人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 2 2　排列数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.2排列数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导排列数公式.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.自主梳理1.排列数的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.2.排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n).3.全排列将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：Aeq\o\al(n,n)＝n!，另外规定，0！＝1.1.排列与排列数的区别：“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数.2.排列数公式的特征：m个连续自然数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1；公式中的m，n应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)89×90×91×92×…×100可表示为Aeq\o\al(12,100).(√)(2)甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有4种.(×)〖提示〗由排列的定义可知，共有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6种排列方法.(3)若Aeq\o\al(m,12)＝9×10×11×12，则m＝4.(√)(4)5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有120种.(√)2.Aeq\o\al(3,9)等于()A.9×3 B.93C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3〖答案〗C3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A.12种 B.24种C.48种 D.120种〖答案〗B〖解析〗∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种).4.5Aeq\o\al(3,5)＋4Aeq\o\al(2,4)＝________.〖答案〗348〖解析〗原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.题型一排列数公式及应用〖例1〗(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)；(2)计算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).(3)证明Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)证明法一因为Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二Aeq\o\al(m,n＋1)表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)个.含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)种排法.故Aeq\o\al(m,n＋1)＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).思维升华排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.〖训练1〗不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集为()A.〖2，8〗 B.〖2，6〗C.(7，12) D.{8}〖答案〗D〖解析〗由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.题型二排队问题〖例2〗三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？(5)如果三个女生(甲、乙、丙)从左到右的顺序为甲、乙、丙(不一定相邻)，可有多少种不同的排法？解(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又有Aeq\o\al(3,3)种不同的排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(种)不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有Aeq\o\al(3,6)种排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(种)不同的排法.(3)法一(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有Aeq\o\al(2,5)种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法.法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(种)不同的排法.法三(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有Aeq\o\al(3,6)种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有Aeq\o\al(5,5)种不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(种)不同的排法.(4)法一(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)种不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)种排法，那么末位就只能排男生，这样可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法.法二(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(种)不同的排法.(5)(定序法)首先八个人排成一排，有Aeq\o\al(8,8)种排法，其中甲、乙、丙的全排列有Aeq\o\al(3,3)种排法，而甲、乙、丙从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共有eq\f(Aeq\o\al(8,8),Aeq\o\al(3,3))＝6720(种).思维升华排队问题的相邻、不相邻、定序问题的解题策略(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素视为一个整体进行排列.(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决，即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.(3)对于定序问题，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Aeq\o\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有eq\f(Aeq\o\al(m＋n,m＋n),Aeq\o\al(m,m))种满足条件的不同排法.〖训练2〗分别求出符合下列要求的不同排法的种数.(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.(4)A，B，C，D，E五个人排成一排，A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻).解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排首尾，让受特殊限制的甲先选位置，有Aeq\o\al(1,4)种选法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)种排法，故排法种数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(种)排法.(4)首先五个人排成一排，共有Aeq\o\al(5,5)种排法，A，B两人的全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，C，D两人的全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法，又A在B的左边且C在D的右边，故满足条件的排法共eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2))＝30(种).题型三数字排列的问题〖例3〗用0，1，2，3，4，5这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？解(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个).(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.故所求三位数共有5×6×6＝180(个).(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个).(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个).因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个).(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5420也是满足条件的1个.故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个).思维升华排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置上不排某个元素.解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位置，若一个位置安排的元素影响另一个位置的元素个数时，应分类讨论.〖训练3〗用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30000的五位偶数.解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有Aeq\o\al(3,8)种不同的排列方法.因此由分步计数原理共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440(个)