专题12.20 角平分线相关的几何模型（精练）（专项练习）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）VIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题12.20角平分线相关的几何模型（精选精练）（专项练习）1．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．2．（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知平分，点E，D分别为垂足，．求证：．3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，，，为垂足，，为垂足，，相交于点，连接，求证：(1)；(2)平分．4．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，平分，为上一点，，，垂足分别为，，连接，与交于点．（1）求证：；（2）若，求的长．5．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）已知：如图，中，为上一点，连接交于点，交于．（1）使用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）（2）求证：．证明：，①_________，平分，，②_________，，，③_________，④_________，又，在和中⑤_________，．6．（2019九年级·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于，于，求证：.7．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求证：BE=AD．8．（20-21七年级下·四川成都·期末）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．9．（20-21八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．10．（22-23七年级下·山西运城·期末）阅读与思考下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，．，．在和中，，（依据1）（依据2），，，．……任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

11．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．

（1）求的度数；（2）求证：．12．（22-23八年级上·广东深圳·阶段练习）已知：平分，点、都是上不同的点，，，垂足分别为、，连接、．求证：(1)．(2)．13．（18-19七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，请按要求用尺规作出下列图形（不写作法，但要保留作图痕迹），并填空．

作出的平分线交于点；作交于点平行依据是_______；的度数为．14．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点，（1）求证平分；（2）分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上．15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，求证：垂直平分．16．（20-21八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：点P为∠AOB的角平分线的任意一点，∠EPF与∠AOB互补，∠EPF的两边与∠AOB的两边交于E、F两点．（1）如图1，当∠EPF绕着点P旋转时，PE和PF的数量关系是_________，请验证你的结论．

（2）如图2，若∠AOB=90°时，∠EPF与∠AOB仍然互补，这时PE与PF还相等吗？并加以证明．

17．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．18．（20-21八年级上·安徽淮南·期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．（1）尺规作图：作的平分线．【模型构造】（2）填空：①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，连接，则．②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．方法二：构距离，造全等过点作，垂足为点，则．【模型应用】（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．①请直接写出______；②试猜想与之间的数量关系，并说明理由．19．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，是的角平分线，为上任意一点，于，于．

（1）垂线段、是否相等？请说明理由；（2）如图，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值；（3）如图，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系．20．（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．

（1）求证：平分；（2）直接写出的度数______；（3）若，，且，求的面积．参考答案：1．【分析】延长CG交AB于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长．【详解】解：延长CG交AB于点E．AG平分，于，，，，∵，为的中点，．故答案为.【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键．2．详见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用角平分线的性质得到，然后证明，从而得到，能根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答是解此题的关键．【详解】∵平分，∴，在和中，，∴，∴．3．(1)详见解析(2)详见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定证明即可；（2）根据角平分线的判定定理证明即可．【详解】（1）证明：，，，在和中，，，；（2）证明：，，，平分．4．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．（1）依据，，可得，，即可根据得到；（2）依据可得，再依据，，可利用证明，即可得到，进而得出．【详解】（1）证明：，，平分，，，在和中，，；（2）解：由（1）知，，又，在和中，，，，，，．5．(1)见详解(2)①③④⑤【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）先利用等腰直角三角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，则，接着根据等角的余角相等得到，于是可判断，从而得到．【详解】（1）解：如图，为所作；（2）求证：．证明：，平分，，，，又，在和中，．故答案为：①③④⑤6．详见解析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．7．见解析.【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解.【详解】证明：延长AC、BE交于F，∵∠1=∠3，BE⊥AE，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴FE=BE，∴BE=BF，∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠1=∠2，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD=BF，∴BE=AD.【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．8．（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点拨】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．9．AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．10．任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；任务二：……，，；应用：延长、交于点，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．(1)(2)见解析【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论；（2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案．【详解】（1）在四边形中，，又∵，∴．∵平分，平分，∴，，∴．在中，．（2）．如图，作的平分线交于．则．

在和中，，．∴．同理，．∴【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．12．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用角平分线的定义和垂直的定义得到，，则可根据证明；（2）先由得到，则可根据全等三角形的性质得到，然后可根据判断，从而得到结论．【详解】（1）解：证明：平分，，，，，在和中，；（2），，在和中，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．13．（1）见解析；（2）内错角相等，两直线平行；（3）84°【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法，即可求解；（2）根据平行线的判定定理，尺规作∠CDE=∠BCD，即可求解；（3）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可求解．【详解】（1）如图所示：射线即为所求；（2）如图所示：直线即为所求；由尺规作图得：∠EDC=∠BCD，∴，故答案是：内错角相等，两直线平行；（3）∵，∴∠ACB=180°-62°-74°=44°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=22°，∴∠BDC=180°=74°-22°=．故答案是：

【点拨】本题主要考查尺规作图，平行线的判定定理以及三角形内角和定理，掌握尺规作角平分线，尺规作一个角等于已知角，是解题的关键．14．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键；（1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论（2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论．【详解】（1），，，在和中，平分；（2）如图：过P作，，，，平分，平分，，，，点P在的平分线上．平分，点P在的平分线上．15．见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用．根据角平分线性质求出，证明，推出，再证明即可．【详解】证明：设的交点为K，∵平分，，，∴，在和中，∴，∴，在和中，∴，∴，∴垂直平分线段．16．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）结论：PE=PF；作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．只要证明△OPG≌△OPH，△PGE≌△PHF，即可解决问题；（2）结论：PE=PF；作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．只要证明△OPG≌△OPH，△PGE≌△PHF，即可解决问题；【详解】解：（1）PE=PF，理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，∵∠AOB=50°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=130°，∵∠EPF=130°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．

（2）PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．∵∠PGO=∠GOH=∠PHO=90°，∴∠HPG=∠EPF=90°，∴∠EPG=∠FPH，∵OC平分∠AOB，PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠POG=∠POH，在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．

【点拨】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故，∴BE：CD=AB：AC；【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；18．（1）见解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由见解析．【分析】（1）直接利用角平分线的作法作图即可；（2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答；②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得BE=EF=EC,即E为BC的中点，进而求得EF的长即可；（3）①利用角平分线的定义和三角形内角和即可解