人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：8 1 2　样本相关系数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE18.1.2样本相关系数课标要求素养要求1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.通过学习样本相关系数，提升数学抽象及数据分析素养.自主梳理1.相关系数r的计算对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对数据作进一步的“标准化”处理，用sx＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，sy＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)分别除xi－eq\o(x,\s\up6(－))和yi－eq\o(y,\s\up6(－))(i＝1，2，…，n，eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y1－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y2－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xn－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(yn－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：r＝eq\f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up16(n),\s\do16(i＝1))yeq\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2)).2.相关系数r的性质(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.(2)样本相关系数r的取值范围为〖－1，1〗.当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系r＝eq\f(1,n)x′·y′＝eq\f(1,n)|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝eq\r(n)，θ为向量x′和向量y′的夹角).判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数r来判断.|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)相关系数是研究变量之间线性相关程度的量.(√)(2)若r＝±1，则说明x，y之间具有完全的线性关系.(√)(3)若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系.(×)〖提示〗若r＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系.(4)样本相关系数r的范围是(－∞，＋∞).(×)〖提示〗样本相关系数的范围是〖－1，1〗.2.下面对相关系数r描述正确的是()A.r>0表明两个变量负相关B.r>1表明两个变量正相关C.r只能大于零D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于0，两个变量相关关系越弱〖答案〗D〖解析〗因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因r∈〖－1，1〗，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间的线性相关性越弱，故D正确.3.(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是()〖答案〗ACD〖解析〗因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合.故选ACD.4.下列说法正确的是________(填序号).(1)若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定(2)线性相关系数可以是正的或负的(3)如果样本一的相关系数r1＝－0.9，样本二的相关系数r2＝0.7，因r1<r2，故样本二的变量的线性相关性强(4)线性相关系数r∈(－1，1)〖答案〗(1)(2)〖解析〗∵|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，∴(3)错；∵相关系数|r|≤1，∴(4)错误.题型一线性相关性的检验〖例1〗现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\o(∑,\s\up16(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数为r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(（116584－10×107.82）（47384－10×682）))≈0.7506.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系.思维升华利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器.〖训练1〗假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝140.78，eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xiyi＝112.3.(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)对x，y进行线性相关性检验.解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.(2)eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.78－125＝15.78，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.78))≈0.979.所以x与y之间具有很强的线性相关关系.题型二判断线性相关的强弱〖例2〗维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.甲醛浓度x18202224262830缩醛化度y26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求样本相关系数r并判断它们的相关程度.解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11826.86324721.4596483.4822028.35400803.722556732228.75484826.5625632.542428.87576833.4769692.8852629.75676885.0625773.562830.0078490084073030.36900921.7296910.80∑168202.9441445892.01364900.16eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(168,7)＝24，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(202.94,7)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))xiyi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up16(7),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202.94,7),\r(4144－7×242)\r(5892.0136－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7)))\s\up12(2)))≈0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系.思维升华当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱.〖训练2〗以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据.房屋大小x/m211511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222(1)画出数据的散点图；(2)求相关系数r，并作出评价.解(1)图略.(2)列表如下：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi111524.813225615.042852211021.612100466.56237638018.46400338.561472413529.218225852.643942510522110254842310∑545116609752756.812952eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(545,5)＝109，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(116,5)＝23.2，r＝eq\f(\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up16(5),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(12