高考文科数学试题汇编函数与导数教师用

函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在图像上，,则下列点也在此图像上的是（A）（，b）(B)(10a,1b)(C)(,b+1)(D)(a2,2b)【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意，，即也在函数图像上.0.51xyO0.51xyO0.5区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是（A）1(B)2(C)3(D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当时，，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.（北京文8）已知点,,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A.4 B. 3 C.2 D.1【答案】A（福建文6）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．（－1，1）B．（－2，2）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a(2x，x＞0,x＋1，x≤0))，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 A．－3B．－1C．1D．3【答案】A（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D（广东文4）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以。（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知，，若有则，即，解得。（江西文3）若，则的定义域为()B.C.D.【答案】C【解析】（江西文4）曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.D.【答案】A【解析】（辽宁文6）若函数为奇函数，则a= A． B． C． D．1【答案】A（全国Ⅰ文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为（A）（B）（C）（D）【答案】A(全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0），则=（A）（B）（C）（D）【答案】B（山东文4）曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（A）-9（B）-3（C）9（D）15【答案】C（陕西文4）函数的图像是（）【答案】B【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．【解析】取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是【答案】A【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．（天津文4）函数的零点所在的一个区间是（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C【解析】因为，，，所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｃ．（天津文6）设，，，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】D【解析】因为，，，所以，所以，故选Ｄ．(重庆文3)曲线在点,处的切线方程为(A)(B)(C)(D)(重庆文6)设,,,则,,的大小关系是(A)(B)(C)(D)【答案】B(重庆文7)若函数在处取最小值,则(A)(B)(C)3(D)4【答案】C二、填空题（浙江文11）设函数,若,则实数=______________【答案】-1（天津文16）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数，则当时，不恒成立，因此．当时，函数在是减函数，因此当时，取得最大值，于是恒成立等价于的最大值，即，解得．于是实数的取值范围是．解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此．，因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值．解得．于是实数的取值范围是．解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是．（上海文3）若函数的反函数为，则【答案】（陕西文11）设，则______.【答案】【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．【解析】∵，∴，所以，即．（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是___________．【答案】（江苏2）函数的单调增区间是__________【答案】【解析】在在大于零,且增.本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题（江苏8）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.【答案】4.【解析】设经过原点的直线与函数的交点为，，则.本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.（江苏11）已知实数，函数，若，则a的值为________【答案】【解析】.，不符合；.本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.（湖南文12）已知为奇函数，．【答案】6【解析】，又为奇函数，所以。（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。【答案】6，10000（广东文12）设函数若，则．【答案】-9（安徽文13）函数的定义域是.【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由可得，即，所以.三、解答题（北京文18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。解：（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以。（广东文19）设,讨论函数的单调性．解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中）（湖北文20）设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。(I)求a、b的值，并写出切线的方程；(II)若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。解：(I)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；切线的方程：‘(II)由(I)得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：；又所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。（湖南文22）设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．解析：（I）的定义域为令当故上单调递增．当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．当的两根为，当时，；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．（II）由（I）知，．因为，所以又由(I)知，．于是若存在，使得则．即．亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得（江西文20）设.（1）如果在处取得最小值，求的解析式；（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值．(注：区间的长度为）.解：（1）已知，又在处取极值，则，又在处取最小值-5.则，（2）要使单调递减，则又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：b-a为区间长度。又又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。（辽宁文20）设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．（I）求a，b的值；（II）证明：≤2x-2．解：（I）由已知条件得，解得（II），由（I）知设则而（全国Ⅰ文21）设函数（Ⅰ）若a=，求的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围（21）解：（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.综合得的取值范围为（全国Ⅱ文20）已知函数(Ⅰ)证明：曲线（Ⅱ）若,求的取值范围。【解析】(Ⅰ)，，又曲线的切线方程是：，在上式中令，得所以曲线（Ⅱ）由得，（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。（陕西文21）设，．（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．【解】（1）由题设知，∴令0得=1，当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为(2)，设，则，当时，，即，当时，，因此，在内单调递减，当时，，即（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立即从而得。（上海文21）已知函数，其中常数满足（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的的取值范围.解：⑴当时，任意，则∵，，∴，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。⑵当时，，则；当时，，则。（四川文22）已知函数，．（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设，解关于x的方程；（Ⅲ）设，证明：．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ），．令，得（舍去）．当时．；当时，，故当时，为增函数；当时，为减函数．为的极大值点，且．（Ⅱ）方法一：原方程可化为，即为，且①当时，，则，即，，此时，∵，此时方程仅有一解．②当时，，由，得，，若，则，方程有两解；若时，则，方程有一解；若或，原方程无解．方法二：原方程可化为，即，①当时，原方程有一解；②当时，原方程有二解；③当时，原方程有一解；④当或时，原方程无解．（Ⅲ）由已知得，．设数列的前n项和为，且（）从而有，当时，．又．即对任意时，有，又因为，所以．则，故原不等式成立．（天津文20）已知函数，其中．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．【解】（Ⅰ）当时，，．，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）．令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：(1)若,则．当变化时，的变化情况如下表：增极大值减所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于即解得，又因为，所以．(2)若，则．当变化时，的变化情况如下表：增极大值减极小值增所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．因此在区间上，恒成立，等价于即解得或，又因为，所以．综合(1),(2),的取值范围为.（