案.

【详解】

由"力=V+20•'⑵—Inx进行求导得：/'（%）=2x+2r（2）-

X

17

当x=2时,可得：/(2)=4+2/(2)-5,解得:尸⑵=一：

故选：A.

6.(23-24高二下,湖南岳阳•开学考试)设函数"x)=xe'的图象与x轴相交于点则该曲

线在点P处的切线方程为()

A.B.y=x

C.y=e尤+1D.y=x+\

【答案】B

【分析】

求出点P的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程.

【详解】函数/(x)=xe)由/(丈)=0,得x=0,则点P(0,0),

由/(尤)=xe)求导得r(x)=(x+l)e)则/'(0)=1,于是V=x,

所以该曲线在点P处的切线方程为'=匕

故选：B

7.(21-22高二下•北京房山•期中)函数y=/(尤)的图象如图所示，则尸⑴与尸⑶的大小

B.r⑴=/0

C./，(1)>/，(3)

D.八1)+八3)>0

【答案】A

【分析】

由导数的几何意义和函数的图象可得答案.

【详解】

/⑴与/'(3)分别表示以玲在X=1和X=3处切线的斜率，

由图象得广⑴<0，/⑶<o且了⑺在X=1处切线的斜率比X=3处切线斜率小，

所以尸(1)</(3)；

故选：A

8.(23-24高二上•安徽滁州•期末)已知函数/(x)=(x—2022)(x-2023)(*-2024)。-2025),

则/(x)的图象在x=2024处的切线方程为()

A.2%+y-4048=0B.无+»-2。24=。

C.2元—y—4048=0D.x—y—2024=0

【答案】A

【分析】

求出导函数/■'(©后计算出切线斜率，然后写出切线方程.

【详解】

由题意知f\x)=(%-2022)(%-2023)(%-2025)+(%-2024)[(尤-2022)(》-2023)(x-2025)J,

所以尸(2024)=2x1x(T)=-2,又f(2024)=0,

所以f(玲的图象在x=2024处的切线方程为y—0=-2(x-2024),即2x+y—4048=0.

故选：A.

二、多选题

9.(23-24高二下•湖北•阶段练习)下列命题正确的有()

A.已知函数〃尤)在R上可导，若尸⑴=2,则lim"1+2.)-/⑴=2

-AJC

BfcosxA_xsinx+cosx

VxJx2

c.已知函数〃x)=ln(2x+l),若尸(不)=1,则

Q

D.设函数/(尤)的导函数为尸(X),且y(x)=d+3矿(2)+lnx,贝了⑵=_：

【答案】CD

【分析】

根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的

导数的运算规则可判断C的正误.

【详解】对于A,lim"1+2"卜/⑴=2lim”力3-/⑴=2尸⑴=4,故A错误.

—Ax-2Ax

小-rc（cosx、—xsiwc—1xcosx一•xsinx—cos]「上什、口

对于B,----=-------；------=-----------,故B错误.

（XJXX

1Q2]

对于c,/（%）=---（2x+iy=-^-,若广（与）=1,贝即无。=故c正确.

2x+12x+1，演）十12

11Q

对于D,r（x）=2尤+3广⑵+:故广⑵=4+3广（2）+],故/（2）=-“故D正确.

故选：CD.

10.（2024高二下•全国・专题练习）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，

其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q。.已知房产供应量。与时间f的函

数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[。,周内供应效率（单位时间的供

【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.

【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率

随着自变量的增加会越来越大，

故曲线是上升的，且越来越陡峭，

所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，

所以在时间[0,7]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项.

故选：ACD.

三、填空题

11.（23-24高三下•天津•开学考试）函数〃尤）=1吗犬+2，京的图象在x=l处切线的斜率

为.

【答案】21H211nA

【分析】

首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意可知，r（无）=1+2,2-工，r（l）=21n2,

根据导数的几何意义可知，函数的图象在x=l处切线的斜率为21n2.

故答案为：21n2

12.（23-24高三下•广西南宁•开学考试）已知C（x）=tanx,则曲线y=〃x）在点（0,0）处的

切线方程为.

【答案】x-y=0

【分析】根据导数的运算性质，结合导数的几何意义进行求解即可.

.2•2

▼、士相刀、\，sinx，，/、cosx+sinx1，，小1

【详斛】f（x）=tanx=----nf（x）=-------------=——=/（°）=1»

cosxcosxcosx

所以曲线y=〃x）在点（0,0）处的切线方程为y-0=「（x-0）nx-y=0,

故答案为：x-y=0

四、解答题

13.（23-24高二下•江苏•阶段练习）已知曲线〃同=*3+1,设尸点坐标为P（l,2）,

（1）求曲线在点P处的切线方程；

（2）求曲线过点尸的切线方程.

⑶若曲线在点R处的切线与曲线y=-V+i相切，求R点的坐标

【答案】⑴y=3x-l

(2)—或y=；3x+；5

8217)

⑶R(0,l)或R

9，；729/

【分析】

（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；

（2）设切点为（为,另+1）,利用导数的几何意义求出切线方程，再将点尸（L2）代入切线方

程中，求出与,即可求出切线方程;

（3）设R（4%）,表示出曲线在点R处的切线，联立直线与＞根据A=0求出

即可求出R点的坐标.

【详解】（1）由〃x）=V+l,可得广（x）=3d,

所以尸（1）=3,

则曲线在点P（L2）处的切线方程为y-2=3（x-1）,即y=3x-l；

（2）设切点为（毛,片+1）,则7•'（%）=3片，

所以切线方程为y-（W+l）=3x：（x-Xo）,即y=3x；x-2元;+1,

又切线过点尸（1,2）,所以2=3焉一2第+1,即2*一3年+1=0,

即2Xg~2Xg+1—Xg=0,即2%QXQ-+XQ^I+XQ^^O,

即（与-1）（2君-1-%）=0,即（々-1,（2々+1）=0,解得％=1或X。=-；,

35

则切线方程为＞=3尤-1或y=+

44

所以过点P（l,2）的切线方程为y=3尤-1或y=+：

,

（3）设则％=x；+l,/（x1）=3xf,

所以曲线在点R处的切线为y=3x；x-2x；+1,

又曲线在点R处的切线与曲线＞=-/+1相切，

由卜=3--2无；+1,可得/+3小-2吊=0,

[y=-_r+1

Q

则A=9x：+8x；=0,解得玉=0或不=一“

„…（8丫,217

则n％=1或乂=「3）+「南，

所以R（0,l）或《-|黑|

14.（23-24高二上•湖南岳阳•期末）已知点尸和点。是曲线尸尤2-2彳-3上的两点，且点P的

横坐标是2,点。的纵坐标是T,求：

（1）割线PQ的斜率；

⑵在点P处的切线方程.

【答案】⑴1

(2)2.x-y-7=0

【分析】(1)求出点P、。的坐标，利用斜率公式可求得割线尸。的斜率；

(2)求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】(Q解:当x=2时，y=22-2x2-3=-3,即点尸(2,—3),

令y=/-2x-3=-4,可得了2-2*+1=0，解得x=l,即点。(L-4),

因此，割线尸。的斜率为原2=:1=1.

(2)解：对函数-2尤-3求导得=2尤-2,

所以，曲线厂--2%-3在点尸处切线的斜率为左=2、2-2=2,

所以，曲线y=--2x-3在点P处的切线方程为y+3=2(x-2),即〃-、-7=0.

15.(23-24高二上•安徽芜湖・期末)已知函数/(%)=/+%与函数g(无)=ln尤+2%.

⑴求曲线V=/(x)在点(0,0)处的切线方程；

(2)求曲线y=/(尤)与曲线y=g(尤)在公共点处的公切线方程.

【答案】(i)y=x

(2)3x-y-l=O

【分析】(1)求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；

(2)设曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的公切点为然后根据导数的几何意义可得

切点，进而即得.

【详解】(1)/(x)=x2+x,f'(x)^2x+l,/(0)=l.

;./(x)在(0,0)点处的切线方程为：y=x；

(2)设曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的公切点为P(%,%),

f(x)=x2+x,g(x)=\nx+2x,f'(x)=2尤+1,g'(x)=—+2,

x

令r(为)=8'(%)，BP2x0+l=—+2,

："0=1或尤0=_((舍),

p(i,2),r(i)=3,

团所求公切线方程：y-2=3(x-l),即3x-y-1=0.

B能力提升

1.(2024•河北•一模)函数y=F(x)的导数y=T(x)仍是X的函数，通常把导函数y=/'(x)

的导数叫做函数的二阶导数，记作y=/"(1),类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三

阶导数的导数叫做四阶导数.......一般地，n-1阶导数的导数叫做〃阶导数，函数y=F(x)的

〃阶导数记为y=*(x),例如尸e，的〃阶导数(e')(")=e［若/(x)=xe，+cos2x,则

严(0)=()

A.50-250B.50C.49D.49+249

【答案】A

【分析】

根据条件，列举y=f㈤(力的前几项，根据规律，写出r°)(x),代入x=o,即可求解.

【详解】由r(x)=(x+l)e*-2sin2x,/2(x)=(x+2)er-22cos2x,

f3(x)=(x+3)er+23sin2x,/4(x)=(x+4)e1+24cos2x,

依此类推，/('"(x)=(x+50)eI-250cos2x,

所以/网(o)=(0+50)e。一250cosO=5O-250.

故选：A

2.(23-24高三下•安徽•阶段练习)已知函数〃元)=1皿--在点(1,-1)处的切线与曲线

y=加+5-1)%-2只有一个公共点，则实数。的取值范围为()

A.{1,9}B.{0,1,9}C.{-1,-9}D.{0-1-9)

【答案】B

【分析】求出切线方程，再对。分。=0和。W0讨论即可.

【详解】由-。)=工+二得/⑴=2,

XX

所以切线方程是y=2(x-l)-l=2x-3,

①若。=0,则曲线为旷=-入-2,显然切线与该曲线只有一个公共点，

②若awO,则2%-3=&+（〃-1）工一2,

【详解】令y'=e，=」，得尤=一1,代入曲线丁=6一|=1,

ee

所以的最小值即为点11,，到直线y=m的距离d=-^=.

故选：B.

5.（23-24高三上•河北•阶段练习）已知a>0,b>0,若直线与曲线

41

y=l+ln（x+，-1）相切，则？+：的最小值为（）

ab

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】设出切点坐标（祖，〃），利用导数求得切线方程的斜率，即为直线方程得4+6=1,

再利用基本不等式即可.

【详解】设切点为（私”），由题得了二目三，

1

所以切线的斜率左=,且〃=1+ln(m+/?-1)

m+b—1

]

所以切线方程为丁=(x—m)+l+ln(m+b—1),

m+b—1

1b-1

即y=--------XH--------+ln(m+/?-l),与直线'=%_Q相同,

m+b—1m+b—1

---=1

所以,整理得4+〃=1,

--------\-ln(m+b-t]=-a

ma41(41V7、u4Z?a、o[4b~~a八

所以一+—=一+—5+。)=5+—+->5+2/-x—=9,

ab\ab)ab\ab

2141

当且仅当〃〃==时，；取得最小值9.

33ab

故选：C

C新定义题

1.（2024•浙江,二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具一一洛必达法则，法则

中有结论：若函数〃x）,g（元）的导函数分别为广（力，g'（x）,且理〃x）=^g（x）=°,则

/(x)f\x)

hrm=lim',.

』g(%)』g(X)

②设。＞0,左是大于1的正整数，若函数“X)满足：对任意xe［o,a］,均有［。成

立，且理〃x)=。，则称函数〃尤)为区间［。，句上的上阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

⑴试判断〃x)=d-3x是否为区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；

(2)计算:lim(l+x)x;

x—＞0

⑶证明：＜COSX,■兀］

【答案】(l)〃x)=x3-3x不是区间［0,3］上的2阶无穷递降函数；