第二章控制系统数学模型

1第二章线性系统的数学模型2-1系统的微分方程

2-2非线性数学模型的线性化

2-3线性系统的传递函数

2-4控制系统的结构图

2-5反馈控制系统的传递函数22.1系统的微分方程

在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：根据实际工作情况，确定系数和各元件的输入、输出变量。从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学定理，列写出动态方程，一般为微分方程。消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。标准化。由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。34例2-2设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kF(t)mfy(t)5解：若弹簧恢复力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)与外力F(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有:式中f—阻尼系数,k—弹性系数由以上所列方程中消去中间变量：kF(t)mfy(t)相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为相似系统[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。6线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。782.2

非线性数学模型的线性化

在一定条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。饱和非线性xy在工程实际中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。9例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0x0xy

小偏差线性化示意图如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。2.2

非线性数学模型的线性化10Laplace变换基础

控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应，这种方法比较直观，尤其是借助于电子计算机，可迅速而准确地求解结果。但是，如果系统中某个参数变化或者结构形式改变，则需要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析与设计。用拉氏变换将线性常微分方程转化为易处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模型，称为传递函数。它不仅可以表征系统动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法，就是在传递函数基础上建立起来的。因此，拉氏变换成为自动控制理论的数学基础。11拉氏变换的概念若将实变量t的函数f(t)，乘以指数函数e-st（其中s=σ+jω，是一个复变数），再在0到∞之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换，可用符号L[f(t)]表示。拉氏变换的概念拉氏变换的运算定理拉氏反变换应用拉氏变换求解微分方程Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下显著的特点：微分方程通过Laplace变换转化成含有s的一代数方程，然后运用简单的代数法则就可以得到代数方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反变换就可以得到最终我们所需的时域上的解。12式中的s被称为是Laplace算子，它是一个复数变量，即有。Laplace（拉氏）变换的定义定义：已知有实函数，其Laplace变换为：这个平面就被我们称为是S域或复数域条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应的关系。通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。13常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：

注：其他函数可以查阅相关表格获得。142拉氏变换的运算定理1.叠加定理

两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即:2.比例定理

K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即:线性性质153.微分定理

在零初始条件下，即：则：上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的阶导数的拉氏式等于其象函数乘以。4.积分定理

在零初始条件下，即：则：上式表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等于其象函数除以16证微分性质17积分性质185.延迟定理

当原函数

延迟

时间，成为

时，它的拉氏式为：上式表明，当原函数

延迟

，即成

时，相应的象函数

应乘以因子。

6.终值定理上式表明原函数在

时的数值(稳态值)，可以通过将象函数

乘以后，再求

的极限值来求得。条件是当

和

时，等式两边各有极限存在。终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。7.初值定理：19例1求的象函数。解：由比例定理可知：通过查表可知：再根据叠加定理，可求得的象函数为：20例2求的原函数。21例2求的原函数。解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：比较以上两式的分子，可得：通过查表，可求得：22

应用拉氏变换求解微分方程S(t=0)+-RC+-UC这是一个一阶RC电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即：在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。Ｕs23

应用拉氏变换求解微分方程S(t=0)+-RC+-UC这是一个一阶RC电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即：在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。有：Ｕs代入电路，可得到电路的把和微分方程：24现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号，且当t=0时，Uc(0+)=0，所以上式有：首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：单位阶跃函数的Laplace变换25利用待定系数法可求得：再对上式进行Laplace反变换，得：整理，可得：将所求系数带入上述方程，有：262.3.1传递函数的定义

线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得2.3

线性系统的传递函数描述该线性定常系统的传递函数为

传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。

了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响---分析

可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合27282.3.2传递函数的性质

1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。

2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的次数n，即m≤n。且系数均为实数。

3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。

4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。29常把传递函数分解为一次因式的乘积式中的K称为传递函数的增益或传递系数（放大系数）。zj(j=1.2.…m)为分子多项式的根，称为传递函数的零点。Pi(1.2.…n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。传递函数的分母多项式就是相应微分方程式的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特征方程。302.3.3典型环节的传递函数比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增益）。1.比例环节312.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为式中T为时间常数，K为比例系数惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。

在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T～4T时，输出才能接近其稳态值。323.积分环节积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为

c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为K，如右图所示。c(t)t0式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，T称为积分时间常数。334.振荡环节振荡环节的微分方程是当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏反变换求得环节的输出响应，如右图所示。c(t)10t式中T--时间常数，

--阻尼比，对振荡环节有

0≤<1345.微分环节理想微分环节的微分方程为式中为微分时间常数。理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。356.纯滞后环节

当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。纯滞后环节的数学表达式为

式中为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10

(b)362.3.4控制系统的传递函数

对于简单控制系统，在求取传递函数时，可采用直接计算法。即先列写系统的微分方程，再由拉氏变换求出系统的传递函数。例2-4

设下图所示电路中，输入电压为ur,输出电压为u0，试写出其传递函数。uru0C1i2R1i1iR2C2372.3.4控制系统的传递函数

对于简单控制系统，在求取传递函数时，可采用直接计算法。即先列写系统的微分方程，再由拉氏变换求出系统的传递函数。解

根据电路的基本定理可以得到如下的关系式例2-4

设下图所示电路中，输入电压为ur,输出电压为u0，试写出其传递函数。uru0C1i2R1i1iR2C238在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得消去中间变量，得到输入、输出的微分方程式由此得出该电路的传递函数为39

在上述计算过程中，如果先对所列写的微分方程组作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。在零初始条件下，对方程组取拉氏变换，得到去中间变量可得)(1)()()()()()]()([)()]()([1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=402.4控制系统的结构图

控制系统的结构图是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量所进行的数学运算和输入、输出之间的因果关系。采用结构图，不仅能方便地求取复杂系统的传递函数，而且能形象直观地表明信号在系统或元件中的传递过程。2.4.1结构图的组成

把各环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中，并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，就可以得到传递函数方块图，这种图形既说明了信号之间的数学物理关系，又描述了系统的动态结构，因此称之为系统的动态结构图，简称为结构图。41

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。

方块单元：即一个元件或环节的传递函数方块图，该方块可以对信号进行数学变换，其变换关系为

Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方块单元

信号比较点：表示两个或多个信号在此代数相加。信号比较点的运算关系为xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)±±±

信号引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。x(s)x(s)422.4.2结构图的画法绘制系统结构图的步骤如下：

1.列写出系统各元件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量，同时应考虑相邻元部件之间是否有负载效应。

2.在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。

3.由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别画出各元部件的结构图。

4.按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来，便可得到系统的结构图。432.4.3结构图的等效变换1.串联连接方式的等效变换

前一环节的输出量是后一环节的输入量的连接称为环节的串联。如下图所示，G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G(s)R1(s)R4(s)442.并联连接方式的等效变换输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如下图所示，G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并联后总的传递函数为G(s)R(s)C(s)453.反馈连接方式的等效变换

将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比较，就构成了反馈连接。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s)464.分支点的移动规则

将分支点跨越元件方块图移动时，必须遵循移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则。G(s)1/G(s)BR(s)C1(s)C2(s)移动前后的分支输出信号不变，达到了等效变换的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)47G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s)

分支点移动的规则为：若分支点从一个方块图的输入端移到其输出端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数的倒数。若分支点从一方块图的输出端移到其输入端时，应在移动后的分支中串入一个方块图，它的传递函数等于所跨越的方块图的传递函数。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)485.比较点的移动规则如图(a)所示，当比较点在A处时，总输出量为

C(s)=G(s)[R1(s)-R2(s)]当比较点移到B处时，必须使两个输入都经过元件方块图后再相加，如图(b)所示，此时

C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)与移动前相等，因而两图是等效的。G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b)49

当综合点之间相互移动时，如下图所示，因为三者输出都为

C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它们都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)--E1C(s)R1(s)R3(s)R1(s)R3(s)R2(s)----C(s)C(s)(a)(b)(c)可见，互换综合点的位置，不会影响总的输入输出关系。50

相加点和分支点在一般情况下，不能互换。一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。512.4.4系统结构图的简化例2-4

简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)522.4.4系统结构图的简化例2-4

简化下图所示多回路系统，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解这是一个没有交叉现象的多环系统，内回路称为局部反馈回路，外回路称为主反馈回路。简化时不需要将分支点和综合点作前后移动。可按简单串、并联和反馈连接的简化规则，从内部开始，由内向外逐步简化。53G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)54[例2-6]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：------55总的结构图如下：

为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：-----①--②56--③-④57[例2-12]系统结构图如下，求传递数

。-+58[解]：结构图等效变换如下：[例2-12]系统结构图如下，求传递数

。-+相加点移动-+①59-+②信号流图的定义和术语节点：表示变量或信号的点，用“○”表示。支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向用箭头表示，

权值用传递函数表示。输入支路：指向节点的支路。输出支路：离开节点的支路。源节点：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节点X1。汇节点：只有输入支路的节点，如图节点X7。混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的X2、X3、X4、X5、X6。6061信号流图定义与术语前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。如图X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7为一条前向通道，又如X1到X2到X3到X5到X6到X7也为另一条前向通道。闭通道(反馈通道或回环)：通道的起点就是通道的终点，如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5又反馈到X4。自回环：单一支路的闭通道，如图中的-H3构成自回环。通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的乘积。如从X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们为不接触回环。如－G2H1与－G4H2。62信号流图的性质（1）信号流图只适用于线性系统；（2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的代数方程；（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；（4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；（5）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。63信号流图的简化（1）加法规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a)所示：（2）乘法规则：n个同方向串联支路的总传输，等于各个支路传输之积，如图（b）。64（3）混合节点可以通过移动支路的方法消去，如图（c）。（4）回环可根据反馈连接的规则化为等效支路，如图（d）。65梅逊公式一般形式为2.4.5用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数66例2-11利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数C(s)/R(s)。67解：输入量R(s)与输出量C(s)之间有四条前向通道，对应Pk与Δk为P1=G1G2G3G4G5Δ1=1P2=G1G6G4G5Δ2=1P3=G1G2G7G5Δ3=1P4=-G1G6H2G7G5Δ4=1图中有六个单回环，其增益为：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，

L6=G5H3G6H2G7其中L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2=G3G5H1H2

68系统的特征式Δ为

系统的传递函数为69例2-12求图示信号流图的闭环传递函数

70例2-12求图示信号流图的闭环传递函数

解：系统单回环有：L1=G1，L2=－G2，L3=－G1G2，L4=－G1G2，L5=－G1G2系统的特征式

Δ为：

71前向通道有四条：

P1=-G1Δ1=1P2=G2

Δ2=1P3=G1G2Δ3=1P4=G1G2

Δ4=1系统的传递函数为

72例2-5用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----73例2-5用梅逊公式求下图所示系统的传递函数。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----解图中共有四个不同回路，其回路传递函数分别为故∑Li=L1+L2+L3+L474

在上述四个回路中，互不接触回路有：L2、L3，它们之间没有重合的部分，因此有∑LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

图中没有三个互不接触回路，故∑LiLjLK=0可得特征式G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----75图中只有