2025届高考数学统考二轮复习第一部分送分考点自练自检第2讲平面向量复数教师用书教案理1

PAGE第2讲平面对量、复数平面对量的基本运算授课提示：对应学生用书第4页考情调研考向分析主要考查平面对量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面对量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的数学运算、直观想象等素养，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，间或有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1.线性运算．2.应用平行、垂直求参数值．3.与其他学问相结合.[题组练透]1．在△ABC中，点D在边AB上，且eq\o(DA,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，设eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CB,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n B.eq\f(2,3)m＋eq\f(1,3)nC.eq\f(1,3)m－eq\f(2,3)n D.eq\f(2,3)m－eq\f(1,3)n解析：因为在△ABC中，点D在边AB上，且eq\o(DA,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，即3eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，又eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CB,\s\up6(→))＝n，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n.故选A.答案：A2．已知点D是△ABC所在平面内一点，且满意eq\o(AD,\s\up6(→))＝－3eq\o(DB,\s\up6(→))，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x－y＝()A．－1 B．－2C．1 D．2解析：由题意，如图所示，因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝－3eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，又因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，所以x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(3,2)，x－y＝－2，故选B.答案：B3．(2024·武汉模拟)已知向量a，b满意|a|＝4，b在a上投影为－2，则|a－3b|的最小值为()A．12 B．10C.eq\r(10) D．2解析：b在a上投影为－2，即|b|cos〈a，b〉＝－2，∵|b|>0，∴cos〈a，b〉<0，又cos〈a，b〉∈[－1,0)，∴|b|min＝2.|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝|a|2－6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2＝9|b|2∴|a－3b|min＝eq\r(9×4＋64)＝10，故选B.答案：B4．(2024·开封模拟)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a∥b，则x＝________.解析：由题得2x－(x＋1)＝0，所以x＝1.答案：1[题后悟通]快审题1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则．2．看到向量平行，想到向量平行的条件准解题记牢向量共线问题的4个结论(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内任一点，t∈R)．(3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)平面对量的数量积授课提示：对应学生用书第5页考情调研考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及推断两个平面对量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，间或会在解答题中出现，属于中档题.1.数量积的运算．2.求模．3.求夹角．4.求范围.[题组练透]1．(2024·东三省三校模拟)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则(a－b)·b＝()A．－16 B．－13C．－12 D．－10解析：∵向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，∴a·b＝|a||b|cos60°＝2×4×eq\f(1,2)＝4，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝4－16＝－12.故选C.答案：C2．(2024·长春模拟)已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为()A．1 B．2C.eq\r(5) D．3解析：因为a＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a|＝eq\r(cosθ－22＋sin2θ)＝eq\r(1－4cosθ＋4)＝eq\r(5－4cosθ)，因为θ∈R，所以－1≤cosθ≤1，故|a|的最小值为eq\r(5－4)＝1.故选A.答案：A3．(2024·海口模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且a·b＝24，|b|＝6，则|a|＝________.解析：因为向量a，b的夹角为60°，且a·b＝24，|b|＝6，所以a·b＝|a||b|cos60°，即6|a|×cos60°＝24，解得|a|＝8.答案：8[题后悟通]快审题1.看到向量垂直，想到其数量积为零．2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关系求最值用妙法特例法妙解图形中平面对量数量积问题解答有关图形中的平面对量数量积问题，常采纳特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解避误区两个向量夹角的范围是[0，π]，在运用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线复数授课提示：对应学生用书第6页考情调研考向分析主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查数学运算和直观想象等素养．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1.和复数相关的概念．2.复数的四则运算．3.复数的几何意义.[题组练透]1．(2024·青岛模拟)“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＝0,a－2≠0))，解得a＝－2，可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件；综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．故选C.答案：C2．(2024·桂林、崇左模拟)设z＝eq\f(4i－2,1＋3i)，则|z|＝()A.eq\r(2) B．2C．1＋i D．1－i解析：由题得z＝eq\f(4i－2,1＋3i)＝eq\f(4i－21－3i,1＋3i1－3i)＝eq\f(10＋10i,10)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).故选A.答案：A3．(2024·滨州模拟)在复平面内，表示复数z＝eq\f(1＋2i,1－i)的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：由复数除法运算，可得z＝eq\f(1＋2i,1－i)＝eq\f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－1＋3i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，所以在复平面内对应点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，即位于其次象限，故选B.答案：B4．已知z＝1＋i，则eq\f(2i,z·\x\to(z))＝()A．－1 B．1C．－i D．i解析：由题意，复数z＝1＋i，则z·eq\x\to(z)＝(1＋i)(1－i)＝2，所以eq\f(2i,z·\x\to(z))＝eq\f(2i,2)＝i，故选D.答案：D[题后悟通]快审题1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的加、减、乘法运算；看到复数的除法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．2．看到复数z在复平面内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数