2024-2025学年高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则学案含解析北师大版选修2-2

PAGE4导数的四则运算法则授课提示：对应学生用书第20页[自主梳理]一、导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的________，即[f(x)＋g(x)]′＝________________，[f(x)－g(x)]′＝________________.二、导数的乘法与除法法则若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝______________，[eq\f(fx,gx)]′＝________________.特殊地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝________.[双基自测]1．函数y＝3x－4的导数是()A．3 B．－4C．－1 D．122．设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为()A.eq\f(19,3) B.eq\f(10,3)C.eq\f(13,3) D.eq\f(16,3)4．函数y＝eq\f(cosx,x)的导数是()A．－eq\f(sinx,x2) B．－sinxC．－eq\f(xsinx＋cosx,x2) D．－eq\f(xcosx＋cosx,x2)5．若函数f(x)＝eq\f(ex,x)在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0＝______.[自主梳理]一、和(差)f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)二、f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)kf′(x)[双基自测]1．Ay′＝(3x－4)′＝3.2．Dy′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．3．B因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝eq\f(10,3).4．Cy′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(cosx′·x－cosx·x′,x2)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)＝－eq\f(xsinx＋cosx,x2).5.eq\f(1,2)因为f(x)＝eq\f(ex,x)，所以f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)))′＝eq\f(ex′·x－ex·x′,x2)＝eq\f(ex·x－ex,x2)＝eq\f(exx－1,x2).所以f′(x0)＝eq\f(ex0x0－1,x\o\al(2,0))＝－eq\f(ex0,x0)，解得x0＝eq\f(1,2).授课提示：对应学生用书第20页探究一利用导数的运算法则求导[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x2·sinx；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).[解析](1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2x·sinx＋x2·cosx.(3)y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).理解和驾驭求导法则及公式的结构规律是敏捷进行求导运算的前提条件．运算过程出现失误，缘由是不能正确理解求导法则的实质，特殊是商的求导法则；求导过程中符号推断不清，也是导致错误的因素．从本题可看出，深刻理解和驾驭导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能精确、有效地进行求导运算．1．求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2＋6；(2)y＝sinx－3lnx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝eq\f(x－1,x＋1).解析：(1)y′＝(x4－3x2＋6)′＝(x4)′－(3x2)′＋6′＝4x3－6x.(2)y′＝(sinx－3lnx)′＝(sinx)′－(3lnx)′＝cosx－eq\f(3,x).(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(4)y′＝(eq\f(x－1,x＋1))′＝eq\f(x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12)＝eq\f(x＋1－x－1,x＋12)＝eq\f(2,x＋12).探究二导数与曲线的切线问题[例2]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．[解析](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．求曲线在某点处的切线方程的步骤：2．已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．解析：f′(x)＝1－eq\f(a,x2)，由导数的几何意义得f′(2)＝3，于是a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，可得f(2)＝2－eq\f(8,2)＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－eq\f(8,x)＋9.函数与方程思想在导数中的应用[例3]已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2＋2ax与函数g(x)＝3a2lnx＋b，(a，b∈R)．设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于a的函数关系式．[解析]因为y＝f(x)与y＝g(x)(x＞0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝eq\f(3a2,x).所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x\o\al(2,0