专题13.1 轴对称（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.1轴对称（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称图形

轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

【知识点二】轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点

【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【知识点四】线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】轴对称图形的识别【例1】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．

（1）判断该图形是否是轴对称图形（填“是”或“否”）；（2）求证：．【答案】(1)是(2)见解析【分析】（1）连接，证明得到，证明，即可得到答案；（2）由（1）得，即可得到答案．解：（1）如图，连接，

在和中，，，，在和中，，，该图形沿直线折叠后能够完全重合，该图形是轴对称图形，故答案为：是；（2）证明：由（1）得，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．故选：B．【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是．【答案】直角梯形【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；所以不是轴对称图形的是直角梯形，故答案为：直角梯形．【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断【例2】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；（2）若，，求的度数．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算．（1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可．（2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题．（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是，故答案为：，．（2）解：，，，．【变式1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．解：A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为．【答案】5【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴S△CEF=S△BEF，∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5，故答案为：5；【点拨】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．【题型3】由轴对称的性质特征求值【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．（1）请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．（2）承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．【答案】(1)时，．证明见解析(2)的长度小于7，理由见解析【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的三边关系，（1）连接、，根据轴对称的性质可得，，然后判断出点P、B、R三点共线时，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．解：（1）如图，时，，证明如下：连接、，∵P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点，∴，，∵，，∴点P、B、R三点共线，∴；（2）的长度小于7，理由如下：当，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴，∵，∴，即的长度小于7．【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键．利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解．解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，，，，，，，∵，∴，故选：D．【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为．【答案】/度【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到，则由平角的定义可得，然后根据轴对称的性质得到，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解．解：∵∴，∴,∵点B关于直线的对称点为，∴，∴．故答案为：.【题型4】利用轴对称的性质求最值【例4】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．

（1）如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．①若，则是什么特殊三角形？为什么？②若，试判断与的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若，A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析(2)的最小值为5．【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系；（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值．解：（1）①是等边三角形，∵点P关于对称的点为G，∴，，同理，，∴，∵，∴，∴是等边三角形．②，当时，，∴G、O、H在同一直线上，．∵，∴；（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，

∴最小值为．∵，，∴．∵，，∴，∴，∴．∵点Q与关于对称，∴，∴，∴是等边三角形，∴，即的最小值为5．【点拨】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）已知，点P是内部任意一点，点M，N分别在上，当的周长取得最小值时，，则与的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理．根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可证，，然后证明，利用四边形内角和可得答案．解：作P关于的对称点C、D，连接CD交于N、M．此时周长有最小值；∵P关于的对称点C、D，∴OB垂直平分垂直平分PD，∴∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，在四边形中，可得：，∴，∴，即，故选：D．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是．

【答案】【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．解：如图，在上截取，连接，，

是的平分线，在与中点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，是动点，也是动点，当与垂直时，最小，即最小．此时，由面积法得．故答案为：．【题型5】折叠问题【例5】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E．（1）若，求的度数；（2）设，．①请用含α的代数式表示β；②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形．【答案】(1)(2)①②，是等边三角形；时，是直角三角形．【分析】（1）根据题意，得长方形纸条，折叠性质，得，，结合，利用平行线的性质求的度数即可；（2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，解答即可．②根据是等边三角形，得到，结合，解得；当是直角三角形时，．解：（1）∵将长方形纸条进行折叠，∴，，∴∴，∵，∴．（2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，故．②解：根据是等边三角形，得到，又，解得；当是直角三角形时，．故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质，熟练掌握折叠性质，平行线性质是解题的关键．【变式1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，折叠的性质，根据四边形内角和定理得到，进而由折叠的性质得到，再由平角的定义得到，由此利用三角形内角和定理即可求出答案．解：∵四边形中，，∴，由折叠的性质可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选B．【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则°．【答案】【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，平角的定义解答即可．本题考查了折叠的性质和平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键．解：根据折叠的性质，得，故；由长方形纸片，∴，∴，故答案为：70．【题型6】线段垂直平分线的性质【例6】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．（1）请说明：；（2）若的面积为4，求的面积．【答案】(1)见详解(2)8【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答；（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用证明，再利用证明，从而可得，即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．解：（1）平分，，垂直平分，，，；（2）垂直平分，，，在和中，，，，，在和中，，，，的面积为4，的面积的面积，的面积为8．【变式1】（2024·吉林·三模）如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键．根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可．解：由作图知，是的角平分线，∴，故A不符合题意；由作图知垂直平分，∴，，故C，D不符合题意；无法证明，故B符合题意，故选：B．【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是．【答案】85【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数．解：∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，故答案为：85．【题型7】线段垂直平分线的判定【例7】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．（1）求证：点P在线段的垂直平分线上；（2）已知，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．解：（1）证明：连接、，垂直平分，垂直平分，，，点P在线段的垂直平分线上；（2）解：垂直平分，垂直平分，，，，，，在中，，，，即，，在四边形中，，【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，点O为对角线、的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②互相平分．③．其中错误的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】本题题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积．根据可证明，从而得到，可证明，；再由线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分；再由三角形的面积公式可得，即可．解：∵，，，∴，∴，∵，∴，，∴图中有三对全等三角形，故①正确；∵，，∴垂直平分，根据题中的条件无法得到平分，故②错误；∵，∴，故③错误；故选：C【变式2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为．

【答案】/18度【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．解：连接，，

∵五边形是正五边形，∴，∴，∴，∵点F是的中点，∴是的垂直平分线，∴，∵在正五边形中，，∴，∴．故答案为：【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为（用含的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解．解：由作法得，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．（1）求证：．（2）若，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．解：（1）证明：为的中点，．

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