人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案2：6 2 3-6 2 4 第1课时 组合及组合数的定义

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.3~6.2.4第1课时组合及组合数的定义学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．知识梳理知识点一组合及组合数的定义1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．知识点二排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系Aeq\o\al(m,n)＝讲练互动探究点1组合的概念例1判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选2名去完成同一件工作，有多少种不同的选法？(4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？方法归纳判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．由此可知，定序问题属于组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n个元素属于组合问题．跟踪训练1在下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？(1)从a，b，c，d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(2)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(3)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？探究点2简单的组合问题例2在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．方法归纳解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．跟踪训练2现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？探究点3简单的组合问题例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．方法归纳解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？课堂小结1．知识清单：(1)组合与组合数的定义．(2)排列与组合的区别与联系．(3)用列举法写组合．2．方法归纳：枚举法．3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．随堂练习1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有______种．2．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有______种．3．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．4．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁知识梳理知识点一组合及组合数的定义1．组合作为一组2．组合数所有不同组合的个数Ceq\o\al(m,n)知识点二排列与组合的关系相同点不同点关系Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)讲练互动探究点1组合的概念例1解：(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．跟踪训练1解：(1)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(2)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(3)争夺冠亚军是有顺序的，是排列问题．探究点2简单的组合问题例2解：(1)从中任取5人是组合问题，共有Ceq\o\al(5,12)＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有Ceq\o\al(2,9)＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3种选法；再从另外9人中选4人，有Ceq\o\al(4,9)种选法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378种不同的选法．跟踪训练2解：(1)从10名教师中选出2名去参加会议的选法数就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45种．(2)从6名男教师中选2名，有Ceq\o\al(2,6)种选法，从4名女教师中选2名，有Ceq\o\al(2,4)种选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90种．探究点3简单的组合问题例3解：(1)Ceq\o\al(5,12)＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有Ceq\o\al(2,9)＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126种不同的选法．跟踪训练3解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35．随堂练习1．〖解析〗每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分2步完成：第1步，选女工，有Ceq\o\al(1,3)种选法；第2步，选男工，有Ceq\o\al(2,7)种选法；故有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＝63(种)不同选法．〖答案〗632．〖解析〗若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有Ceq\o\al(1,4)种选法，然后4日、5日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种安排方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(种)安排方法；若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)安排方法；若甲、乙都在5日值班，则共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．〖答案〗423．〖解析〗分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)种；第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)种；第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)种．故满足题意的所有不同的排法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝432(种)．〖答案〗4324．解：设A，B代表2名老师傅．A，B都不在内的选派方法有Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有Ceq