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北京市西城区41中2024届高考数学试题考前最后一卷预测卷(五)注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或72.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.3.设实数、满足约束条件,则的最小值为()A.2 B.24 C.16 D.144.已知向量,夹角为,,,则()A.2 B.4 C. D.5.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.6.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()A. B. C. D.7.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.338.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分),下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序,输出,的值,则()A.6 B.8 C.10 D.129.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.10.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数,则()A., B.,C., D.,11.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.12.在中,,,,点,分别在线段,上,且,,则().A. B. C.4 D.9二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一个村子里一共有个人,其中一个人是谣言制造者,他编造了一条谣言并告诉了另一个人,这个人又把谣言告诉了第三个人,如此等等.在每一次谣言传播时,谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的,当谣言传播次之后,还没有回到最初的造谣者的概率是_______.14.设为互不相等的正实数,随机变量和的分布列如下表,若记,分别为的方差,则_____.(填>,<,=)15.设函数,,其中.若存在唯一的整数使得,则实数的取值范围是_____.16.设,分别是椭圆C:()的左、右焦点,直线l过交椭圆C于A,B两点,交y轴于E点,若满足,且,则椭圆C的离心率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知实数x,y,z满足,证明:.18.(12分)已知函数.(1)当(为自然对数的底数)时,求函数的极值;(2)为的导函数,当,时,求证:.19.(12分)已知.(1)若曲线在点处的切线也与曲线相切,求实数的值;(2)试讨论函数零点的个数.20.(12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:元),求的分布列和数学期望;(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.21.(12分)设函数f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1},求实数a的值;(2)证明:f(x).22.(10分)已知函数f(x)=x-1+x+2,记f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正实数a,b满足1a+1
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.2、B【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.3、D【解析】
做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.4、A【解析】
根据模长计算公式和数量积运算,即可容易求得结果.【详解】由于,故选:A.【点睛】本题考查向量的数量积运算,模长的求解,属综合基础题.5、A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.6、D【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【详解】因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有共37个,满足的整数点有7个,则所求概率为.故选:.【点睛】本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.7、C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.8、D【解析】
根据程序框图判断出的意义,由此求得的值,进而求得的值.【详解】由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数,的取值为成绩大于等于60且小于90的人数,故,,所以.故选:D【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力和数学应用意识.9、C【解析】
对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.10、C【解析】
根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球,所以.表示取出一个黑球,,所以.表示取出两个球,其中一黑一白,,表示取出两个球为黑球,,表示取出两个球为白球,,所以.所以,.故选:C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.11、C【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.12、B【解析】
根据题意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得结果.【详解】根据题意,,则在中,又,则则则则故选:B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算,掌握基本概念和公式即可解决,属于简单题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.【详解】第1次传播,谣言一定不会回到最初的人;从第2次传播开始,每1次谣言传播,第一个制造谣言的人被选中的概率都是,没有被选中的概率是.次传播是相互独立的,故为故答案为:【点睛】本题考查了相互独立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,属于基础题.14、>【解析】
根据方差计算公式,计算出的表达式,由此利用差比较法,比较出两者的大小关系.【详解】,故.,.要比较的大小,只需比较与,两者作差并化简得①,由于为互不相等的正实数,故,也即,也即.故答案为:【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算,考查差比较法比较大小,考查运算求解能力,属于难题.15、【解析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.【详解】解:函数,且画出的图象如下:因为,且存在唯一的整数使得,故与在时无交点,,得;又,过定点又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以,存在唯一的整数使得所以.根据图像可知,当时,恒成立.综上所述,存在唯一的整数使得,此时故答案为:【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题.16、【解析】
采用数形结合,计算以及,然后根据椭圆的定义可得,并使用余弦定理以及,可得结果.【详解】如图由,所以由,所以又,则所以所以化简可得:则故答案为:【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用,关键在于根据角度求出线段的长度,考查分析能力以及计算能力,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】
已知条件,需要证明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,发现,则可以用柯西不等式.【详解】,.由柯西不等式得,...【点睛】本题考查柯西不等式的应用,属于基础题.18、(1)极大值,极小值;(2)详见解析.【解析】
首先确定函数的定义域和;(1)当时,根据的正负可确定单调性,进而确定极值点,代入可求得极值;(2)通过分析法可将问题转化为证明,设,令,利用导数可证得,进而得到结论.【详解】由题意得:定义域为,,(1)当时,,当和时,;当时,,在,上单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为.(2)要证:,即证:,即证:,化简可得:.,,即证:,设,令,则,在上单调递增,,则由,从而有:.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题;本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题,通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.19、(1)(2)答案不唯一具体见解析【解析】
(1)利用导数的几何意义,设切点的坐标,用不同的方式求出两种切线方程,但两条切线本质为同一条,从而得到方程组,再构造函数研究其最大值,进而求得;(2)对函数进行求导后得,对分三种情况进行一级讨论,即,,,结合函数图象的单调性及零点存在定理,可得函数零点情况.【详解】解:(1)曲线在点处的切线方程为,即.令切线与曲线相切于点,则切线方程为,∴,∴,令,则,记,于是,在上单调递增,在上单调递减,∴,于是,.(2),①当时,恒成立,在上单调递增,且,∴函数在上有且仅有一个零点;②当时,在R上没有零点;③当时,令,则,即函数的增区间是,同理,减区间是,∴.ⅰ)若,则,在上没有零点;ⅱ)若,则有且仅有一个零点;ⅲ)若,则.,令,则,∴当时,单调递增,.∴又∵,∴在R上恰有两个零点,综上所述,当时,函数没有零点;当或时,函数恰有一个零点;当时,恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识,求解切线有关问题时,一定要明确切点坐标.以导数为工具,研究函数的图象特征及性质,从而得到函数的零点个数,此时如果用到零点存在定理,必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.20、(1)平均数为360,众数为330;(2)见详解;(3)甲公司:7020(元),乙公司:7281(元)【解析】
(1)将图中甲公司员工A的所有数据相加,再除以总的天数10,即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数.从中发现330出现的次数最多,故为众数;(2)由题意能求出的可能取值为340,360,370,420,440,分别求出相对应的概率,由此能求出的分布列和数学期望;(3)利用(1)(2)的结果,可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.【详解】解:(1)由题意知甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为.众数为330.(2)设乙公司员工1天的投递件数为随机变量,则当时,当时,当时,当时,当时,的分布列为204219228273291(元);(3)由(1)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元)由(2)估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元).【点睛】本题考查频率分布表的应用,考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.21、(1)a=1;(2)见解析【解析】
(1)由题意可得|x﹣a
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